专升本高等数学试卷11答案

1、高等数学期末考试卷11答案一.单项选择题(3分5 =15分1设二阶线性非齐次方程(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1,x e y =2,x e y 23=,则其通解为(C A.x x e C e C x 221+;B.x x e C e C x C 2321+;C.(221x x x e x C e e C x -+-+;D.(2221x e C e e C x x x -+- 2. =-+y x y x y x 0234x y z -=与xoy 平面的交线是(D A 双曲线 B 抛物线 C 平行直线 D 相交于原点的两条直线4.若曲

2、面2132222=+z y x 的切平面平行于平面02564=+-z y x ,则切平面个数为 ( B A. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多5. 设D 是xoy 面上以1,1(,0,0(,1,1(-为顶点的三角形区域,1D 是D 中在第一象限的部分,则积分+Dd y x y x cos cos (33= ( A A.d y x D 1cos cos 23;B.132D yd x ;C.+1二.填空题(3分5 =15分6 . 函数yx z ln = , 则 x z =x 1 7. (x q y x p dxdy =+ 为一阶线性微分方程,其通解公式是 (c dx e x q e y

3、dx x p dx x p +=-8. 过点2,3,-4且垂直于平面3x +y -z +4=0的直线方程是 141332-+=-=-z y x 9. 曲面3=+-xy z e z 在点0,1,2(处的切平面方程为042=-+y x , 法线方程为02112zy x =-=- 。10. 与三个坐标轴夹角相等的单位向量是3kj i +±三.计算题(7分×7=49分11. 设(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-'',且其图形在点1,0(与曲线12+-=x x y 相切,求函数(x y 。解:原方程的齐次通解为:xxe C e C y

4、2210+= (2设x xe A y =*为原方程的一特解,代入原方程,解得1-=A即原方程的通解为:x xx xe e C e C y -+=221 (4而函数(x y 的图形在点1,0(与曲线12+-=x x y 相切,故函数(x y 在点1,0(与曲线12+-=x x y 有相同的切点和相同的斜率 即 10(=y ,10(='y (6 代入原方程通解,解得 1,021=C C函数x x xe e x y -=2( (712.求过点(2,0,-5且垂直于平面x-2y-4z -7=0及3x+5y-z +3=0的平面方程解:平面x-2y-4z -7=0的法向量4,2,11-=n ,平面

5、3x+5y-z +3=0的法向量1,5,32-=n , (2同时垂直于平面x-2y-4z -7=0及3x+5y-z +3=0的平面法向量2(1111112215342121k j i k j i kj i n n n +-=+-=-= (4所求平面方程为 05(0(2(2=+-z y x 化简为012=+-z y x (713.求过点M(0,2,4且与直线130 y x y z =+=平行的直线方程解:直线130 y x y z =+=的方向矢量k i kj i l -=3311010 (3过点M(0,2,4且与直线130 y x y z =+=平行的直线方程为14023-=-=z y x.(

6、7 14.求曲线042=y x z 绕z 轴旋转所成的旋曲面的方程,并求此曲面与平面z =1的交线在xoy 平面投影曲线的方程解:曲线042=y x z 绕z 轴旋转, z 坐标不变,x 坐标由22y x +±代替, 所成的旋曲面的方程为422y x z += (3该曲面与平面z =1的交线方程为1422=+=z y xz (5在xoy 平面投影曲线的方程为422=+y x (715.设,(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数,求y x z2。解:记y x u -=,xy v =,则 x v v z x u u z x z +='+'v u yf f (3(

7、2v u yf f y y x z +'=(y vv f y u u f y f y v v f y u u f v v v u u '+'+'+'+' (5='+"+"+"v vv uv uu f f xy f xy x xf ( (716.计算积分Dxydxdy ,其中D 是由抛物线2x y = 和直线2+=x y 所围成的闭区域解:区域D 如图所示 2,21,(2+-=x y x x y x D .(2 D xydxdy =-+2122x x xydy dx =2221221+=-x y xdxdy y

8、 x 22sin ,其中4,0,(222+=y x x y y x D 。解:区域D 如下图所示,作极坐标变换=sin cos r y r x 20,40,(=r r D (2+D dxdy y x 22sin =Drdrd r sin =2040sin dr r r d .(4 =20sin 4dr r r =cos (cos 42020-=dr r r r rr =22- (7四.应用题: (7分2 =14分 18 求球面2222=+z y x 与旋转抛物面 z y x =+22 所围立体区域的体积。 解:所围立体区域如下图所示 x 2 + y 2 + z 2 = 2 与 x 2 + y

9、2 = z 所围曲线在 XOY 平面上的投影柱面方程为 x 2 + y 2 = 1 ，即 在XOY平面上的投影区域D= ( x, y x 2 + y 2 1 .(2 V = dxdydz = ( 2 x 2 y 2 x 2 y 2 dxdy .(4 D x = r cos 作极坐标变换 y = r sin V = ( 2 r 2 r 2 rdrd = 02 d ( 2 r 2 r 2 rdr D 0 1 = 2 ( 2 2 1 = 1 3 1 4 4 2 7 .(7 3 6 19：已知柱面的母线方向是2，1，1，准线是 求该柱面的方程。 y= x2 4 z=0 解：设柱面上任意一点 P 的坐标

10、为 ( x, y , z ，其准线上对应点 P0 的坐标为 ( x 0 , y 0 , z 0 ， rr 则向量 PP0 平行于母线方向，即 x0 x y 0 y z z = = 0 = .(3 2 1 1 将 P0 的坐标 y x 0 = 2 + x 0 = + y 代入准线方程，消去参数 .(5 z0 = + z x 2 + 4 xz + 4 z 2 4 y + 4 z = 0 .(7 得到柱面的方程： 五、证明题（7 分） 20设 f(x= sin t sin t dt ( 定义 t t x t =0 = 1 , 证明 f ( xdx = 2. 0 证明： 0 f ( xdx = 0 sin t sin t dt.dx = dx dt. .(2 t 0 t x x 6 其中：二重积分 0 dx sin t dt. 的积分区域 D = ( x , t 0 x , x t t x （下图三条红线所围区域就是 D） 交换顺序后， D = ( x ,