设椭圆地两个焦点分别为F1

1、1 、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若FlPF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()2 设双曲线以椭圆=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为()A ±2B±C±D±3 从集合 1 ，2 ， 3 ，11 中任选两个元素作为椭圆方程=1 中的 m 和 n ，则能组成落在矩形区域B=(x ，y) x|<11 ，且 |y|<9 内的椭圆个数为()A43B72C86D904 设直线l 与椭圆=1 相交于 A 、 B 两点， l 又与双曲线x2-y2=1相交于 C、 D

2、两点， C、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程()5 设 A 、 B 是椭圆 3x2+y2=上的两点，点 N(1 ， 3) 是线段 AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于判断是否存在这样的答题卡上画图 )1 已知双曲线 x2- =1C、 D 两点(1) 确定 A 的取值范围，并求直线AB 的方程；( )试A ，使得 A 、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由 (此题不要求在的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且，则点 M 到 x 轴的距离为()2 已知双曲线=1(a>0， b>0) 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF 的面积为(O 为原点 )，

3、则两条渐近线的夹角为()A30°B45 °C60 °D90°1过抛物线 y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A. 有且仅只有一条B有且仅有两条C.有无穷多条D 不存在2 设A(x1 ，y1) ， B(x2 ，y2) 两点在抛物线y=2x2上， l是AB的垂直平分线(1) 当且仅当x1+x2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F?证明你的结论；( )当直线l 的斜率为2时，求l 在 y 轴上截距的取值范围考场错解 ( )，设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b，过点A 、

4、B的直线方程可写为y=与 y=2x2联立得2x2+ x-m=0得x1+ x2=-；设AB的中点N 的坐标为(x0 ， y0)则 x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m由 N l,得 +m=- +b，于是 b=即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 . 专家把脉 没有借助“ >0 ”来求出 m>，无法进一步求出b 的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0 对症下药 (1)F l |FA|=|FB| A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x 轴的平行线， y1 0，y2 0 ，依题意y1 、y2 不同时为 0 ， 上述条件等价于yl=y2 x12 =x22

5、(x1+x2)(x1-x2)=0；x1 x2 ，上述条件等价于x1+x2=0即当且仅当x1+x2=0时， l经过抛物线的焦点 F。( )设 l 在 y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b过点y=-x+m ，所以 x1 、 x2 满足方程2x2+x-m=0，得 x1+x2=-；的两点等价于上述方程的判别式+8m>0，即 m>设 AB 的中点 NA、B 的直线方程可写为A、 B 为抛物线上不同的坐标为 (x0 ，y0) ，则x0= (x1+x2)=-， y0=- x0+m= +m由 N l，得+m=- +b，于是 b= +m>即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为

6、( ， + )3 如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0 ，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1 ， y1) ，B(x2 ， y2) (1) 求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F 的距离；( )当 PA与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数 考场错解 (1) 当 y=时， x=又抛物线的准线方程为x=-P ，由抛物线定义得，所求距离为( )设直线 PA 的斜率为kPA，直线 PB 的斜率为kPB 由 y21=2px1,y20=2px0相减得 (yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0)故 kPA=(x1 x0)

7、 同理可得kpB= (x2x0) 由 kPA=-kPB得 y0=-2 (yl+y2)故设直线 AB 的斜率为kAB 。由 y22=2px2,y21=2px1相减得(y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故 kAB=将 y1+y2=- y0(y0>0)代入得 kAB=-故 kAB 是非零常数 专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 对症下药 (1) 当 y=时， x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，由抛物线定义得，所求距离为-(- )=( )设直线 PA 的斜率为kPA，直线 PB 的斜率为kPB由 y12=2px1， y20=2px0相减得 (y1-y0)(y

8、l+y0)=2P(x1-x0)，故 kPA= (x1 x0) 同理可得kPB= (x2 x0) 由 PA、PB 倾斜角互补知kPA=-kPB，即 =-，所以 yl+y2=-2y0，故 =-2. 设直线 AB 的斜率为 kAB由 y22=2px2， y21=2pxl相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以将 yl+y2=-2y0(y0>0)代入得所以 kAB 是非零常数4 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、 B 满足AO BO( 如图所示 )(1) 求AOB 的重心 C( 即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程；( )AOB

9、的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 考场错解 （）设 AOB 的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则OA x1x2+yly2=0(2)又点 A 、 B 在抛物线上，有y1=x12 ，y2=x22代入 (2) 化简得 xlx2=0或 -1y= （x1+x2 ） 2-2x1x2=3x2+或 3x2 ，故重心为G 的轨迹方程为y=3x2或 y=3x2+ . 专家把脉 没有考虑到x1x2=0时，AOB 不存在 对症下药 （）设 AOB 的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则又点 A 、 B 在抛物线上，有y1=x12 ， y2=x22代入

10、(2) 化简得 xlx2=-1y= （x1+x2 ） 2-2x1x2= =3x2+所以重心为G 的轨迹方程为y=3x2+( )SAOB=由(1) 得 SAOB=当且仅当x16=x26即 x1=-x2=-1时，等号成立。所以AOB 的面积存在最小值，最小值为 1 。专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点， 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。(x1 ， yl-1)= (x2， y2-1) 由此得 x1= x2 ，由于 x1 ， x2 都是方程的根，且1

11、-a2 0，所以 消去 x2 得 专家把脉 (1)没有考虑到 1-a2 0( )没有注意到题目本身的条件a>0 对症下药 (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得 0<a<且a1双曲线的率心率e=且 a1 ，e> 且 e ，即离心率 e 的取值范围为 ( ) ( ) ( )设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2) ， P(0 ， 1) (x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得 x1= x2 ，由于x1 ， x2 都是方程的根，且1-a2 0 ，所以

12、 x2=-，消 x2 ，得 - ，由 a>0 ，所以 a=2 给定抛物线 C： y2=4x， F 是 C 的焦点，过点F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点 (1) 设 l的斜率为 1 ，求 与 夹角的大小； ()设 ，若4 ， 9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化范围 考场错解 (1)设 与 夹角为；由题意 l 的方程为了y=x-1，将 y=x-1 代入 y2=4x得x2-6x+1=0设 A(x1 ， y1)B(x2 ， y2) 则有 x1+x2=6， x1x2=1易得 ? =x1x2+y1y2=-3，cos = =-arccos( )由题意知，过 A 、 B 分别作准线的垂线

13、，垂足分别为A' 、B' |FB|=|BB'| ， |AF|=|AA'| |BB |= |AA'| ，4 ， 9设 l 的方程为 y=k(x-1)由 得 k2x2-(2k2 +4)x+k2=0x= |AA'|= +l =|BB'|= 专家把脉 ( )没有理解反余弦的意义( )思路不清晰 对症下药 (1)C 的焦点为F(1 ，0) ，直线 l 的斜率为1 ，所以 l 的方程为了y=x-1 将 y=x-1代入方程y2=4x ，并整理得x2-6x+1=0设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则有 xl+x2=6，x1x2=1 =(x1

14、 ， y1) ?(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3所以与 夹角的大小为 -arc cos ( )由题设得 (x2-1 ， y2)= (1-x1 ，-y1) ，即 由得 y22= 2y21 y21=4x1， y22=4x2，x2= 2x1联立、解得x2= ，依题意有>0 ，B( ，2)或 B ( ，-2)，又 9(1 ， 0) ，得直线(2) 当 |PF1|=|F1F2| 时，同理可得解得 e2=3于是=1-3=-2(3) 当 |PF2|=|F1F2| 时，同理可得=4c2解得 e2=1于是=1-1=0综上所述，当 = 或 -2 或 0 时PF1F2

15、 ， F2 为等腰三角形 专家把脉 (1) 没有注意到因为PF1 l ，所以 PF1F2=90 °+ BAF1 为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围 对症下药 (1) 证法一： 因为 A 、B 分别是直线l：y= ex+a与 x 轴、y 轴的交点， 所以 A 、B 的坐标分别是(- )(0,a).由所以点 M 的坐标是 (-c, ) ，由得 (-c+ )=( ， a) 即证法二：因为A 、B 分别是直线l:y=ex+a与 x 轴、 y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是(-，0) ， (0 ， a) ，设 M 的坐标是

16、(x0 ， y0) ，由得 ( ) ，所以因为点 M 在椭圆上，所以=1 ，即 e4-2(1- )e2+(1- )2=0 ，解得 e2=1- 即=1-e2 ( )解法一： 因为 PF1 l ，所以 PF1F2=90 °+ BAF1 为钝角， 要使PF1F2 为等腰三角形，必有 |PF1|=|F1F2|, 即 |PF1|=c.设点 F1 到 l 的距离为d ，由 |PF1|=d ，= , 得=e 所以 e2=，于是=1-e2= .即当=时，PF1F2 为等腰三角形解法二：因为PF1 l，所以， PF1F2=90 °+ BAF1 为钝角，要使 PF1F2 为等腰三角形，必有 |

17、PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 (x0 ， y0) ，则 解得由|PF1|=|FlF2| 得 =4c2 ，两边同时除以4a2 ，化简得=e2 从而 e2=于是=l-e2=即当=时，PF1F2 为等腰三角形4 抛物线 C 的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C 上一点 P(x0 ，y0)(x0 0) 作斜率为k1 ，k2的两条直线分别交抛物线C 于 A(x1 ， y1)B(x2 ， y2) 两点 (P、 A 、B 三点互不相同)，且满足k2+ k1=0( 0 且-1) ( )求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；( )设直线 AB 上一点 M 满足= ，证明线段PM 的中点在

18、y 轴上( )当 A=1时，若点 P 的坐标为 (1 ，-1) ，求PAB 为钝角时点A 的纵坐标 y1 的取值范围 考场错解 (1) 抛物线C 的方程 y=ax2(a<0)得，焦点坐标为 ( ， 0) 准线方程为 x=-( )P(-1 ， 1)在 y=ax2上，故 a=-1 y=-x2由( )易得 y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2 ，因此，直线 PA、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、B 的坐标为 A(-k1 -1,-k21-2k1-1)， B(k1-1 ， -k21+2k1-1)于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1， 4k1) ， 2k1(k1+2)

19、(2k1+1)因PAB 为钝角且 P、 A 、B 三点互不相同， 故必有 ? <0 易得 k1 的取值范围是 k1<-2或 <kl<0 ，又yl=-(k1+1)2故当 k1<-2 时， y?< -1; 当- <k1<0时 -1<yl<-即 y1 专家把脉 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念 对症下药 (1) 由抛物线 C 的方程 y=ax2(a<0) 得，焦点坐标为 (0 ， )，准线方程为 y=- ( )证明：设直线 PA 的方程为 y-y0=k1(x-x0)，直线 PB 的方程为 y-y0=k2(x-x0) 点 P(x

20、0 ， y0) 和 ? 点A(x1 ， y1) 的坐标是方程组的解将式代入式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是x1+x0=，故 x1= -x0又点 P(x0 ， y0) 和点 B(x2 ， y2) 的坐标是方程组的解将式代入式得ax2-k2x+k2x0-y0=0于是 x2+x0=，故 x2= -x0,由已知得，k2=-kl，则 x2= 设点 M 的坐标为 (xM,yM)，由 = ，则 xM= . 将式和式代入上式得 x0 ，即 xM+x0=0所以线段 PM 的中点在 y 轴上( )因为点P(1 ， -1) 在抛物线y=ax2 上，所以a=-1 ，抛物线方程为y=-x2由式知x1=-k1

21、-1，代入 y=-x2得 y1=-(k1+1)2将=1代入式得 x2=k1-1，代入 y=-x2 得 y2=-(k2+1)2因此，直线 PA、PB 分别与抛物线C 的交点 A 、B 的坐标为 A(-k1，-1 ，-k21-2k1-1)，B(k1-1 ， -k12+2k1-1)于是=(k1+2，k12+2k1)，=(2K1，4K1)，=2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)因 PAB 为钝角且P、 A 、B 三点互不相同，故必有<0 求得k1的取值范围是k1<-2或 - <k1<0又点A 的纵坐标 y1 满足y1=-(k1+1)2，

22、故当 k1<-2时， y1<-1；当 - <k1<0 时，-1<y1<- .即 y1 (- ，-1)U(-1，- ) 专家会诊1 判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆2 涉及弦长的问题中， 应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算， 以免出现差错 3 涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。命题角度 5 对轨迹问题的考查

23、1 (典型例题 )已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是()A.2BC 18+12D 21考场错解 C 专家把脉 对双曲线的定义理解不够深刻 对症下药 B设双曲线方程为=1 ，由题意得则 a=b=，则双曲线方程为=1, 由 得A （3 ，2 ），故交点到原点的距离为2 (典型例题 )已知点 A（ -2 ，0）、B(3 ，0) ，动点 P(x，y) 满足=x2 ，则点 P 的轨迹是()直线 l1:kx-y=0直线 l2:kx+y=0由题意得? =d2即 =d2k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点

24、 P 的轨迹 C 的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0( )略 专家把脉 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成 对症下药 解： (I)W1=(x， y)|kx<y-kx， z< 0| ，W2=(x,y)|kx<y<bc， x>0 ，( )直线 l1:kx-y=0直线 l2:kx+y=0，由题意得? =d2 ，即=d2 ，由 P(x， y) W ，知 k2x2-y2>0，所以=d2 ，即 k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；( )当直线 J 与

25、，轴垂直时，可设直线J 的方程为， x=a (a 0) 由于直线l ，曲线 C 关于 x轴对称，且l1 与 l2 关于 x 轴对称，于是M1M2 ， M3M4的中点坐标都为(a ， 0) ，所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为( a ，0) ，即它们的重心重合，当直线 l1 与 x 轴不垂直时，设直线J 的方程为y=mx+n(n0) 由 , 得 (k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0在QF1F2 中 故有 x2+b2= a2(x=±a)( )C 上存在 M(x0 ， y0) 使 s=b2的充要条件是：又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 ? =x0

26、2-c2+y20=a2-c2=b2即 cos F1MF2=b2又 s= sin FlMF2 得 tanFlMF2=2 专家把脉 (1) 没有注意证明题的书写格式(2) 思考问题不够全面 对症下药 (1) 证法一：设点P 的坐标为 (x， y)由 P(x， y) 在椭圆上，得2由|x| a ，知 a+-c+a>0，所以=a+ x 新课标第一网证法二：设点P 的坐标为 (x， y)记则 r1= ， r2= .由 r1+r2=2a， r21-r22=4cx ，得 =r1=a+证法三：设点P 的坐标为 (x， y)椭圆的左准线方程 a+ =0 由椭圆第二定义得即由 x-a ，知 a+-c+a&g

27、t;0 ，所以 =a+( )解法一：设点 T 的坐标为 (x，y) 当 =0时，点 (a ，0) 和点 (-a ，0) 在轨迹上当且 时，由 =0 ，得 又 ，所以 T 为线段 F2Q 的中点在 QF1F2 中， =a ，所以有 x2+y2=a2综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 x2+y2=a2解法二：设点T 的坐标为 (x， y) 当 | |=0 时，点 (a ， 0) 和点 (-a ， 0) 在轨迹上当 且 时，由 又| |=| | ，所以 T 为线段 F2Q的中点设点 Q 的坐标为 (x' ， y') ，则 因此 由 =2a 得 (x'+c)2+y'

28、2=4a2将代入，可得x2+y2=a2综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是 x2+y2=a2( )解法一： C 上存在点 M(x0 ， y0) 使 S=b2的充要条件是由得， |y0| a，由得， |y0| ，所以，当 a 时，存在点 M ，使 S=b2 ；当 a< 时，不存在满足条件的点M 当 a 时， =(-c-c0,-y0) ， =(c-c0,-y0)，由 ? =x02-c2+y20=a2-c2=b2，解法二： C 上存在点M(x0 ， y0) 使 S=b2的充要条件是由得 |y0|，上式代入得x20=a2- =(a- ) (a+ )0 于是，当 a 时，存在点M ，使 s=b2;

29、 当 a<时，不存在满足条件的点M 当 a 时，记 k1=kF1M=由|F1F2|<2a, 知F1MF2<90 °，所以 tan F1MF2= =2 专家会诊(1) 求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程， 故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起(2) 求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除故舍去综上所述：当x=时 d 取得最小值 专家把脉 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐 对症下药 解(1) 由已知可得点A(-6 ， 0) ， F(0，

30、 4)设点 P(x， y) ，则 =(x+6， y)， =(x-4 ， y)，由已知可得则 2x2+9x-18=0， x=或 x=-6 由于 y>0 ，只能 x=，于是 y=点 P 的坐标是 ( )(2) 直线 AP 的方程是x- +6=0设点 M(m ，0) ，则 M 到直线 AP 的距离是于是= |m-6|，又 -6 m 6 ，解得m=2椭圆上的点(x ， y) 到点M的距离d有， d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于 -6 m 6 ，当 x=时， d 取得最小值2 如图，直线y=x 严与抛物线y=x2-4 交于 A 、 B 两点，线段

31、AB 的垂直平分线与直线y=-5交于点 Q (1) 求点 Q 的坐标(2) 当 P 为抛物线上位于线段AB 下方 (含点 A 、 B) 的动点时，求 OPQ 面积的最大值 考场错解 (1) 略 ( )由 (1) 得 Q(5 ， -5)直线 OQ 的方程为x+y=0设 P(x,-4) 点 P 到直线 OQ 的距离d=-4 x 8 SOPQ 最大值 = |(-4+4)2-48|=15 专家把脉 要注意二次函数最大值的求法 对症下药 (1) 解方程组，得即 A(-4 ， -2) ， B(8 ，4) ，从而 AB 的中点为M(2 ， 1) ，由，得线段 AB 的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)令

32、y=-5 ，得 x=5 ，Q(5 ， -5) (2) 直线 OQ 的方程为x+y=0，设 P(x， -4) ，点 P 到直线 OQ 的距离 d=P 为抛物线上位于线段AB 下方点， 且 P 不在直线OQ 上 -4 x<4 -4或 4 -4<x 8SOPQ 最大值 =303 设椭圆方程为x2+ =1，过点 M(0 ，1) 的直线 l 交椭圆于点A、 B、O 是坐标原点，点P满足，点 N 的坐标为 ( ， )，当 l 绕点 M 旋转时，求：( )动点户的轨迹方程；( ) 的最小值与最大值 考场错解 (1) 若l 的斜率存在，设为k，则l ： y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k

33、2+4)x2+2kx-3=0x1+x2=i)A=0时， x=0y=1 ，P(0 ， 1)ii ） k0 时， k=P 点的轨迹为：x2+y2-y=0(yO)若 l 不存在斜率， A 、 B 为上、下顶点 P(0 ， 0)(2) 解：N( ) ，i) ，k 不存在时P(0 ，0) ， ii ） k=0时 P(0 ，1) iii ）k0 时 x2+(y- )2=。又N( ) max=2r=1 min=0 专家把脉 思路不清晰 对症下药 (1) 解法一：直线l 过点 M(0 ， 1) ，设其斜率为A ，则 J 的方程为y=kx+1记 A(x1 ， y1) 、B(x2 ，y2) ，由题设可得A 、 B

34、 的坐标 (x1 ， y1) 、 (x2,y2) 是方程组的解将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0所以于是设点 P 的坐标为 (x， y) ，则消去参数k 得 4x2+y2-y=0当 k 不存在时， A 、 B 中点为坐标原点 (0 ， 0) ，也满足方程，所以点P 的轨迹方程为4x2+y2-y=0解法二：设点P 的坐标为 (x， y)，因 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 在椭圆上，所以 - 得所以（ x1-x2 ） (x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0当 x1 x2 时，有 并且 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 当 x1=x2 时，点 A 、 B

35、 的坐标为 (0 ， 2) 、 (0 ， -2) ，这时点 p 的坐标为 (0 ， 0) 也满足，所以点 P 的轨迹方程为( )解法：由点P 的轨迹方程知x2 。 即 - x 所以故当 x=时，取得最小值，最小值为，当 x=时，取得最大值，最大值为由 消去 x 得 y2-2(k2+b)y+b2=0则的取值范围是2 ， + 专家把脉 (1) 没有注意“杂点”的去除；( )没有注意利用重要不等式时等号成立的条件对症下药 解法： (1) 设 P(x1 ， y1) 、Q(x2 ，y2) 、 M(x0 ，y0) ，依题意x1 0 ，yl>0 ，y2>0 由 y= x2 ，得 y'=x

36、.过点 P 的切线的斜率k 切 =x1,x1=0不合题意，x1 0 直线 l 的斜率 k1= , 直线 l 的方程为y- x21= (x-x1)方法一：联立消去y，得 x2+ -x21-2=0 M 为 PQ 的中点，消去 x1, 得 y0=x02+ +1(x00) ，PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x2+ +1(x0) ，方法二：由y1= x21,y2= x22，x0=，得 y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则 x0= k1=-x1=- , 将上式代入并整理，得y0=x20+ +1(x00) ， PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ +1(

37、x0) ( )设直线 l：y=kx+b，依题意 k0 ，b 0 ，则 T(0 ，b) 分别过P、Q 作 PP' x 轴， QQ'y 轴，垂足分别为p' 、 Q' ，则由 消去 x，得 y2-2(k2+b)y+b2=0则方 法 三 ： 由P 、 Q 、 T三 点 共 线 得kTQ=kTP , 即则x1y2-bx1=x2y1-bx2， 即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)于是 b=可取一切不等于l 的正数，的取值范围是 (2 ， + )专家会诊直线过定点的问题，常用直线系的思想处理定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数最值

38、问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理四、典型习题导练1 、已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为（ I）求椭圆的方程； （）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A 、 B 两点，若三角形OAB 的面积为求直线 AB 的方程。【解析】（）由题意，-1分解得-2分即：椭圆方程为-4分（）当直线与 轴垂直时，此时不符合题意故舍掉；当直线与 轴不垂直时，设直线的方程为：，代入消去得：-5分设 ，则，所以-7分原点到直线的距离，所以三角形的面积由，所以直线或 -12分2 、设椭圆 的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为 ，过 三点做 . （）若 是 的直径，求椭圆的离心率； （）若的圆心在直线上，求椭

39、圆的方程。【解析】（）由椭圆的方程知设 1分是的直径，,， 2分，解得：5 分椭圆的离心率6 分（）解：过点 三点，圆心即在 的垂直平分线，也在的垂直 端点恰为一个正方形的顶点过右焦点与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点（）求椭圆的方程； （）在线段 上是否存在点,使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（）因为椭圆的短轴长：，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：；故椭圆的方程为：4 分（）（ 1 ）若与 轴重合时，显然与原点重合， ；（ 2 ）若直线 的斜率 ，则可设 ，设 则：所以化简得： ；的中点横坐标为： ，代入 可得： 的中点为， 由于

40、 得到 所以：直线10分.12分直线恒过定点 .13 分5 、设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。()求椭圆的方程； ( )若直线交椭圆于A 、 B 两点，椭圆上一点，求面积的最大值。【解析】 ( )双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，圆的直径为，则 ，由所求椭圆 的方程为12分6 、已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点 F，点 A 是椭圆 E 的右顶点 . 过点 A 的直线交抛物线 C 于 M ， N 两点，满足，其中是坐标原点 . ( )求椭圆 E 的方程； ( )过椭圆 E 的左顶点 B 作 轴平行线BQ ，过点 N 作 轴平行线NQ ，直线 BQ 与 NQ 相交于点Q.

41、若 是以 MN 为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程 .【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识，考查转化求解能力.【解析】 ( ) ， ，设直线 代入 中，整理得 . 设 ，则 ，又 ， ，由 得 ，解得 或 (舍)，得 ，所以椭圆 的方程为 .( )椭圆 E 的左顶点，所以点 . 易证 M ，O ，Q 三点共线 .当 QM 为等腰 的底边时， 由于 ，O 是线段 MQ 的中点， 所以 ，即直线的方程为 ；当 QN 为等腰 底边时， ，又 ，解得 或 ，所以直线 MN 的方程为 ，即 . 综上所述，当 为等腰三角形时，直线MN 的方程为或 .7 、在平面直角坐标系中，动点到定点 的距离比

42、它到 轴的距离大，设动点 的轨迹是曲线 .( )求曲线 的轨迹方程； ( )设直线 :与曲线 相交于、 两点，已知圆 经过原点 和 两点，求圆 的方程 ,并判断点关于直线 的对称点 是否在圆上 .【解析】解：（ 1）由已知，即动点到定点 的距离等于它到定直线的距离， 2 分动点 的轨迹曲线 是顶点在原点，焦点为的抛物线和点4 分曲线 的轨迹方程为和. 6分由解得或8 分即 , 设过原点与点、 的圆 的方程为 ，则 ,解得圆 的方程为即10 分由上可知，过点且与直线垂直的直线方程为：解方程组，得即线段中点坐标为12 分从而易得点关于直线的对称点的坐标为把代入代入：点 不在圆上.14 分8 、过抛物线上不同两点、 分别作抛物线的切线相交于点)， . （）求；（）求证：直线恒过定点；（）设（）中直线恒过定点为，若恒