中考数学二次函数专题复习超强整理

1、初三二次函数归类复习一、二次函数与面积面积的求法：公式法：S=1/2*底*高 分割法/拼凑法1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ xyOAB图三xyOABD图二ExyOABC图一PxyOMENA图五OxyDC图四xyODCEB图六2、抛物线与轴交与A、B（点A在B右侧），与轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，（1）求四边形BOCD的面积.（2）求BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）3、已知抛物线与轴交与A、C两点，与轴交与点B，（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；（2

2、）求四边形ABMC的面积.4、已二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；CPOABy（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得,若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。AyBOC变式一图变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.AxyOBC变式二图变式二：在双曲线上是否存在点N，使得，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.5、抛物线与轴交与A、B（点A在B右侧），与轴交与点C，若点E为第二象

3、限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和EBC的最大面积【模拟题训练】1（2015三亚三模）如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（1，0）（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及

4、此时E点的坐标二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。 利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题点拨】【例1】如图1-3，二次函数的图像与轴相交于点A、B，与轴相交于点C，经过点A的直线与轴相交于点D，与直线BC垂直于点E，已知AB=3，求这个二次函数的解析式。【例2】如图1-4，直角坐标平

5、面内，二次函数图象的顶点坐标为C，且在轴上截得的线段AB的长为6.（1） 求二次函数解析式；（2） 在轴上方的抛物线上，是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。【例3】如图1-6，在平面直角坐标系中，二次函数-的图像经过点A（4,0），C（0,2）。（1） 试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上；（2） 设所求函数图像的对称轴与轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似，试求点E的坐标。【模拟题训练】2（2015崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=

6、+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且ABC=90（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线y=x+1上是否存在点P，使得BCP与OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由三、二次函数与垂直【方法总结】应用勾股定理证明或利用垂直 三垂直模型【例1】：如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）【例2】：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在y轴上是否存在点

7、D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； 【例3】、（2011山东烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【模拟题训练】3（2015普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m0），点C在x轴上（不与点A

8、重合）（1）当BOC与AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）（2）当BOC与AOB全等时，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，APC=90，求点P的坐标及ACP的度数4如图，已知抛物线y=x21的顶点坐标为M，与x轴交于A、B两点（1）判断MAB的形状，并说明理由；（2）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由四、二次函数与线段题目类型：求解线段长度（定值，最值）：充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（30，45，60，90，120等）、特殊

9、三角形（等腰、等腰直角、等边）、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。判断线段长度关系：a=b, a=2b, a+b=c, a+b=2c, a2+b2=c2 , a*b=c2【模拟题训练】5（2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x21上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=_，PH=_；当m=4时，OP=_，PH=_【猜想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y

10、=x24x+3，直线l变成y=m（m1）已知抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标五、二次函数与角度结题方法总结角度相等的利用和证明：直接计算 平行线 等腰三角形 全等、相似三角形 角平分线性质 倒角（1=3，2=31=2）【构造三垂直模型法】例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若AOP=45，则点P的坐标

11、为( )【直接计算】例2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且DCP=30，则符合题意的点P的坐标为( )【与几何图形结合】例4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得PAC为锐角？若存在，请你求出P点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。【利用相似】例3、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点C（0，3），过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接、，试比较和的大小，并说明

12、你的理由.【模拟题训练】6（2015松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，3）和点（1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分PCO，求m的值六、二次函数与平行四边形解题方法总结：平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角） 比较一次函数k值 平行四边形的性质 注意多解性【模拟题训练】7如图，抛物线y=x2+bx3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点

13、，其中C的横坐标为2（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由七、二次函数与图形转换常见图像变换：平移（上加下减，左加右减）轴对称（折叠）【模拟题训练】8（2014西城区一模）抛物线y=x2kx3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶

14、点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；（3）将线段BC平移得到线段BC（B的对应点为B，C的对应点为C），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B到直线OC的距离h的取值范围模拟训练题参考答案1考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）分别令解析式y=x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心C

15、D为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（4）设出E点的坐标为（a，a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答：解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，解得：，即该二次函数的关系式为y=x2+x+2；（3）y=x2+x+2，y=（x）2+，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股

16、定理，得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD如图1所示，作CHx对称轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）；（4）当y=0时，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B（4，0）直线BC的解析式为：y=x+2如图2，过点C作CMEF于M，设E（a，a+2），F（a，a2+a+2），EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a），=a2+4a+（0x4）=（a2）2+a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，E（2

17、，1）点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键2考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）作CDx轴于D，根据题意求得OAB=CBD，然后求得AOBBDC，根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD，从而设BD=m，则C（2+m，2m），代入抛物线的解析式即可求得；（3）分两种情况分别讨论即可求得解答：解：（1）把x=0代入y=x+1得，y=1，A（0，1），把y=0代入y=x+1得，

18、x=2，B（2，0），把A（0，1），B（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线的解析式y=x2x+1，（2）如图，作CDx轴于D，ABC=90，ABO+CBD=90，OAB=CBD，AOB=BDC，AOBBDC，=2，CD=2BD，设BD=m，C（2+m，2m），代入y=x2x+1得，2m=（m+2）2（m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），C（4，4）；（3）OA=1，OB=2，AB=，B（2，0），C（4，4），BC=2，当AOBPBC时，则=，解得，PB=，作PEx轴于E，则AOBPEB，=，即=，PE=1，P的纵坐标为1，代入y=x+1得，x=0或x=4，P（0，1）或

19、（4，1）；当AOBCBP时，则=，即=，解得，PB=4，作PEx轴于E，则AOBPEB，=，即=，PE=4，P的纵坐标为4，代入y=x+1得，x=6或x=10，P（6，4）或（10，4）；综上，P的坐标为（0，1）或（4，1）或（6，4）或（10，4）点评：本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键3考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）分类讨论：BOCBOA，BOCAOB，根据相似三角形的性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根

20、据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案解答：解：（1）点C的坐标为（m，0）或（4m，0）或（4m，0）；（2）当BOC与AOB全等时，点C的坐标为（m，0），二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，解得二次函数解析式为y=x2+4，点C的坐标为（2，0）；（3）作PHAC于H，设点P的坐标为（a，a2+4），AHP=PHC=90，APH=PCH=90CPH，APHPCH，=，即PH2=AHC

21、H，（a2+4）2=（a+2）（2a）解得a=，或a=，即P（，1）或（，1），如图：当点P1的坐标为（，1）时，OP1=2=OC，sinP1OE=COP=30，ACP=75当点P的坐标为（，1）时，sinP2OF=，P2OF=30由三角形外角的性质，得P2OF=2ACP，即ACP=15点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质4考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，

22、得出AMO=MAO=BMO=MBO=45从而得出MAB是等腰直角三角形（2）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m21），C（n，n21），通过EGDH，得出=，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出CGMMHD，利用对应角相等得出CMG+DMH=90，即可求得结论解答：解：（1）MAB是等腰直角三角形理由如下：由抛物线的解析式为：y=x21可知A（1，0），B（1，0），OA=OB=OM=1，AMO=MAO=BMO=MBO=45，AMB=AMO+BMO=90，AM=BM，MAB是等腰直角三角形（2）MCMD理由如下：分别

23、过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m21），C（n，n21），OE=n，CE=1n2，OF=m，DF=m21，OM=1，CG=n2，DH=m2，EGDH，=，即=，解得m=，=n，=n，=，CGM=MHD=90，CGMMHD，CMG=MDH，MDH+DMH=90CMG+DMH=90，CMD=90，即MCMD5（2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x21上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5【猜

24、想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y=x24x+3，直线l变成y=m（m1）已知抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；（2）根据图象上的点满足函数解析式，

25、可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；（3）根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得CM=MN，根据线段的和差，可得GN的长；对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得方程，根据解方程，可得m的值，再根据线段的和差，可得GN的长解答：解：（1）当m=0时，P（0，1），OP=1，PH=1（2）=1；当m=4时，y=3，P（4，3），OP=5，PH=3（2）=3+2=5，故答案为：1，1，5，5；（2）猜想：OP=PH，证明：PH交x轴与点Q，P在y=x21上，设P（m，m21），PQ=|x21|，OQ=|m|，OP

26、Q是直角三角形，OP=m2+1，PH=yp（2）=（m21）（2）=m2+1OP=PH（3）CM=MN=m1，GN=2+m，理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，M（2，1），即CM=MN=m1GN=CGCMMN=m2（m1）=2+m点B的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m由勾股定理，得BN=，对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，得即1+（2+m）2=（m）2解得m=由GN=2+m=2=，即N（0，），m=，N点的坐标是（0，）点评：本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差

27、，利用的知识点较多，题目稍有难度6考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案解答：解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，3）和点（1，5），得，解得二次函数的解析式y=x24x；（2）y=x24x的顶点M坐标（2，4），这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m4）；（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，如图：作MGPC

28、于G，设G（a，a+m）由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG在RtDCM和RtGCM中，RtDCMRtGCM（HL）CG=DC=4，MG=DM=2，化简，得8m=36，解得m=点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质7考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）将A的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式（2）欲求ACE面积的最大值，只需求得PE线段的最大值即可PE的长实

29、际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值（3）此题要分两种情况：以AC为边，以AC为对角线确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标解答：解：（1）将A（1，0），代入y=x2+bx3，得1b3=0，解得 b=2；y=x22x3将C点的横坐标x=2代入y=x22x3，得y=3，C（2，3）；直线AC的函数解析式是y=x1（2）A（1，0），C（2，3），OA=1，OC=2，SACE=PE（OA+OC）=PE3=PE，当PE取得最大值时，ACE的面积取最大值设

30、P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（x，x22x3）；P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，当x=时，PE的最大值=则SACE最大=PE=，即ACE的面积的最大值是（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（3，0），F3（4+，0），F4（4，0）如图，连接C与抛物线和y轴的交点，C（2，3），G（0，3）CGX轴，此时AF=CG=2，F点的坐标是（3，0）；如图，AF=CG=2，A点的坐标为（1，0），因此F点的坐标为（1，0）；如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=x+4+因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；如图，同可求出F的坐标为（4，0）；综合四种情况可得出，存在4个符