知识讲解_三角函数地概念

1、三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.【知识网络】三角函数的概念角任同正的意角弦概角三、念的角余的三函弦推角数的广函的诱、数基导弧本公度关式制系式【考点梳理】考点一、角的概念与推广1 任意角的概念：正角、负角、零角2象限角与轴线角：与终边相同的角的集合：|2k, kZ第 1页共11页第一象限角的集合：| 2k2k, kZ2第二象限

2、角的集合：|2k2k, kZ23第三象限角的集合：|2k2k,kZ2第四象限角的集合：| 32k22k , kZ2终边在 x 轴上的角的集合： |k , kZ终边在 y 轴上的角的集合： |k, kZ2终边在坐标轴上的角的集合： |k, k Z2要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.考点二、弧度制1 弧长公式与扇形面积公式：弧长 lr ，扇形面积 S扇形1 lr1 r 2（其中 r 是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数） .222角度制与弧度制的换算：o o 180 o o o

3、180 ； 1 rad 0.01745 rad； 1rad ( ) 57.30 57 18'要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1.定义：在角上的终边上任取一点P( x, y) ，记 r OPx2y2则 sinycosxy， cotxrr, tanx， sec， csc.rryxy2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ， OM ， AT 分别叫做的正弦线，余弦线，正切线 .第 2页共11页3.三角函数的定义域： ysin， ycos的定义域是R； ytan ， ysec 的定义域是 |k,k Z ； ycot， ycsc的定义域

4、是 |k, k Z .24. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系： sin

5、2cos21;sec21tan 2;csc21 cot 2.2.商数关系： tansincotcos.;sincos3.倒数关系： tancot1;sincsc1;cossec1要点诠释：第 3页共11页同角三角函数的基本关系主要用于：（ 1 ）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（ 2 ）证明三角恒等式；（ 3 ）化简三角函数式.三角变换中要注意“1 ”的妙用，解决某些问题若用“1 ”代换，如 1sin 2cos2，1sec2tan2tan 45oL ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1. 2k(kZ ), 2的三角函数值等

6、于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.32.，的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在22象限的符号 .要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为0o : 90o 角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是的奇数倍、偶数倍） ”这个口诀进行2记忆 .【典型例题】类型一、角的相关概念例 1.已知是第三象限角 ,求角的终边所处的位置 .2【答案】是第二或第四象限角2【解析】方法一：是第三象限角，即 2k2k3 , k Z ，2k2k3, kZ ,243当 k2n时， 2n,n Z

7、 ,222n4 是第二象限角，2当 k2n1 时，2n32n72, n Z ,24第 4页共11页是第四象限角，2是第二或第四象限角.2方法二：由图知 :的终边落在二，四象限.2【总结升华】（ 1 ）要熟练掌握象限角的表示方法本题容易误认为是第二象限角，其错误原因为认2为第三象限角的范围是(, 3) 解决本题的关键就是为了凑出2的整数倍，需要对整数进行分类2（ 2 ）确定“分角” 所在象限的方法： 若是第 k (1 、2 、3 、4) 象限的角， 利用单位圆判断，( nN * )n是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1 、2

8、 、 3 、 4 ，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角( nN * )终边所在的范围。n如： k=3 ，如下图中标有号码3 的区域就是终边所在位置2y3241x1423第 5页共11页举一反三：【变式 1 】已知 是第二象限角 ,求角的终边所处的位置 .3【答案】是第一或第二或第四象限角3【解析】方法一：是第二象限角，即2k2k, k Z ，kk 2223, kZ ,3633当 k3n 时，2n62n, kZ ,33是第一象限角，35当 k3n1时， 2n2n, kZ ,63是第二象限角，335当 k3n 22n时， 2n3, k Z ,23是第四象限角，3是第一或第二或第四象限角

9、.3方法二：k=2 ，如下图中标有号码2 的区域就是终边所在位置3第 6页共11页由图知：的终边落在一，二，四象限.3【变式 2】已知弧长 50cm的弧所对圆心角为200 度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm ） .【答案】 29cm.类型二、任意角的三角函数例 2. 若 sin cos0，则角 在象限 .【答案】第一或第三【解析】方法一： 由 sin cos0sin0sin0知（ 1）或（ 2）0cos0cos由（ 1）知在第一象限，由（2 ）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二： 由 sincos0有 sin20，所以 2k22kkZ ,即 kk2kZ当 k2n(nZ)时，为第一

10、象限，当k2n 1(n Z ) 时，为第三象限故为第一或第三象限 .方法三： 分别令、5、7、11，代入 sincos0 ，6666只有、7满足条件，66第 7页共11页所以为第一或第三象限.【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.举一反三：tan( 3).sin 5【变式 1 】确定的符号 .cos1【答案】原式小于零【解析】因为3,5,1 分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan( 3)0 ， sin50 ， cos10 ，所以原式小于零 .【变式2 】已知 tancos>0 ， tan0，则是第象限角 .sin【答案】二tan10 ，

11、cos0 ， tan0 ，则是第二象限角 .【解析】cossin【变式3 】求 sin x|cos x |tan x的值 .| sin x |cos x|tan x |【答案】当 x 为第一象限角时，值为3 ；当 x 为第二、三、四象限角时，值为-1.例3. 已知角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为射线4x3y 0( x 0)，则sin(sincot)cos2的值是（）A. 1B. 2C. 8D . 95555【答案】 C【解析】在角的终边上任取一点 P(3,4)，则有 r5 ，则原式4(43 )98 ，故选 C.554255举一反三：【变式】已知角的终边过点 (a,2 a)(a

12、0) ，求 sin、 cos 、 tan的值【解析】 ra2(2a) 25 | a |（ 1 ）当 a0时， r5a ，sin255， tan2；， cos55第 8页共11页（ 2 ）当 a0 时， r5a ，sin255， tan2 .5， cos5类型三、诱导公式例 4. 已知 cos()3，求 cos(5)sin 2 ()的值.6366【答案】233【解析】 cos(5)sin 2 ()cos()sin 2 ()6666cos()sin 2 ()cos()1cos2 ()66663123133.3举一反三：【变式 1 】计算： sin 330ocos240o【答案】 1【解析】原式oo

13、oo）oo1.sin(36030 )cos(180 +60= sin 30cos60【变式 2 】化简 sin()cos() .44【答案】 0【解析】原式sin()cos()sin()sin() 0 .42444类型四、同角三角函数的基本关系式例 5 已知 sincos1求 sincos、 sincos的值；，且 01275【答案】；25511【解析】 方法一： 由 sincos可得： sin 22sincoscos2，525即 1 2sin cos112，sincos2525sincos1cos12， sin255第 9页共11页sin、 cos是方程 x2 1x120 的两根，525si

14、n4sin355或34coscos550，sin0 ，sin43， cos，55sincos75方法二： 由 sincos1可得： sin 22sincoscos21，511225即 1 2sin cos，sincos25250，sin0 ，cos0 ，sincos0由（ sincos22sincos11249） 122525sincos75举一反三：【变式】已知 sincos211的值 .，求sin2cos22【答案】 16【解析】由 sincos2可得： sin22sincos cos21 2sin cos1；22于是 sincos1，411sin 2cos216 sin2cos2sin2cos2例 6 已知 2sincos0 ，求下列各式的值（ 1 ） 4sin3cos；（2 ） 2sin 23sincos5cos 22sin5cos【答案】512；541【解析】由 2sincos0 得 tan，2第10页共 11页4sin3cos4 tan