第12炼复合函数零点问题

1、第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质第 12 炼 复合函数零点问题一、基础知识：1 、复合函数定义：设yft ， tg x ，且函数 g x 的值域为ft定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是 x 的复合函数，记为yfg x2 、复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知f x2x , gxx2x ，计算 gf2解： f 2224g f 2g 4 123 、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知fx2x ， g xx22x

2、 ，若 g f x0 ，求 x解：令 tf x，则 gt0t 22t0 解得 t0, t2当 t 0f x0 2x0 ，则 x当 t 2f x2 2x2 ，则 x 1综上所述： x 1由上例可得，要想求出g fx0的根，则需要先将fx视为整体，先求出 fx的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4 、函数的零点：设fx 的定义域为 D ，若存在 x0D ，使得 fx00 ，则称 xx0 为fx 的一个零点5 、复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 gfx0 根的个数， 在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx 的方程，观察有几个fx 的

3、值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx 的值求出每一个fx 被几个 x 对应，将 x 的个数汇总后即为gfx0 的根的个数本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质6 、求解复合函数 yg f x 零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出fx , g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx 的方程 gfx0 中 f x解的个数，再根据个数与f x 的图像特点，分配每个函数值f i x 被几个 x 所对应，从而确定 fi x 的取值范围，进而决定参数的范围

4、复合函数：二、典型例题1, x 1例 1 ： 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f xx 1， 若 关 于 x 的 方 程1,x1f 2xbfxc0 由 3 个不同的解 x1 , x2 , x3 ，则 x12x22x32_思路：先作出fx的图像如图：观察可发现对于任意的y0 ，满足 y0fx 的 x 的个数分别为 2 个（ y00, y0 1 ）和 3 个（ y01 ），已知有3 个解，从而可得f x 1必为f 2xbfxc0 的根，而另一根为1 或者是负数。所以fxi1 ，可解得：x10, x21,x32 ，所以 x12x22x325答案： 5例 2 ：关于 x 的方程23 x2120 的

5、不相同实根的个x 2 1数是（）A.3B. 4C.5D.8思路：可将x21 视为一个整体，即t xx21 ，则方程变为 t23t2 0 可解得：t1 或 t2 ，则只需作出 t xx21的图像，然后统计与 t1 与 t2 的交点总数即可，共有 5个本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质答案： C例 3 ： 已 知 函 数 f (x)| x1| x1| ， 关 于 x 的 方 程 f 2 (x)a f ( x) b 0xx（ a, b R ）恰有 6 个不同实数解，则a 的取值范围是思路：所解方程 f 2( x

6、)a f ( x)b0 可视为 fx20 ，故考虑作出a f xb21, xxf x 的图像： f x2x,0x1， 则 fx的图像2x,1x02 , x1x如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有f1 x 2,0 f2 x 2 ，所以 a f1 x f2 x2,4 ，解得4a2答案：4a20 时， fx2 x 11,0x2例 4 ：已知定义在 R 上的奇函数，当x1x 2, x，则关于 x 的方f22程 6 fx2f x1 0 的实数根个数为（）A.6B.7C.8D.96fx210 可解，得f1 x1x1思路：已知方程f x, f2，只需统计1 , y123y与 yf x的交点个数即可。

7、由奇23函 数 可 先 做 出 x0 的 图 像 ， x2 时 ，fx1f x2，则 x2,4的图像只需将2x 0,2 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质过数形结合可得共有7 个交点答案： B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5 ：若函数fxx3ax2bxc 有极值点 x1, x2 ，且 fx1x1 ，则关于 x 的方程3f22afxb0的不同实根的个数是（x）A 3B4C 5D 6思路：

8、f 'x3x22axb 由极值点可得：x1 , x2 为 3x22axb0的两根，观察到方程与 3fx22afxb0 结构完全相同， 所以可得3fx22afxb0 的两根为f1xx1 , f2xx2 ，其中 f1x1x1 ，若 x1x2 ，可 判 断 出 x1 是 极 大 值 点 ， x2 是 极 小 值 点 。 且f2xx2x1fx1，所以 yf1 x 与 fx 有两个交点，而f2x与 fx有一个交点，共计3个；若x1x2 ，可判断出x1 是极小值点，x2 是极大值点。且f2xx2x1fx1，所以 yf1 x 与 fx 有两个交点，而f2x与 f x 有一个交点，共计3 个。综上所述

9、，共有3个交点答案： A例 6 ：已知函数 fxx24x3fx2xc0 恰有七个不相同的，若方程bf实根，则实数 b 的取值范围是（）A.2,0B.2,1C.0,1D.0,2思路：考虑通过图像变换作出f x的图像（如图），因为fx2bfxc0 最多只能解出2 个 fx ，若要出七本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质个根，则f1 x1, f 2 x0,1 ，所以bf1 xf2 x1,2 ，解得： b2, 1答案： B例 7：已知函数f xx，若关于 x 的方程f2xmfxm 10恰有 4个不相等ex的实数根，

10、则实数m 的取值范围是（）A.1 ,2U2,eB.1 ,1C.1,11D.1 ,eeeeexx , x0思路： fxe，分析 fx的图像以便于作图，x0x , xex0时， f 'x1xe x，从而 fx在0,1 单调递增，在 1,单调递减， f11, y0，所以 x，且当 xe正半轴为水平渐近线；当x0 时， f 'xx1 e x ，所以fx在,0单调递减。 由此作图， 从图像可得， 若恰有 4 个不等实根， 则关于 fx 的方程 f 2xmfxm10 中， f1x0,1, f2x1,，从而将问题转化ee为根分布问题，设tfx，则 t 2mtm10 的两根 t10, 1 ,

11、t21 ,，设eet 2g 00m1 01g tmtm 1 ，则有1011m1，解得 m1,1ge2m0eee答案： C小炼有话说： 本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。ax 1, x01 的零点个数判断例 8 ：已知函数 f x，则下列关于函数 y f f xlog2 x, x0本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质正确的是（）A. 当 a0 时，有 4 个零点；当B. 当 a0 时，有 3 个零点；当a 0

12、 时，有 1 个零点a0 时，有 2 个零点C. 无论 a 为何值，均有2 个零点D. 无论 a 为何值，均有4 个零点思路：所求函数的零点，即方程ff x1 的解的个数，先作出 fx 的图像，直线y ax1 为过定点 0,1 的一条直线， 但需要对 a 的符号进行分类讨论。当 a0时，图像f1 x20, f2x1x ， f 2x 也如图所示， 先拆外层可得a，而 f1 x 有两个对应的21有两个对应的 x ，共计 4个；当 a0时， fx的图像如图所示， 先拆外层可得f x，12且 f xA 正确只有一个满足的 x ，所以共一个零点。结合选项，可判断出2答案： A2x109： 已 知 函 数

13、 f xx3 3x 2 1,g1,x例x2，则方程x203 1,xgfxa 0 （ a 为正实数）的实数根最多有个思 路 ： 先 通 过分 析 f x , g x的性质以便于作图，f 'x3x26x 3x x 2 ， 从 而 fx 在本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质,0 , 2,单增，在0,2 单减，且f01, f23 ， g x 为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取fx 能对应 x 较多的情况，由fx 图像可得，当fx3,1 时，每个fx 可对应 3 个 x 。

14、只需判断 gfxa中， fx 能在3,1 取得的值的个数即可，观察g x 图像可得，当a1, 5时，可以4有 2 个 f x 3,1 ，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数答案：6个例 10 ：已知函数 yfx 和 yg x 在2,2 的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程 fgx0 有且只有6 个根（2）方程 gfx0有且只有3 个根（3）方程 ffx0有且只有5 个根（4）方程 ggx0 有且只有4 个根则正确命题的个数是（）A.1B. 2C. 3D. 4本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第 12 炼 复合函数零点问题函数及其性质思路： 每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 x 的总数。（1）中可得 g1x2, 1 , g2 x0, g3x1,2 ，进而 g1 x有 2 个对应的 x，g2x 有 3 个， g3x 有 2 个，总计7 个，（ 1 ）错误；（2）中可得 f1x2, 1 , f2 x0,1，进而 f1 x 有 1 个对应的 x ， f 2 x