线性代数--ch-8-4一般二次方程的化间与二次曲面的分类ppt课件

1、 在在直直角角坐坐标标系系下下，二二次次曲曲面面的的一一般般方方程程为为 22211 122 233 312 1 213 1 322a xaxa xa x xa x x 23 2 32ax x1 12 23 30b xb xb xc (8.6) 令令 111213212223313233aaaaaaaaaA，123xxxx，123( ,)b b bB， 其其中中( ,1,2,3)ijjiaai j，则则方方程程(8.6)可可写写成成 0Tcx AxBx (8.7) 于于是是，通通过过正正交交线线性性变变换换 因因A是是实实对对称称矩矩阵阵，故故存存在在正正交交矩矩阵阵P，使使得得123diag

2、,T P AP xPy，其其中中123(,)Ty yyy，(8.7)变变成成 0Tcx AxBx (8.7) 123diag,T yy0cBPy (8.8) 记记123(,)d ddBP，则则(8.8)可可写写成成 2221 1223 31 1223 30yyyd yd yd yc (8.9) 因因123, 为为A的特征值，的特征值，不可能全部为不可能全部为 0，否则方程，否则方程退化为平面方程退化为平面方程 1. 当当1 2 30 时，时， 2221 1223 31 1223 30yyyd yd yd yc (8.9) 将将(8.9)进进行行配配方方，得得 22231211223312302

3、22dddyyyd， 其中其中 222312123444ddddc 作作平平移移变变换换 ,1,2,32iiiidyzi， 于于是是曲曲面面方方程程化化为为 2221 12 23 30zzzd (8.10) 2221 12 23 30zzzd (8.10) (1) 若若0d ，且且(1,2,3)ii都都与与d异异号号，则则(8.10)表表示示 椭椭球球面面 (2) 若若0d ，且且(1,2,3)ii都都与与d同同号号，则则(8.10)表表示示 虚虚椭椭球球面面 (3) 若若0d ，且且(1,2,3)ii中中有有两两个个与与d异异号号， 则则(8.10)表表示示单单叶叶双双曲曲面面 2221 1

4、2 23 30zzzd (8.10) (4) 若若0d ，且且(1,2,3)ii中中有有一一个个与与d异异号号， 则则(8.10)表表示示双双叶叶双双曲曲面面 (5) 若若0d ，则，则(8.10)变为变为2221 12 23 30zzz 当当123, 不全同号时，它不全同号时，它表示表示椭圆锥面椭圆锥面； 当当123, 同同号号时时，它它退退化化为为一一点点 2. 当当1 20 ，30时，时， 2221 1223 31 1223 30yyyd yd yd yc (8.9) 将将(8.9)进进行行配配方方，得得 221211223 312022ddyyd yd， 其其中中 22121244dd

5、dc (1) 当当30d 时，作平移变换时，作平移变换 333,1,2,2,iiiidyzidyzd 于是曲面方程化为于是曲面方程化为 221 12 23 30zzd z (8.11) 221 12 23 30zzd z (8.11) 若若12, 同同号号，则则(8.11)表表示示椭椭圆圆抛抛物物面面； 若若12, 异异号号，则则(8.11)表表示示双双曲曲抛抛物物面面 (2) 当当30d 时，作平移变换时，作平移变换 33,1,2,2,iiiidyziyz 221211223 312022ddyyd yd， 于于是是曲曲面面方方程程化化为为 221 12 20zzd (8.12) (8.12

6、)表表示示柱柱面面 3. 当当3120,0时时， 2221 1223 31 1223 30yyyd yd yd yc (8.9) 将将(8.9)进进行行配配方方，得得 23331 12 2302dyd yd yd， 其其中中 2334ddc 23331 12 2302dyd yd yd， (1) 当当12,d d不不全全为为 0 时时，通通过过坐坐标标变变换换 11 122221221 122221233331(),1(),2zd yd yddzd yd ydddzy 曲面曲面方程变为方程变为 23 31 10zd zd，其中其中22112ddd 23 31 10zd zd 再再通通过过平平移

7、移变变换换 1112233,dzzdzzzz 曲曲面面方方程程化化为为 23 31 10zd z (8.13) (8.13)表表示示抛抛物物柱柱面面 23331 12 2302dyd yd yd， (2) 当当120dd时时，方方程程变变为为 23 30zd (8.14) 若若3与与d异异号号，则则(8.14)表表示示一一对对平平行行面面； 若若3与与d同同号号，则则(8.14)表表示示一一对对虚虚平平行行面面； 若若0d ，则则(8.14)表表示示一一对对重重合合平平面面 例例 化化简简二二次次方方程程 2221232 312322422 26 250 xxxx xxxx， (8.15) 并

8、并判判断断它它表表示示什什么么曲曲面面 解解 令令 100022022A，123xxxx，( 2, 2 2,6 2) B (8.15)可可写写作作 50Tx AxBx (8.16) 矩矩阵阵A的的特特征征值值为为1231,4,0，其其对对应应的的特特征征向向量量为为 1100 ，2011 ，3011 取取正正交交矩矩阵阵1001102211022P，则则diag 1, 4,0TP AP 50Tx AxBx (8.16) 作作正正交交线线性性变变换换xPy，其其中中123(,)Ty yyy， 则则(8.16)变变为为 diag 1, 4, 050TyyBPy， 即即 2212123428450yyyyy 对对上上式式进进行行配配方方，得得 22123(1)4