解排列组合应用题地26种策略

1、解排列组合应用题的26 种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握 . 解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理， 问题在于怎样合理地进行分类、 分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、 转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 .1、相邻排列捆绑法 ：n 个不同元素排列成一

2、排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这 k 个元素“捆绑在一起” ，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有 Ann kk11 种排法然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有Akk 种方法由乘法原理得符合条件的排列，共n k1k种·An k 1 Ak例 1. a,b, c, d , e五人并排站成一排，如果 a, b 必须相邻且 b 在 a 的右边， 那么不同的排法种数有（）A、60 种B 、48种C、36种 D 、24种解析：把 a, b 视为一人， 且 b 固定在 a 的右边，则本题相当于4 人的全排列， A4424 种，答案： D.例 2

3、有 3 名女生 4 名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，4 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有A22种排法；女生内部的排法有A33 种，男生内部的排法有 A44种故合题意的排法有234288 种A2·A3·A42. 相离排列 插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将 n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻(k nk) ，有多少种排法？先把 (nk) 个元素排成一排，然后把k 个元素插入

4、 (nk1) 个空隙中，共有排法Ank k 1 种本材料第1 页（共 16 页）例 3五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有 A55 种排法；然后把 5 名中学生插入 6 个空中，共有 A65 种排法，55故符合条件的站法共有A5·A686400 种站法例 4. 七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440 种B、 3600 种C、 4820 种D、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是 A55 A62 3600 种

5、，选 B .3、定序问题 - 倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 此法也被叫消序法 .将 n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n 个不同元素排列成一排， 共有 Ann 种排法； k 个不同元素排列成一排共有Akk 种不同排法 于n是， k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的Akk 分之一故符合条件的排列共Ank 种Ak例 5. a,b, c, d , e五人并排站成一排，如果 b 必须站在 a 的右边（ a,b 可以不相邻） 那么不同的排法种数是（）A、24 种B、60种C、90 种D 、120 种解析： b

6、在a 的右边与 b 在 a 的左边排法数相同， 所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即 1560种，选 B.2A5例 6. A， B， C， D， E 五个元素排成一列，要求A 在 B 的前面且 D在 E 的前面，有多少种不同的排法？解： 5 个不同元素排列一列，共有A55 种排法 A， B 两个元素的排列数为 A22 ； D， E 两个元素的排列数为A22 A55因此，符合条件的排列法为30 种A22·A22本材料第2 页（共 16 页）4、标号排位问题- - 分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 7.

7、 将数字 1， 2，3， 4 填入标号为1， 2， 3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3× 3×1=9 种填法，选 B .5、留空排列 借元法例 8、一排 10 个坐位， 3 人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。解：由题意，先借 7 人一排坐好，再安排3 在 8 个空中找 3 个空插入， 最后撤出借来的7 人。得不同的坐法共有A77 A

8、83 / A77 种。6、有序分配问题- 逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 9. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、 1260 种B、2025种C、 2520 种D 、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务， 再从剩下的8 人中选1 人承担乙项任务， 第三步从另外的7 人中选1 人承担丙项任务，不同的选法共有C102C81C712520 种，选 C .（ 2）学生会的12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级 4 人，则不同的分配方

9、案有（）A、 C124C84C44 种B、 3C124C84C44 种 C、 C124C84 A33 种 D、 C124C84C44 种A33答案：先从 12 人中选出 4 人到第一个年级， 再从剩下的8 人中选4 人到第二个年级， 第三步从剩下的4 人中选4 人到第三个年级，不同的选法共有C124C84C44种，选 A.7、平均分堆问题 -除序法 :本材料第3 页（共 16 页）例 10. 12本不同的书，平均分为3 堆，不同的分法种数为多少种。解：先从 12 本书中选出4 本到第一堆， 再从剩下的8 本中选出4 本到第二堆， 第三步从剩下的 4 本中选 4 本到第三堆，但题中是不要堆序，所

10、以不同的分法共有C124C84C44种。A338、全员分配问题- - 分组法 :例 11. （ 1）4 名优秀学生全部保送到 3 所大学去， 每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有 C2种方法， 再把三组学生分配到三所大学有A3种，故共43有 C42 A3336 种方法 .说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2） 5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120 种D、96 种答案： B.9、名额分配问题- 隔板法 :例 12：10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班

11、级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析： 10 个名额分到7 个班级，就是把10 个名额看成10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的9 个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9684 种.10、限制条件的分配问题- - 分类法 :例 13. 某高校从某系的10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A84 种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3 种方法

12、，然后安排其余学生有A83 方法， 所以共有 3A83 ；若乙参加而甲不参加同理也有3A83 种；若甲乙都参加， 则先安排甲乙， 有 7 种方法，然后再安排其余8 人到另外两个城市有A82 种，共有 7A82 方法 . 所以共有不同的派遣方法总数为A843A833A837 A824088 种 .本材料第4 页（共 16 页）11、多元问题 -分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 14（1）由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种B、 300 种C、464 种D、600

13、 种解析：按题意，个位数字只可能是0， 1， 2，3， 4 共 5 种情况，分别有A55 个，A41 A31 A33 , A31 A31 A33 , A12 A31 A33 , A31 A33 个，合并总计300 个 , 选 B .（ 2）从 1，2，3 ， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集I, 能被 7 整除的数的集合记做A7,14,21,98 共有 14 个元素 ,不能被 7 整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,

14、100 共有 86 个元素；由此可知，从 A 中任取 2 个元素的取法有 C142 ，从 A 中任取一个，又从 A 中任取一个共有 C141C861 ，两种情形共符合要求的取法有 C142 C141C186 1295 种 .（ 3）从 1，2，3， ，100 这 100 个数中任取两个数， 使其和能被 4 整除的取法 （不计顺序）有多少种？解析：将I1,2,3,100整除的数集分成四个不相交的子集，能被 4A4,8,12, 100；能被4 除余 1 的数集 B 1,5,9,97，能被 4除余 2 的数集C2,6, ,98 ，能被 4 除余 3 的数集 D 3,7,11, 99，易见这四个集合中

15、每一个有25 个元素； 从 A 中任取两个数符合要；从 B, D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C252C251C 251C252种.12、交叉问题 - - 集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n( AB)n( A)n(B)n( AB) .本材料第5 页（共 16 页）例 15. 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 = 6 人中任取 4 人参赛的排列 ， A=甲跑第一棒的排列 ， B=乙跑第

16、四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n( I ) n(A) n( B)n( AB)A64A53A53A42252 种.13、定位问题 - - 优先法：有限制条件， 某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情况较为简单时，则用排除法求解例 16. 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员， 现要派 5 名参加比赛， 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 _种（用数字作答） 解：由题意，先安排3 名主力队员在第一、三、五位置，有A33 种；再安排其余7

17、名队员选 2 名在第二、四位置有232种A7种；由乘法原理，得不同的出场安排共有A3·A7 252例 17.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A31种，4 名同学在其余4 个位置上有 A44 种方法；所以共有 A31A4472种。.14、多排问题 - - 单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 18. （ 1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种B 、120种 C、720 种D、 1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可

18、看成6 个不同的元素排成一排，共A66720 种，选 C .（ 2） 8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有 A2种，某 1 个元素排在4后半段的四个位置中选一个有A41 种，其余 5 个元素任排5 个位置上有A55 种，故共有A41 A42 A555760 种排法 .本材料第6 页（共 16 页）15、“至少”“至多”问题-间接排除法或分类法:例 19. 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、

19、140种B、80种C、70 种D、35种解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 C93C43C5370种,选.C解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型 2台乙型 1 台；故不同的取法有C52 C41C51C4270台,选C.16、选排问题 -先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 20. （ 1）四个不同的小球放入编号为 1，2， 3， 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42 种

20、，再排：在四个盒中每次排 3 个有 A43 种，故共有 C42 A43144种.（ 2） 9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2 名，有 C52C42 种，这四名运动员混和双打练习有A22 中排法，故共有 C52C42 A22120种.17、部分合条件问题 -排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 21. （ 1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种B 、64种C 、58种 D、52 种解析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84 四面体，但6

21、 个表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84 1258个 .（2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取4 个不共面的点， 不同的取法共有 （）A、 150 种B、147种C 、144 种D 、141 种本材料第7 页（共 16 页）解析： 10 个点中任取 4 个点共有 C104 种，其中四点共面的有三种情况： 在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 C64 ，四个面共有 4C64 个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个 . 所以四点不共面的情况的种数是 C104 4C64 3 6 141 种 .18、圆排

22、问题 - - 直排法：把 n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：a1 ,a2 , a3 , an ; a2 , a3 , a4 , , an , ; an , a1, ,an 1 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， n 个元素的圆排列数有n! 种 . 因此可将某个元素固定展成单排，其它n的 n1元素全排列 .例 22.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让 5 位姐姐站

23、成一圈，属圆排列有A44 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2 种方式，故不同的安排方式2425768 种不同站法 .说明：从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1Anm 种不同排法 .m19、可重复的排列- - 求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有 mn 种方法 .例 23. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？解析： 完成此事共分6 步，第一步； 将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种

24、不同方案， 依次类推， 由分步计数原理知共有76 种不同方案 .20、元素个数较少的排列组合问题- 枚举法：例 24. 设有编号为1， 2，3， 4， 5 的五个球和编号为1， 2， 3，4，5 的盒子现将这5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种本材料第8 页（共 16 页）不同的方法？解析：从 5 个球中取出2 个与盒子对号有C52 种，还剩下3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3， 4， 5 号球与 3，4，5 号盒子时， 3 号球不能装入3 号盒子，当 3 号球装入4 号盒子时， 4， 5 号球只有1 种装法

25、， 3 号球装入5 号盒子时， 4， 5 号球也只有1 种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为2C5220 种 .21、复杂的问题-对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 25. （ 1）圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 C104 个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C104 个 .（2

26、）某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到 B 的最短路径有多少种？BA解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到 B 最短路线必须走7 小段，其中：向东 4段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C74 种.22、区域涂色问题分步与分类综合法解答区域涂色问题， 一是根据分步计数原理， 对各个区域分步涂色； 二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类以上三种方法常会结合起来使用。例 27. 用 5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相本材料第9 页（共 1

27、6 页）邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？法 1： A53A14240法 2： A542 A53240例 28、一个地区分 5 个区域 , 现用 4 种颜色给地图着色 , 要求相邻区域不得使用同一种颜色 , 则不同的着色方法有多少种 ?法 1. 分步：涂有 4 种方法， 涂有 3 种方法， 涂有 2 种方法，涂有 2 种方法，涂时需看与是否相同，因此分两类。4322432172法 2. 按用了几种颜色分两类：涂了4色和 3色2 A44A 4372例 29、 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图） ，现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色，不

28、同的栽种方法有 _种 ( 用数字作答）解法 1：首先栽种第1 部分，有 C41 种栽种方法；然后问题就转化为用余下3 种颜色的花，去栽种周围的5 个部分（如右图所示） ，对扇形2 有 3 种栽种方法，扇形3 有 2 种栽种方法，扇形 4 也有 2 种栽种方法，扇形5 也有 2 种栽种方法，扇形 6 也有 2 种栽种方法于是，共有3 24 种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域 2 与 6 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从3 24中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2 与 6 看作一个扇形，其涂色方法相当于用3 种颜色的花对 4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）

29、。综合和，共有C41324(C3122A321 1)4 (4818)4 30120 种。解法 2：依题意只能选用4 种颜色，要分5 类（ 1）与同色、与同色，则有A44 ；（2）与同色、与同色，则有A44 ；（ 3）与同色、与同色，则有A44 ；（4）与同色、与同色，则有A44 ；（ 5）与同色、与同色，则有A44 ；所以根据加法原理得涂色方法总数为5A44= 120（种）23、复杂问题 树图法 ( 选组穷举法 )本材料第 10 页（共 16 页）当以上各法还难以解决时，可用画树图的方法解决。虽然原始、笨拙，但清楚、可靠。此法称选组 穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举, 探索出其规律.例

30、30. 同例 29解：以 a, b, c, d分别代替4 种颜色的花。通过树图可知，完成此事共分 6步，第一步有 4方法；二步有 3 方法，第三步有2 同方案，第四步也有2 不同方法第五步有2 种不同方案，然而第六步有？种不同方案？，不易看清! 画出树图，由图知将四、五、六两步并为一步，有 5 种方法。于是共有432512024、复杂排列组合问题- 构造模型法：例 31. 马路上有编号为 1， 2， 3 ， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不

31、亮的灯 C53 种方法 , 所以满足条件的关灯方案有10 种.说明： 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型， 装盒模型可使问题容易解决.25、复杂的排列组合问题-分解与合成法：例 32. （ 1） 30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030 分解成质因数的形式：30030=2× 3× 5× 7× 11× 13；依题意偶因数2必取， 3， 5， 7， 11， 13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为C50C51C52C53C54C5532个 .（2）正方体8 个顶点可连成多少队异面直线

32、？解析：因为四面体中仅有3 对异面直线， 可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四面体， 从正方体8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C841258 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有3×58=174 对.26 、 逆向问题 - - 方程法例 33.平面上有相异的11 个点，每两点连成一条直线，共得43 条不同的直线。（ 1）这 11 个点中有无三点或三个以上的点共线？若有共线，情形怎样？（ 2）这 11 个点构成多少个三角形？解：（ 1）设若有x 条三点共线，y 条四点共线， z 条五点共线， ，于是有：2222 43C 11 x(C 3 1)y(C 4 1) z

33、(C 5 1)即 23-2x-5y-9z-=0这方程的解只可能是：x=6,y=z=0 或 x=1,y=2,z=0.本材料第 11 页（共 16 页）由此可知，这11 个点中有 6 条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。（ 2）由上可知这11 个点构成三角形个数的情形有3 6C33 C 2C2C159 或 C4113113 156 排列（基础）例题讲习例 1： 7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列A77 5040 7 位同学站成两排（前 3 后 4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理： 7× 6×5× 4&#

34、215; 3×2× 1 7！ 5040 7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列 A66 =720 7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22 种；第二步余下的5 名同学进行全排列有 A55种则共有 A22 A55=240 种排列方法 7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法） ：第一步 从（除去甲、乙）其余的5 位同学中选2 位同学站在排头和排尾有 A52 种方法；第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行

35、排列（全排列）有 A55 种方法所以一共有A52 A55 2400 种排列方法解法二：（排除法）若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 2 A66 A55=2400 种小结一： 对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例 2 ： 7 位同学站成一排、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22 种方法所以

36、这样的排法一共有A66 A22 1440 种 、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有A55 A33 720 种、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一： 将甲、乙两同学 “捆绑” 在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 因为丙不能站在排头和排尾， 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A52 种方法；将剩下的4 个元素进行全排列有 A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A52 A44 A22 960种方法本材料第 12 页（共 16 页）解法二：将甲、乙两同学“捆

37、绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，若丙站在排头或排尾有2 A55 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有( A662 A55 ) A22960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A41 种方法，再将其余的 5 个元素进行全排列共有A55 种方法， 最后将甲、 乙两同学 “松绑”，所以这样的排法一共有 A41 A55 A22 960种方法小结二： 对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）例 3： 7 位同学站成一排 、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）A77A66A

38、223600解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧） ，再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A62 种方法，所以一共有A55 A623600 种方法甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A44 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53 种方法，所以一共有A44A53 1440 种小结三： 对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑） 例 4：从 10 个不同的文艺节目中选6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种

39、不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）A91 A95136080解法二：（从特殊元素考虑）若选：5A95若不选： A96 则共有5A95 A96 136080解法三：（间接法） A106A95136080例 5： 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排A42 ；丙排在后排A14 ；其余进行全排列A55 所以一共有A42 A14 A555760 种方法 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a,b 两种商品必须排在一起，而c, d 两种商品不排在一起 , 则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a,b

40、 捆在一起与 e 进行排列有 A22 ；此时留下三个空，将 c, d 两种商品排进去一共有A32；最后将 a, b“松绑”有 A22所以一共有 A22 A32 A22 24 种方法 6 张同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？本材料第 13 页（共 16 页）略解：（分类）若第一个为老师则有A33 A33 ；若第一个为学生则有A33 A33 所以一共有2 A33 A33 72 种方法例 6： 由数字 1， 2，3， 4， 5 可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解： A15A52A53A54A55325 由数字 1，2，3，4，5 可以组

41、成多少个没有重复数字，并且比13 000 大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3 有 A31 A33 种方法；另一类是首位不为 1，有 A41 A44 种方法所以一共有 A31 A33A41 A44114 个数比 13 000 大解法二：（排除法）比 13 000 小的正整数有A33 个，所以比13 000大的正整数有 A55A33114 个例 7： 用 1，3， 6， 7，8， 9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列 第 114 个数是多少？ 3796是第几个数？解： 因为千位数是 1 的四位数一共有A5360 个，所以第 114 个数的千位数应该是 “ 3”，

42、十位数字是“ 1”即“ 31”开头的四位数有A4212 个；同理，以“ 36”、“ 37”、“38”开头的数也分别有12 个，所以第114 个数的前两位数必然是“39”, 而“ 3 968 ”排在第 6 个位置上，所以“3 968 ” 是第 114 个数 由上可知“ 37”开头的数的前面有60 1212 84个，而 3 796 在“ 37”开头的四位数中排在第11 个（倒数第二个） ，故 3 796 是第 95 个数例 8： 用 0，1， 2， 3，4， 5 组成无重复数字的四位数，其中 能被 25 整除的数有多少个？ 十位数字比个位数字大的有多少个？解： 能被 25 整除的四位数的末两位只能

43、为25，50 两种，末尾为 50的四位数有 A42个，末尾为 25 的有 A31 A31 个，所以一共有A42 A31 A31 21 个注： 能被 25 整除的四位数的末两位只能为25， 50， 75， 00 四种情况 用 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成无重复数字的四位数，一共有A51 A53300 个因为在这300 个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的 ”，所以十位数字比个位数字大的有 1 A51 A53150个2参考练习1. 有 6 张椅子排成一排, 现有 3 人就座 , 恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是()A.36B.48C.72D.96本材料第 14 页（共 16 页）2. 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列a n ，则 a18=（）A.3412B.3421C.431