考研数学概率论地总结(强烈推荐)

1、实用标准文案考研数学概率论部分重难点总结概率论是考研数学必须全得的分数，其实概率论也是考验数学三驾马车中最简单的一门，代数是最难的一门，因此，学好概率论是考验数学的必须部分。下面进行总结1.1概率这门课的特点与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的， 概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占 60%和 20 的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。在高数部分，公

2、式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少， 而需要通过推导相互联系来理解记忆的多， 所以记忆量也不构成难点；但是在概率中， 由大量的概念、 公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处 （因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章随机变量及其分布、第三章随机变量的数字特征 中在每章开始列出的那些大表格时， 感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的

3、内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。1.2概率第一章随机事件和概率本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如 P(AB)P(AB) 、P(B| A) P(B| A) 、P(A BC ) 这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能

4、考到。在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题，比如事件 A 若与事件 B 有包含关系 BA ，则可作图长方形内的点都属于 B 的范围，圆形则代表A 的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义“A 发生时B 必发生， B 发生时 A 不一定发生” ；精彩文档实用标准文案事件 A与B的并 AB可作图，则 AB是A、B两个圆形（包含相交部分） ，对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于A 就是属于 B ，体现了 AB “事件 A 与 B 至少有一个发生”的定义；同理，事件A 与 B 的差A B 表示事件 A 与 B 同时发生，在上图中所有满足条件的点组成了两圆相交的那

5、一部分。对于其它的概率运算公式也可用图辅助理解，有的题甚至可以直接通过作图来得到答案。如公式P(ABC)P( A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P( ABC)可以借助右图表示公式左端的 P(ABC) 等于 A 、B 、 C 三个圆形各自互不相交的三部分再加上a, b, c, d 四小部分，而公式右端中的P(A)P(B)P(C)代表的区域包括 A 、 B 、 C 各自互不相交的三部分(2a2b2c2d ) ，比左端多加了一次a, b,c 和两次 d ，这时等式是不平衡的；再减去 P(AB)P(BC)P( AC)即是2a2b2c3d(ad )(cd )abc ，与公式左端所代表的图

6、形相比只少了一块d ，加上即可，故再加P(ABC ) 后等式成立。区别互斥、互逆、对立与不相容：事件A 与事件 B 互斥也叫 A 与 B 不相容，即AB，事件A 与事件 B 对立就是 A 与 B 互逆，即为 A 与 A 的关系。P( AB)P( A)P( AB)(1)公式组P( AB)P( A) P( B | A)(2)在历年考研真题中频繁用到，P(AB)P(A) P(B) (A,B相互独立 ) (3)精彩文档实用标准文案很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（ 1）表示事件A 、 B 同时发生的概率等于A 发生的概率减去A 发生而 B 不发

7、生的概率； （ 2）式表示事件A 、 B 同时发生的概率等于A 发生的概率乘以在A 发生的条件下 B 也发生的概率；当A 、 B 相互独立时，也就是指事件A 与事件 B 的发生互不影响，此时应该有 P(B|A)P(B) 、 P(A|B)P(A) 所以P( AB)P(A)P(B | A)P( A)P(B) 由（ 2）式即可得出（ 3）式。出题人从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。1.3 第二章随机变量及其分布 、第三章随机变量的数字特征、第四章大数定律和中心极限定理对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大

8、一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟, 在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。 对

9、于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别” 。同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现 “由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率

10、最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解精彩文档实用标准文案因为分布函数F ( x)bP Xx ，所以 P XxP axb 分别( x)dx可用图中的阴影部分表示，容易看出多条性质，包括( x)dx 1 、P( x1x2( x)dxF ( x2 ) F ( x1 ) 等；而且在具体做题时用x x2 )x1图像辅助理解也很有效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。陈文灯复习指南第三章随机变量的数字特征也是用表格说话的，同样需要认真记好。本章在历年真题中最常出现的题目考察点是几个重点公式，尤其是式子D(X)E(XE(X)2E(X 2)E

11、2(X )，大 小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而以另一端设置答案。还有数学期望EX 与方差 DX 的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：数学期望 EX方差 DXx22DXE(x )E (x)EXx ( x)dx （ 连续型）E(c)cD(c)0E(cX ) cE(X )D(cX ) c2 D( X )E( X c) E ( X ) cD ( X c) D( X )精彩文档实用标准文案E( XY)E( X )E(Y)D ( XY)D( X )D (Y)2 cov( X ,Y)E(XY)E(X)E(Y)若X、Y相互独立，则有D(XY)D(X)D(Y)D(XY)D(X)D(Y)、（历年

12、真题不止一次利用这个点作为填空和选择题中的小陷阱，因为一不留神就会写成D(XY)D(X)D(Y)，正如E(XY)E(X)E(Y) 一样，但实际上D ( XY)D( X )D (Y)2 cov( X ,Y) ）若 X、Y相互独立，则有DX无对应性质E(XY)E(X)E(Y)若X、Y相互独立则同时具有以下4条性质：1.E(XY)E(X)E(Y)2.D(XY)D(X )D(Y)3.( x, y)0 4. cov( x, y)0 ，利用各式定义可以推导出来。考试大纲对第四章大数定理和中心极限定理的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律，了解格林定理和林莫佛定理

13、”。这三个 “了解” 在历年真题中的体现就是本章内容几乎是不考的，只出现过直接考察公式定义的小题。 同时本章的几个公式、定理也不好记， 推导就更不是什么简单任务了。即便如此，以上的信息也还是不能成为放弃这一章的理由，因为对于这样“又难、 大纲要求又低” 的知识点考试时出题的深度也会是最浅的。如在真题中出现过的一个本章的填空题几乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，这样的情况对于难度低的知识点和重要知识点来说是绝不可能出现的，比如若你在06年考研数学试卷上见到一道填空题是让填出DXE( x2 )E 2 ( x) 这个公式的话，那你肯定是把题义理解错了。所以花时间记住这几个公式其实是比较划算的，

14、因为如果考试出一道有关的填空题，4 分的得失将完全取决于记没记住公式。 这样的 4 分当然要比在大题中绞尽脑汁得到的 4 分好拿的多。 从另一方面说， 这些定理也是可以理解的： 本章所有的大数定理都是指在独立同分布且存在数学期望的条件下若干随机变量的平均值依概率收敛到均值的期望，即1 nPE(1 nX iX i ) 。因为 X i 独立同分布，所以有E( X i )，n i 1n i 1精彩文档实用标准文案故有公式右侧1nE ( X i )1 nE ( X )， 应 有ni 1nlim P(1n) 1，即为辛钦大数定律；若用YX i表示在 n 重伯努利nn i 1n试验中事件A 的发生次数则可

15、得到伯努利大数定律lim P( YnP) 1。通过nn以上的分析可以减少一些死记硬背的难度。1.4概率第五章数理统计的基本概念、第六章参数估计 、第七章假设检验数理统计部分在考研数学试卷中占有概率部分1/3 的分值，这一部分考点较少，参数估计最为重要，其次是样本与抽样分布，假设检验部分则很少考到。对于参数估计部分，需要记清楚据估计和极大似然估计各自的步骤，然后通过足量做题来熟练掌握；对于样本与抽样分布，重要的是2 分布、 t 分布和 F 分布各自的条件和结论公式，在历年真题中考察过；对于假设检验，大纲要求为： “ 1. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两

16、类错误” 。可见大纲对于假设检验的要求还是较高的，但往年出题不多，不知道会不会在以后的考试中加大考察力度。概率这门课的全称是概率论和数理统计，数理统计是对概率论的实际应用，而概率论则充当了理论基础的角色。 数理统计中的统计量如样本均值、 样本方差等的概念性质都能在概率论中找到出发点。 其实，数理统计就是一个先对随机变量做实际观测得到一系列具体数据，再利用“样本与抽样分布”部分的公式归纳出样本均值、方差等统计量，在此基础上利用参数估计等方法推断出随机变量整体分布和数学特征的过程。参数估计中的矩估计法就是令总体矩与样本矩相等，建立等式以求出总体矩；极大似然估计中的似然函数L( )就是指样本(X1,

17、 X2,X n )取 观 察 值 (x1 , x2 , xn )的 概 率nP( X1x , X2x2,Xnxn) ，自然应等于f ( xi ,)，其值越大就1i1说明越有利于使者组样本值出现，故极大似然估计法要求求出使L () 取最大值的作为参数的估计量。分析理解一下概率论和数理统计的前后联系可以起到“在大脑中进行数据压缩”的作用， 而且这两部分的题目应该可以相互结合，从近年来的真题中可以隐隐约约感受到这种趋势。精彩文档实用标准文案1.5知识点总结第 1 章随机事件及其概率Pmnm!n)!（ 1）排列( m组合公式m!C mnn!( mn)!从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m

18、个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n（ 2）加法某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。和乘法原乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m×n理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m× n 种方法来完成。（ 3）一些重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）常见排列顺序问题（ 4）随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪

19、个结果，则称这种试验为随机试试验和随验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（5 ）基本任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。事件、样本基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。空间和事一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母件A，B，C， 表示事件，它们是的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件 （?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ ）的概率

20、为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（ A发生必有事件B 发生）：AB（ 6 ）事件如果同时有AB ， BA ，则称事件A 与事件 B 等价，或称A 等于 B：的关系与A=B。运算A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者 A+B。属于 A而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B不发生的事件。精彩文档实用标准文案A、B同时发生： AB，或者 AB。 AB=?，则表示A与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容

21、的。-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)AAii德摩根率： i 1i 1ABAB ， AB AB设为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A) ，若满足下列三个条件：1° 0 P(A) 1，（ 7）概率2° P( ) =13° 对于两两互不相容的事件A1， A2， 有的公理化PAP(A )定义iii1i 1常称为可列（完全）可加性。则称

22、P(A) 为事件 A 的概率。1°1 ,2n，2° P( 1) P( 2)P( n )1。设任一事件 A ，它是由n（ 8）古典1 ,2m 组成的，则有概型P(A)= ( 1) (2 )(m )= P(1 )P(2 )P(m )m A所包含的基本事件数n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何（ 9 ）几何概型。对任一事件A，概型L( A)P( A)。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。L()（ 10）加法 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)公式当

23、P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）减法当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B)公式当 A= 时， P( B )=1- P(B)（12）条件定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)>0 ，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事概率P(A)精彩文档实用标准文案（ 13）乘法公式（ 14）独立性（ 15）全概公式（ 16）贝叶斯公式件 B 发生的条件概率，记为P(B / A)P( AB) 。P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( /B)=1P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式

24、： P( AB)P( A) P(B / A)更一般地，对事件A1， A2， An，若 P(A1A2 An-1 )>0 ，则有P( A1 A2 An) P( A1)P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2)P( An | A1A2An 1) 。两个事件的独立性设事件 A 、B 满足 P( AB) P(A)P( B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A)0 ，则有P( AB)P( A)P( B)P( B)P(B | A)P( A)P( A)若事件 A、B 相互独立，则可得到 A与B 、A与B、A与 B也都相互独立。必然事件和不可能事件?

25、与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件B , B, Bn满足121°B,B , Bn两两互不相容， P(B) 0(i1,2, , n)，12inABi2°i 1，则有P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(Bn )P( A | Bn) 。设事件 B1， B2，

26、 ， Bn 及 A 满足1° B1 ， B2 ， ， Bn 两两互不相容，P( Bi ) >0， i1， 2， ， n ，nABi，P(A) 0，2°i 1则P( Bi / A)P(Bi ) P( A / Bi )n， i=1 ， 2， n。P( B j ) P( A / B j )j1此公式即为贝叶斯公式。P( Bi ) ，（ i 1 ， 2 ， ， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i 1 ， 2 ， ， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。精彩文档实用标准文案我们作了 n 次试验，且满足每次

27、试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。（17）伯努这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。利概型用 p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为 1 pqn(k) 表，用 P示 n重伯努利试验中A 出现 k (0kn) 次的概率，k, n 。Pn (k) Cn p k q n k ， k0,1,2,第二章随机变量及其分布（1）离散设离散型随机变量k)且取各个值的概率，即事X 的可能取值为 X (k=1,2,型随机变件(X=Xk) 的概率为量的分布

28、P(X=xk )=p k， k=1,2, ，X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形律则称上式为离散型随机变量式给出：x , x , , x,X|12kP( Xxk ) p1, p2, , pk ,。显然分布律应满足下列条件：（1） pk 0 ， k1,2,pk1，（ 2） k 1。（2）连续设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数f ( x) ，对任意实数 x，有型随机变F (x)xf ( x) dx量的分布，密度则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4 个性质：1°f (x)0。2

29、6;f ( x)dx1。（3）离散P(Xx)P(xXxdx)f (x)dx与连续型随机变量积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P( X xk)pk 在离的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似。精彩文档实用标准文案（4）分布设 X 为随机变量，x 是任意实数，则函数函数F (x) P( X x)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F (b)F (a) 可以得到X 落入区间 (a, b 的概率。分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（， x 内的概率。分布函数具有如下性质：1°0 F (x)1,x；2°F ( x) 是单

30、调不减的函数，即x1x2 时，有F (x1)F ( x2) ；3°F ()lim F ( x)0 ，F ()limF (x)1；xx4°F ( x0)F (x) ，即 F ( x) 是右连续的；5° P(Xx) F ( x) F ( x 0) 。对于离散型随机变量，F ( x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F ( x)f ( x) dx。（5）八大0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q分布二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ,n 。P( X k ) P

31、n (k ) C nk p k q n k，其中q 1p,0p1,k0,1,2, n ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为X B(n, p) 。当 n1时， P( Xk )p k q1k ， k0.1 ，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。精彩文档实用标准文案泊松分布超几何分布几何分布均匀分布设随机变量X 的分布律为kP( Xk )e，0 ， k0,1,2，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X () 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）。kn kk0,1,2 ,lP( Xk)

32、CMCNM,min( M , n)C Nnl随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。P( Xk)qk 1 p, k1,2,3,，其中 p0， q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数f ( x) 在 a ，b1上为常数，即ba1,a x bf ( x)ba0,其他，则称随机变量X 在 a ， b 上服从均匀分布，记为XU(a ， b) 。分布函数为0，x<a，xa ,xbaa x bf ( x)dxF ( x)1，x>b。当 a x <x b 时， X 落在

33、区间（x1, x2）内的概率为12P( x1X x2 )x2x1 。ba精彩文档实用标准文案指数分布f ( x)e x ,x0,0,x0,其中0 ，则称随机变量X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为1 e x ,x0 ,F ( x)0,x<0。记住积分公式：x n e x dxn!0正态分布X 的密度函数为设随机变量1( x)2f ( x)e 22x，2，0 为常数，则称随机变量X 服从参数为其中、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X N ( ,2 ) 。f ( x) 具有如下性质：1°f ( x) 的图形是关于 x对称的；2°当 x时， f ()1为最大值

34、；若XN( ,2(t)22)x，则X 的分布函数为F ( x)1e 22dt2。参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N (0,1)x2，其密度函数记为( x)1e 22，x，分布函数为1xt 2( x)e 2 dt 。2( x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1 (-x) 1- (x) 且 (0) 。如果 X N(, 2)，则 X2 N (0,1) 。P( x1 Xx2x1。x2 )精彩文档实用标准文案（6）分位下分位表： P( X)；数上分位表： P( X)。（7）函数离散型分布已知 X 的分布列为Xx1, x2, xn,P( Xxi)p1, p2 ,，, pn

35、 ,Y g ( X ) 的分布列（ yi g( xi ) 互不相等）如下：Yg(x1), g( x2), g ( xn ),，P(Y yi )p1, p2, pn ,若有某些 g (xi ) 相等，则应将对应的pii相加作为 g( x ) 的概率。连续型F (y) P(g(X) 先利用 X 的概率密度 f (x) 写出 Y 的分布函数XYy) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f(y)。Y第三章二维随机变量及其分布（ 1）联合离散型如果二维随机向量（ X， Y）的所有可能取值为至多可列分布个有序对（ x,y ），则称为离散型随机量。设=（ X，Y）的所有可能取值为( x , yj)(i , j

36、1,2, ) ，i且事件 =( xi, y j ) 的概率为 pij, , 称P( X ,Y)( xi , y j )pij (i , j1,2,)为=（X， Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2, ）；（ 2）pij 1.ij精彩文档实用标准文案连续型对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(x,y) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P( X,Y)Df (x, y)dxdy,D则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（ X， Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（ 1） f(x,y) 0;（ 2）f ( x, y)dxdy1.（ 2）二维( Xx,Yy)( XxYy)随机变量的本质（ 3）联合设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数分布函数F (x, y)P Xx, Yy称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。