第六章多自由度体系地微振动

1、实用标准文案第六章多自由度体系的微振动教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。教学难点：简正坐标的物理意义。§6.1 振动的分类和线形振动的概念振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。一：

2、振动的分类1.按能量的转换来划分 .自由振动系统的能量E 为常数，即能量守恒。阻尼振动系统的能量E 逐渐转化为热能 Q。强迫振动系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。2.按体系的自由度划分 .单自由度振动体系的自由度S=1。有限多自由度振动和无限多自由度振动体系的自由度为大于1 的有限值或无限大值。3.按体系的动力学微分方程的种类划分.线性振动体系的运动微分方程为线性方程。非线性振动体系的运动微分方程为非线性方程。4.本章研究的主要问题 .以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为

3、单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。表 6.1 给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主精彩文档实用标准文案要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。表 6.1线性振动非线性振动单自由度有限多自由度无限自由度二：有限多自由度线性振动1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。例如：单摆的运动微分方程为g sin0 ，方程为非线性的。 但当很小时有 sin，l方程变为线性方程g0。如果同时还存在有阻尼及强迫力 f ( t ) ，则方程可写成lgf ( t )，仍为线性方程。l2.应用：一般

4、情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。三：平衡位置及其分类 .1.平衡位置的定义及判定方法。（1）定义：如果力学体系在t=0 时静止地处于某一确定位置，当t时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。（2）判定方法：在§ 2.4 节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章 4.2 式），即Vi0,i1,2.s ，这可以做为保守体系平衡位置的判据。qi2.平衡位置的分类

5、及其判定方法.（1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类：1 稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动。精彩文档实用标准文案2 不稳定平衡：力学体系受到扰动后将逐渐远离平衡位置。3 随遇平衡：力学体系受到扰动后将在新的平衡位置下保持平衡。这三种平衡位置可用图6.1 形象地表示出来，只不过图6.1 是针对单自由度而言，针对多自由度也有类似的例子。（2）平衡位置种类的判据 .上述三种平衡位置均能满足V，但只有稳定平衡才能引起体系的振动，因而我们0q有必要找到各种平衡位置的区别或判据。参考图 6.1 可知，势能取极小值时才是稳定平衡。拉格朗日将托里

6、拆利的这一思想推广到任意保守体系，得到了关于体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理如下：如果在某一位置保守体系的势能有严格的极小值，那么该位置为体系的稳定平衡位置。当 S=1 时，判据为： dV0 且 d 2V0 ；dqdq2当 S=2 时，判据为：VV0且 (V )22V0 ，2V0,2V0 。q1q2q1 q2q12 q22q12q22另外已证明的定理还有：如果力学体系的 V 取极大值，则体系处于不稳定平衡（逆定理还未证实）；如果 V=C ，则体系处于随遇平衡。四 本节重点：掌握振动的分类特别是线性振动的概念，熟练掌握平衡位置的分类和平衡位置种类的判据。§6.2 两个自由度保守体系的自

7、由振动对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2，体系做自d (T )TV0由微振动，广义坐标为x1 ,x2。由拉格朗日方程可得：dtx1x1x1，接下来关d (T )TV0dtx2x2x2键就是设法将动能T、势能 V 表示成关于 x1 ,x2 的函数，再将其代入上述方程中即可得到体精彩文档实用标准文案系的线形运动微分方程。一：动能 T、势能 V 的表达式 .1. 动能 T、势能 V 的一般表达式 .由§ 2.7 的结论可知当体系受稳定约束时，12xj ，其中 Ai , jr。由T T2Ai , j xim2 i , j 1xix j于体系在平衡位置附近的微

8、振动均可看成是受稳定约束，所以有：T1 ( A11 x122A12 x1 x2 A22 x22 )（2.2）2因势能 V 仅与 x1 , x2 有关，与 x1 , x2 无关，因而可得 VV ( x1 , x2) 。下面就是设法将动能 T、势能 V 的一般表达式化简为所需的形式即可。2. 动能 T、势能 V 表达式的化简 .取平衡位置为广义坐标x1 ,x2 的零点，将 V、 T 在平衡位置展开成泰勒级数可得：V ( x1 ,x2 )V( 0,0)2(V )0 xi2 1 (2V )0 xi xj()（2.3）i 1xii , j 12xixj2Aij )0 xi .（2.4）Ai ,j ( x

9、1 ,x2 )Ai , j ( 0,0 )(i 1xi（ 1）势能 V：对于（2.3）式，令 V ( 0,0 )0且因体系在平衡位置时有 (V0，略去( )0xi等 xi 的高次项后可得： V ( x1 ,x2 )2 1 (2V)0 xi x j1 (2V2 )0 x12(2V)0 x1 x21 (2V2 )0 x22i , j 1 2xi x j2 x1x1 x22 x2V( x1 , x2 )1 ( b11x122b12 x1 x2b22 x22 )（ 2.5）2其中 bi , j(2V)0b j ,iC ，（2.5）式即为所求的势能 V 化简后的表达式。xi x j（ 2）动能 T：对于

10、（ 2.4）式，考虑到 x,x 应为同阶小量，而（2.2）式中 T 已为二次式，所以 Ai ,j ( x1, x2 ) 只要取零次式即可，即有Ai , j ( x1 ,x2 )Ai , j ( 0,0 )aij ，这样动能可表示为：T( x1 ,x2 )12aij xix j1( a11x122a12 x1 x2a22 x22 )（ 2.6）2 i , j 12精彩文档实用标准文案其中 a11 ,a12 ,a22 均为常数，（2.6）式即为所求的动能T 化简后的表达式。二：体系的运动微分方程及其解1.运动微分方程：将（ 2.5）、（2.6）式代入（ 2.1）式化简后可得a11x1a12 x2b

11、11x1b12 x20（2.7）a21x1a22 x2b21x1b22 x2020或者化简为( aij x jbij x j )i 1,2（）2.8j1该方程为二阶常系数常微分方程组，可用高等数学中关于微分方程组的相应理论求解。2.方程的解 .（1）试探解及久期方程：对于（2.7）式在物理学中常用取试探解的方式求解，即令方程的试探解为x1A1 sin(t)x1A12 sin(t)x2A2 sin(t（2.9），两端对时间求导后可得A22 sin(t，)x2)将以上两式代回（ 2.7）式得：A1( b11a112 ) A2 ( b12a122 ) 0（2.10）A2( b21a222 ) A2

12、( b22a222 ) 02(2 )0或写成biji 1,2（）j1Ajaij2.11要使（2.10）有解，首先应使 A 1、A2 有实数解，这要求的系数所构成的行列式必须为零，即 b1122a11b12a120222)20（）b212b22a222( b11a11)( b22 a22) ( b12 a122.12a22（2.12）式被称为久期方程或频率方程，它是关于2 的一元二次方程。（ 2）久期方程的两个正根：可以证明久期方程必有两个正根，只有这样求出的为实数才有实际的物理意义。证明：因 V ( 0,0 ) 0 ，当 x1 ,x2 不同时为零时，应有 V ( x1 , x2 ) V ( 0

13、,0 )0 。由 V ( x1 ,x2 )1 ( b11x122b12 x1 x2 b22x22)0 ，令 x10 b220 ，同理可得 b110 ，2另外可将 V 表达式改写为 V ( x1,x2 )1( b12 x1b22 x2 )2( b11b22 b122)x12 ，2b12精彩文档实用标准文案要使上式恒大于零，必须有b11b2220（）b122.13同理因 T( x1, x2) 0可以证明 a110,a220且 a11a22a1220（2.14）接着可做出 f ( 2 ) 2 的函数图象，其中 f (2 )( b11a112 )( b22a222 )( b12a122)2，当 20时

14、， f ( 0) b11b22b1220 ； 2时， f ()4( a11a22a122 )0 ；当2b11时，b11)( b12a12b11)20 ；当2b22b22)( b12b22)20 。a11f (a11a22时， f (a12a11a22a22由以上讨论可知，函数f (2) 在20及之间有两次穿过横轴，也就是方程（）2.12必然有两个正根。其实，从（2.13）、（2.14）出发，利用 x1x2b0,x1x2c0 就可aa直接判定该方程有两个正根。（ 3）运动微分方程的特解和通解设方程的两个根分别为12 ,22 ，分别将 12 ,22代入（ 2.10）式中的任一个可得：( 1 )2b

15、11( 2 )2b11A2a11 1( 1)，A2a11 2( 2 )（ 2.15）( 1 )b2222( 2 )b2222A1a22 1A1a22 2即有 A2(1)2(1 ) A1( 1)， A2( 2)2( 2 ) A1( 2 ) 。令为 A1( 1) ,A1( 2 ) 分别为试探解（ 2.9）式中 x1 的振幅，则运动微分方程的特解为：x1A1(1) sin( 1t)及 x1A1(2 ) sin( 2t)。x22(1) A1(1) sin(1t)x22(2) A1( 2) sin( 2t)根据线性微分方程的理论，方程的通解应是两组特解的线性组合，即有x1 c1x1(1 )c2 x1(

16、2 )c1 A1( 1 ) sin( 1t1 )c2 A1( 2 ) sin(2t2 )x1 A1(1 ) sin(1t1 )A1( 2 ) sin(2t2)同理可得 x( 1 )A ( 1) sin( t1)(2)A(2)sin(2t2)221121式中 A1( 1),A1(2 ), 1,2 为常数，由初始条件 x1( 0 ), x2( 0) 及 x1 ( 0 ), x2( 0 ) 决定。（ 4）久期方程有两个相等正根时运动方程的解 .久 期 方 程 （ 2.12 ） 还 可 能 有 两 相 等 的 正 根 ， 例 如 当 b11b22b12时，函数a11a22a12精彩文档实用标准文案f

17、(2 )f ( b11 )( b12a12b11 )20， f ( 2 ) 2 的函数曲线与横轴只有一个交点。方程a11a11f (2 )0 的解为2b11b22b12，也就是方程（ 2.10）中 A1 , A2 的系数均为零， A1 , A2 取a11a22a12任何值都可以。此时久期方程的两组特解为x1(1 )A1 sin( 1t1 ) ， x2(1 )0 ； x1( 2 )0 ， x2( 2 )A2 sin(2t2) 。方程的通解仍是两组特解的线性组合，即有x1A1sin(t1)x2A1sin(t（2.18）2 )四个常数 A1 , A2 ,1 , 2 由初始条件决定。三 .例题（从略）

18、四 .本节重点： 2 个自由度力学体系做微振动时的通解和特解。§6.4 简正坐标和简正振动我们知道一个力学体系的广义坐标的选取是任意的，如果广义坐标选取的合适，可以使微分方程的求解非常容易，具体可见下例。一：双单摆的振动研究 .在双单摆中如果取q11， q21为广义坐标，可得 1( q1 q2 ) / 2 ，1212221( q1q2 ) /2 。将其代入 T、V 的表达式（见 178 页）化简后可得：T1 ml 2 ( 11)q12(11)q22 ，V1 mgl ( q12q22 ) ，将两式代入拉格朗日方程可得：2222q1g2q10q1A1 sin(1t1 )l21（4.5）g

19、2，求解两方程可得：q2A2 sin(2t2 )q2q20l212g( 22 )其中1l，将（ 4.6）代回（ 4.2）式可得2g( 22 )2l1A1 sin(1t1 )A2sin(2t2 )22（4.7）A1sin(1t1 )A2sin(2t2 )222精彩文档实用标准文案这与上节直接选1 , 2 为广义坐标的所求结果完全一致，但求解的过程要简便的多。二：简正坐标1.定义：在处理线性振动时如果选取的广义坐标能使动能T、势能 V 同时表示成广义速度 q和广义坐标 q 的平方和形式，即T1 ( a11q12a22q22.annqn2 )2，则该坐标为广义坐标。V1 ( b11q12b22q22

20、.bnn qn2 )2将 T、V 的以上表达式代入拉格朗日方程可以很方便的得到：a11q1b11q10q1A1 sin( 1t1 )2b11a111a22q2b22q20q2A2 sin(2t2 )2b22a222.其解为.annqnbnnqn0qnAn sin(ntn )nbnnann2.物理意义 .在上例双单摆中如果令1(0)0及2(0)2 0，代回（4.7）式可得 A12 0，A20 ，1(0) 02(0)0/ 2 ，2 任意，方程的通解为q120 cos1t2g l1g，等效于1q20，其中1l2 )( 2l1l0 、(0) 20 的单摆的运动。1.7l 、 ( 0)22同理，如果令初

21、始条件为1(0)及2(0)20 ，代回（4.7）式可得A10 ，0，1(0)02(0 )0A2 21任意， 2/ 2 ，方程的通解为q10，其等效于 l2l0.3l 、 ( 0)0 、q22 0 cos222t( 0 )2 0 的单摆的运动。从上例可以看出，简正坐标的物理意义可总结如下：（ 1）当选择某个坐标为广义坐标使力学体系在振动过程中该坐标只以一个频率振动，其余频率为零或者说没有被激发出来，那么用来反映这种振动模式的坐标即为简正坐标，相应的振动模式为简正振动或本征振动。或者说如果选取的广义坐标可以使体系的振动只以某种与此坐标对应的频率振动，该坐标为简正坐标。精彩文档实用标准文案（ 2）对于体系的任意振动状态，都可以看成是各种简正振动的线性叠加。（ 3）简正坐标的合适选取不仅有利于方程的求解，而且还可以反映体系振动的物理本性，因此在处理微振动时应尽量选取简正坐标。三 简正坐标的简单求法 .理论上可通过坐标的变换消去 T、V 的二次项，从而得到简正坐标；还有一种方法就是通过物理直觉直接判定出简正坐标，但是这两种方法都不好掌握。下面我们来介绍当体系的自由度 S=2、3 时，可以采用的一种简单容易掌握的方法。1. 自由度 S=2.设 x1 ,