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二0 0九 年 西 安 航 专第六届数学应用竞赛试题（卷）注意：答题时间150分钟，卷面满分120分题号一二 三四总 分789101112131415得分一、填空题（本大题共六道小题，每小题5分，共30分）1已知，则的定义域是2设，则3 设在上可导，则 45设是的一个原函数，则6二、解答题（本大题共五道小题，每小题10分，共50分）7讨论函数的连续性。【解】8设对于任意实数，恒有且，（1） 证明；（2） 由导数定义证明：；（3） 求函数。【解】9设，求。【解】10设，求。【解】11函数的导函数的图像是一条二次抛物线，开口向上，且与轴交于和，若的极大值为4，极小值为0，求。【解】三、应用题（本大题共三道小题，每小题10分，共30分）12如图，抛物线，直线和轴围成的一个曲边三角形，设是抛物线上的一点，过该点作抛物线的切线，问取何值时，该切线与抛物线，直线和轴围成的阴影部分面积最小。 【解】13如图，设位于坐标系中的点 处有三个新建居民点，预计这三个居民点分别有300个，250个，250个学生，现要为这三个居民点建一所学校，问应建在何处为宜？【解】14有一条小船从岸边的点出发驶向对岸，假定河流两岸是互相平行的直线，并设船速为，方向始终垂直于对岸（如图），设河宽为，河面上任一点处的水速与该点到两岸的距离之积成正比，比例系数为，求小船航行的轨迹方程。【解】四、证明题（本大题共一道小

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