第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项,双十字相乘

1、第 16 讲 因式分解的方法配方法和拆添项法知识要点： 拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。补充公式：a3b3(ab)(a2abb2 )a3b3( ab)(a 2abb2 )A 卷一、填空题1 、分解因式： x39 x8 _ _ .（拆项法）2 、分解因式： x4x 22ax 1 a 2_ .（添项法）3 、分解因式： x5x1_ _ .（添项法）4、（“希望杯”初二试题）分解因式：a 4a 3b3a2 b22ab3b 4_ _ .25、（天津市竞赛试题）已知 x2y 2z22x 4 y6z1

2、40 ，则 x yz_.6、（“希望杯” 初二竞赛试题） 已知 xab ， yab （ ab ），且 19x2143xy 19y 22005 ，abab则 xy _ 或. （配方法）二、选择题7 、（“五羊杯”竞赛试题）若x 是自然数，设 y x42 x32 x22 x 1 ，则（）A、 y 一定是完全平方数B、存在有限个x，使 y 是完全平方数C、y 一定不是完全平方数D、存在无限个x，使 y 是完全平方数8 、若 a、b 、c 满足 a 2b2c 2222）9 ，则代数式 a bb cc a 的最大值是（A、 27B、 18C、 15D、121B 卷一、填空题9 、（全国联赛）已知1 bc

3、2abca ，且 a0 ，则 bc_ .（配方法）4a10、整数 a、 b 满足 6ab9a10b303，则 ab_ .（拆项法）11、正数 a、b 、c 满足 32b22ab 3b2c 1，则 a_ ， b _ ， c_.ac二、选择题12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b 、c、 d 都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A、若 a 2b2c 2abbcac ，则ab cB、若 a 3b 3c33abc ，则 abc44442222，则 a b c dC、若 abcd2 a bc dD、若 a 4b4c 4d 44abcd，则 ab cd三、解答题13 、分解因式：（ 1 ） x47 x21（

4、 2 ） a 2b 24a2b3 （郑州市竞赛题）（拆项配方）（ 3 ） x35x23x9 （拆项配方）（4 ） x32x 25x6 （重庆市竞赛题）（拆项配方）2（ 5 ） 4x331x 15 （拆项配方法）2（ 6） c a4 b c a bC 卷一、解答题14 、（ “希望杯”初二年级培训题）求最大正整数N ，使得 2 504101516 N 是是一个完全平方数。15 、（全国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9 个男生和 n 个女生的捐款总数相等，都是mn9m11n145 元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。

5、3双十字相乘法例、分解因式2x27 xy22 y 25x35 y3x2y-32x-11y1小结：用双十字相乘法对多项式ax2bxycy2dxeyf 进行因式分解的步骤是：(1) 用十字相乘法分解 ax2 bxy cy 2 ，得到一个十字相乘图 (有两列 )；(2) 把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx 4练习 分解因式：(1) x23xy10 y 2x9 y2 ；(2) x2y 25x3y4 ；(3) xyy 2xy2 ；(4) 6x27 xy3y 2xz7 yz2z2 5双十字

6、相乘法答案：例 . ( x2y3)( 2x11y1)(1)( x2 y1)( x5y2)(2)( xy1)( xy4)(3) ( y 1)( x y 2)(4) (2 x3 yz)(3xy2z)参考答案A 组1. 答案： x1 x2x8解析： 原式x3x8x8x x218x 1x x1x 18 x1x1 x 2x8提示： 本题的关键是将9x拆为x 和8x.2. 答案： x2x1ax2xa1x42x2x2a 2x222x2a x2解析： 原式12ax1xx1xa 1a提示： 本题的关键是将通过添加x 2 ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。3. 答案：x2x1 x3x216解析： 原式x

7、5x2x2x 1 x2 x31 x 2x 1 x2 x 1 x 2x 1 x2x 1x 2x 1x3x21提示： 本题的关键是将通过添加x 2 ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。4. 答案： a 2b22ab解析： 原式a 42a 2b 2b42a 3b 2ab 3a 2 b2a2b 2222ab a baba 2 b 2 ab2提示： 本题的关键是将通过拆项3a 2 b 2 ，构造完全平方公式。（拆项法）5. 答案： 2解析： 由题意得：x22x1 y24 y 4 z26z 9 022z32x 1y 20x1， y2 ， z 3xyz2提示： 本题的关键是将通过拆项14 ，构造完全平方公

8、式。（配方法）6. 答案： 10解析： 由 xy1y1x1912222x298x119x 143xy19 y19x143x22005x 22 98x1故 x10x提示： 本题的关键是将利用x、y 的倒数关系代换，然后配方。7. 答案： C解析： yx42 x3x2x 22 x1x2 x22x 1x22x1x21 x 1 2提示： 本题的关键是将2x2 拆项，然后利用提取公因式法分解即可。（拆项法）8. 答案： A解析： 原式2a22b22c22ab2bc2ac3 a 2b2c 2ab c27由于 ab c 20 ，故原式的最大值为27.提示： 本题的关键是将利用a 2b 2c22ab2bc2a

9、ca bc 2 解决问题。 （配方法）9. 答案： 2解析： 由已知变形得： 4a 2b2c 24ab 2bc4ac02a2b c0 2a b c故 b c2a提示： 本题的关键是展开整理配成完全平方式。10. 答案： 15解析： 由等式变形得： 6ab 9a 10b 15 2883a 5 2b 3 288 253 23a52 5 ， 2b33 2a 9， b 6故 a b 15提示： 本题的关键是将303拆项进行因式分解求解。11.答案： a 1， b2， c1解析： 把已知式变形得：3a 2b2c 2ab 3b 2c 1 0a23 b2c10b122222又 ab3b1c12022b2b2

10、 a20231c 12即 ab0 ， b1 ， c122故 a1， b2 ， c1提示： 本题的关键是将拆项配成。（拆项法）12. 答案： C解析：根据a2b 2c2abbcacab 2bc 2ac 20abc；8a 3b 3c 33abcabca2b 2c2abacbc0a2b2c2ab bc aca b c ；由 a 4b4c 4d 44abcda2b22c2d 222 abcd 2013. （ 1）解原式x 42 x219 x2x 2123x2x 23x1 x 23x1提示： 本题的关键是通过添项2x2 构成完全平方式，进而利用平方差公式分解。（拆项法）（2）. 解原式a24a4b 2b

11、12a2 2b1 2ab1 ab3（3）. 解原式3x226x9x9x6 xx 2x16x x19 x1x1x3 2（ 4 ）解原式x3x 2x 25 x6x 2x1x1x6x 2x 6x1x1x3x2（ 5 ）解原式4 x3x30x15x 2 x1 2 x 1 15 2 x 12 x1 2x 2x152 x1 2x5x3（ 6 ）解：令 bcx ， aby ，则 caxy2原式xy4 xyxy292bac214. 解：501015N24162 502 2101524N2 50122 19792 4N50当 4N502 1979，即 N1002时，以上括号中的式子可成为完全平方式若 N100222 2N25122197924N5022N 252，则1即 122197924 N50 在两个相邻自然