2020-2021北京市密云水库中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题(及答案)

1、2020-2021 北京市密云水库中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题( 及答案 )一、选择题1. 在长方体ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2 ， AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（）A 8B 62C 8 2D 832. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（ 1）一条直线；（ 2 ）一个平面；（ 3 ）一个点；（ 4）空集。其中正确的是（ ）A（ 1 ）（ 2）（ 3） B（ 1）（ 4） C（ 1 ）（ 2）（ 4） D（ 2 ）（ 4 ）3. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视

2、图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3B 2 3C 4 3D 124. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A直角三角形 B等边三角形 C正方形D正六边形5. 从点P( m,3)向圆 ( x2)2( y2)21 引切线，则切线长的最小值()A 26B 5C 26D 426. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别是 AD ， DD 1 的中点， AB4，则过 B， E， F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A 6245B 6225C 3245D 322537. 已 知 点 1, 2 和取值范围是 (),0在直线3l : axy10 a0 的两侧，

3、则直线l 的倾斜角的A,B, 2C 2, 54333363D 0,348. 一锥体的三视图如图所示, 则该棱锥的最长棱的棱长为()ABCD9. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A 1 2B1 3C 1 5D 3 210. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线 CN 与 BM 成 60 角 DM与 BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A 1B 2C 3D 411. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3 ）是（）10A 43B338C 2 3D 33

4、12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）64A 64B3二、填空题16C 16D313 点 (5, 2) 到直线 ( m1) x(2 m1) ym5 的距离的最大值为.14. 已知一束光线通过点A3,5，经直线 l ： xy0 反射，如果反射光线通过点B 2,5 ，则反射光线所在直线的方程是.15. 已知圆 O： x2y24 ,则圆 O 在点A(1,3) 处的切线的方程是.16. 已知 m, n为直线，,为空间的两个平面，给出下列命题：mm,n/ /；mn n,/ /m/ /n ； m,/ / mm；,nm/ /n 其中的正确命题为

5、 17. 已知正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 E 是棱BB1 的中点，则点B1 到平面ADE 的距离为.218. 圆 xy 21 上的点到直线 3x4 y250 的距离的最小值是19. 已知棱长等于 23 的正方体ABCDA1B1C1D1 ，它的外接球的球心为O点 E 是 AB的中点，则过点 E 的平面截球 O 的截面面积的最小值为.20. 如图，已知圆锥的高是底面半径的2 倍，侧面积为，若正方形 ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥 PABCD 侧面积为三、解答题21. 在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC， ABBC ， ASAB ，过 A 作AFSB，垂足为

6、 F ，点 E ， G 分别是棱 SA， SC 的中点（ 1）求证：平面EFG 平面 ABC （ 2 ）求证： BCSA22. 如图，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中， D 是 BC 的中点 ABAC ，ABAC1， AA12 （）求直线AC1 与平面BCC1B1 所成角的正弦值；（）求二面角AA1BC 的余弦值23. 如图，在 Rt VAOB 中，OAB30 ，斜边 AB4 ， RtV AOC 可以通过 RtV AOB以直线 AO 为轴旋转得到，且平面AOB平面 AOC 动点 D 在斜边 AB 上（1） 求证：平面 COD平面 AOB；（2） 当 D 为 AB 的中点时，求异面直线AO 与

7、 CD 所成角的正切值24. 如图， ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD ， AF平面 ABCD ，DE3AF3 .（1） 证明：平面ABF / 平面 DCE ；（2） 在 DE 上是否存在一点 G ，使平面 FBG 将几何体 ABCDEF 分成上下两部分的体积比为 3:11 ？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.25. 已知空间几何体 ABCDE 中， BCD 与 CDE 均是边长为 2 的等边三角形， ABC 是腰长为 3 的等腰三角形，平面CDE 平面 BCD ，平面 ABC 平面 BCD .(1) 试在平面 BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与

8、 E 的连线 EF 均与平面 ABC 平行，并给出证明；(2) 求三棱锥 EABC 的体积 .26. 如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形（1） 求证： BDPC ；（2） 若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l ，求证：BC / / l 【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析： C【解析】【分析】首先画出长方体ABCDA1B1C1 D1 ，利用题中条件，得到AC1B30o ，根据 AB2 ，求得 BC123 ，可以确定CC122，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1 中，连接BC

9、1 ，根据线面角的定义可知AC1Bo30 ，因为 AB2 ，所以BC12 3 ，从而求得CC122 ，所以该长方体的体积为V【点睛】222282 ，故选 C.该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2C解析： C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案 .【详解】如图（ 1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（ 2），直线合题意的点；

10、如图（ 3），直线a,b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符a,b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（ 1 ）（ 2）（ 4 ）是正确的，故选 C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.3C解析： C【解析】【分析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2 的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2 ，高为 2 ，故三棱锥的外接球与以棱长为 2 的正方体的外接球相同，由此可

11、得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2 的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2 ，高为 2 ，故三棱锥的外接球与以棱长为2 的正方体的外接球相同，其直径为23 ，半径为3三棱锥的外接球体积为43故选 C【点睛】3343本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题4A解析： A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然 A 正三角形 C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选 A用一个平面去截正方体，则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形

12、，但不可能是钝角三角形、直角三角形；截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；截面为五边形时，不可能是正五边形；截面为六边形时，可以是正六边形 故可选 A 5A解析： A【解析】【分析】设切线长为 d ,则 d 2数的最小值得解 .【详解】2(m2)2251( m2)24 再利用二次函数的图像和性质求函设切线长为 d ,则 d 2故选 :A.【点睛】(m2) 2521( m2) 224 ,dmin26 .本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 .6A解析： A【解析】【分析】利用线面平行的判定与

13、性质证明直线BC1 为过直线 EF 且过点 B 的平面与平面BCC1B1 的交线 ,从而证得【详解】作图如下 :B, E, F , C1四点共面 ,然后在正方体中求等腰梯形BEFC 1 的周长即可 .因为 E, F 是棱 AD , DD1的中点 ,所以 EF / / AD1 / / BC1 ,因为 EF平面BCC1B1 , BC1平面 BCC1B1 ,所以 EF/ / 平面BCC1B1 ，由线面平行的性质定理知,过直线 EF 且过点 B 的平面与平面BCC1 B1 的交线 l 平行于直线 EF ,结合图形知 , l 即为直线 BC1 ,过 B， E， F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形

14、因为正方体的棱长AB 4,BEFC 1 ,所以 EF22, BEC1F25, BC142 ,所以所求截面的周长为6245 ,故选 :A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力 ;属于中档题 .7D解析： D【解析】设直线 l 的倾斜角为 0, ). 点 A(1,-2), B(33,0).直线 l: ax- y-1=0( a0经) 过定点 P(0,-1).12k1,k103.PAPB01033点 (1,-2) 和(3 ,0)在直线 l:ax- y-1=0( a 0的)3kPA <a<kPB, -1< tan <3 ，

15、tan 0.两侧，解得 0, 3.34本题选择 D 选项 .8C解析： C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点 在底面的射影为，所以,所以,底面边长为，所以最长的棱长为，故选 C.考点：简单几何体的三视图9C解析： C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高 h 2r ，其母线长lr S 侧 rl r 2， S 底 r 故选C【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题10B解析： B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由

16、棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与 ED 异面且垂直，故错误；CN 与 BE 平行，故错误；连接 BE ，则 BE P CN ，EBM 为 CN 与 BM 所成角，连接 EM ，可知BEM角形，则EBM60 ，故正确；由异面直线的定义可知，DM与 BN 是异面直线，故正确正确命题的个数是2 个 故选： B【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题11B解析： B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，V431 23103为正三.33故选： B.12D解

17、析： D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥DABC 为棱长为 4 的正方体一部分，直观图如图所示： B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD平面ABC ,ABC 的面积S1244 ，所以该多面体的体积V14416 ，故选 D.233二、填空题13. 【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析： 213【解析】【分析】先判断m1 x2m1 ym5 过定点9, 4，可得点 (5, 2) 到直线m1 x结果 .2m1 ym5 的距离的最大值

18、就是点(5, 2) 与点 9, 4 的距离，从而可得【详解】化简 m1 x2m1 ym5 可得 mx2 y1xy50 ，x2 y10x9由，xy50y4所以 m1 x2m1 ym5 过定点9, 4 ，点 (5, 2) 到直线m1 x2m1 ym5 的距离的最大值就是点 (5, 2) 与点 9,4 的距离为4 26252213 ，故答案为 213 .【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题 . 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙

19、 .14. 【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析： 2 x7 y【解析】【分析】310计算 A3,5关于直线 xy0 的对称点为A15,3，计算直线A1B 得到答案 .【详解】y51设 A3,5关于直线 xy0 的对称点为A1 x, y ， 故x3x3y5，故 A105,3 .22故反射光线为A1B ： y53 x25 ，化简得到 2 x 257 y310 .故答案为： 2 x【点睛】7 y310 .本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键 .15

20、. 【解析】【分析】先求出 kOA= 从而圆 O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆 O 在点处的切线的方程【详解】 kOA= 圆 O 在点处的切线的方程的斜率圆 O 在点 A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的解析： 3 x3y【解析】【分析】4301先求出 k OA =3 ，从而圆 O在点 1,3 处的切线的方程的斜率k，由此能出圆 O3在点 A(1,3处的切线的方程【详解】1kOA =3 ，圆 O在点 1,3 处的切线的方程的斜率k，31圆 O在点 A 1,3处的切线的方程 y3（ x1） ，3整理，得3 x3 y即答案为3 x3 y【点睛】430 430 .本题考查圆的切

21、线方程的求法，属中档题.16. 【解析】关于 也会有的结论因此不正确；关于也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于 都是正确的故应填答案 解析： 【解析】关于 , 也会有 n的结论 , 因此不正确；关于 , 也会有正确；容易验证关于都是正确的, 故应填答案.m, n 异面的可能的结论 , 因此不17. 【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角解析： 55【解析】【分析】点 B1 到平面 ADE 的距离等价于点 B 到平面 ADE 的

22、距离，过 B 作 BFAE ，交 AE 于F ，证得 BF平面 ADE ，利用等面积法求得点B 到平面 ADE 的距离，也即点面 ADE 的距离 .【详解】B1 到平由于 E 是 BB1 的中点，故点B1 到平面 ADE 的距离等价于点 B 到平面 ADE 的距离，过 B作 BFAE ，交 AE于 F ，由于 BFAD ， ADAEE ，故 BF平面 ADE . 在直角三角形 ABE 中， AB1,BE1 , AE51，所以AB BE1AE BF , 解 得BF5 .52222【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.184【解析】试题分析：圆的圆心

23、为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是 5-1=4 考点：直线和圆的位置关系解析： 4【解析】试题分析：圆的圆心为0,0 , r251 ，圆心到直线 3 x4 y250 的距离为d32425 ，所以点到直线3x4 y250 的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系19. 【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为 3 当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【解析： 3 .【解析】【分析】当过球内一点 E 的截面与 OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出

24、过点E 的平面截球 O 的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于 23 的正方体 ABCDA1B1C1D1 ，它的外接球的半径为3， |OE |6当过点 E 的平面与 OE 垂直时，截面面积最小，r故答案为： 3963 ， S33，【点睛】本题考查过点 E 的平面截球 O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题20. 【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答解析： 65 .5【解析】分析：设圆锥底面半径为r ，则高为

25、2r ，母线长为5r ，由圆锥侧面积为，可得r 255，结合 a2r ，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为r ，则高为 h因为圆锥侧面积为，252r ，母线长为5r ，r5r， r，5设正方形边长为 a ，则2a24r 2 , a2r ，正四棱锥的斜高为h 2a32r ，24213265正四棱锥的侧面积为4a2r6r，故答案为 65 .5225点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.三、解答题21. （ 1）见解析（ 2）见解析【解析】证明 （ 1） ASAB ，

26、 AFSB，垂足为 F ， F 是 SB的中点，又因为 E 是 SA的中点， EF AB ， EF平面 ABC ， AB平面 ABC ， EF 平面 ABC ； 同理 EG 平面 ABC. 又 EFEGE ，平面 EFG 平面 ABC .（2）平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB，又 AF平面 SAB， AFSB， AF平面 SBC， BC平面 SBC， AFBC ，又因为 ABBC ， AFABA， AF 、 AB平面 SAB， BC平面 SAB， SA平面 SAB， BCSA.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.22

27、 （）1010；（） 2 .3【解析】【分析】（）由题意结合线面垂直的判定可得AD平面BCC1B1 ，则AC1D 即为直线AC1 与平面 BCC1B1 所成的角，求得 AD2， AC125 后即可得解；（）作AEA1 B ，垂足为 E ，连接A1C ， CE ，由题意可得BE5，由余弦定理5可得 CE 29 ，进而可得5BEC90o ，则AEC 即为二面角AA1BC 的平面角，再由余弦定理即可得解 .【详解】（） Q 三棱柱 ABCA1 B1C1 是直三棱柱，BB1平面 ABC，BB1AD ，Q ABAC ， D 是 BC 的中点，ADBC ，又 BB1 IBCB ，AD平面BCC1B1，AC

28、1D 即为直线AC1 与平面BCC1B1所成的角，Q ABAC1， AA12 ，AD22 ， AC121225 ，sinAC1 DAD AC1210 ，510直线 AC1 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为10 .（）作AEA1B ，垂足为 E ，连接10A1C ， CE ，Q ABAC1， AA1A1C2 ，A1BA1C5 ， BC2 ，由 VABE VA1BA 可得 BE5，5A B2AEBC 2255AC 2210在 VA1BC 中，cosA1BC112A1B BC，2 1010在 VEBC 中，CE 2BE 2BC22BE BCcosEBC95 即 CE35 ，5CE 2BE 2BC

29、 2 即BEC90o ，AEC 即为二面角AA1BC 的平面角，49AE 2CE 2AC 25512在 VAEC 中，cosAEC2 AE CE.2253 5355二面角A A BC 的余弦值为2 .13【点睛】本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题.23 （ 1）证明见解析；（ 2） 15 .3【解析】【分析】（1） 平面 AOB平面 AOC ， OCOA，可证 OC平面 AOB ，即可证明结论；（2） 取 OB 中点 E ，连 DE ，则 DE / / AO ，CDE （或补角）为异面直线AO 与 CD所成的角，解 Rt CDE ，即可求出结论 .【详解】

30、（1） 平面 AOB平面 AOC ，平面 AOB I 平面 AOCOA ，OCOA, OC平面AOC ,OC平面 AOB ，Q OC平面 COD ,平面 COD平面 AOB ；（2） 取 OB 中点 E ，连 DE ， D 为 AB 的中点，DE / / AO ，CDE （或补角）为异面直线AO 与 CD 所成的角，Q OAOB, OAOC ,OB IOCO,OA平面 BOC ，DE平面 BOC ， CE平面BOC ,DECE ，在 RtV AOB 中，OAB30 ，斜边 AB4 ，2OB 2OA23, OBOC2,DE3, CEOC()5 ，2tanCDECE DE15 ，3所以异面直线AO

31、 与 CD 所成角的正切值为15 .3【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题 .24. （ 1）见解析（ 2）存在点 G 且 EG【解析】1满足条件 .试题分析：（ 1）根据 DE/ / AF , AB/ /CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（ 2）先求出整个几何体的体积. 假设存在一点 G ，过 G 作 MG / / BF 交 EC 于 M ，连接 BG , BM ，设 EGt ，求得几何体 GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥B

32、EFG , BEGM ，利用 t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得 t 的值.试题解析： 解：（1） DE平面 ABCD ， AF平面 ABCD ， DE/ / AF ，AF / /平面 DCE ， ABCD是正方形，AB / /CD ，AB / / 平面 DCE ， ABAFA， AB平面 ABF ， AF平面 ABF ，平面 ABF / / 平面 DCE .（2） 假设存在一点 G ，过 G 作MG / / BF 交 EC 于 M ，连接BG , BM ，113313321VABCDEFVB ADEFVB CDE33，32322设 EGt ，则VGFBMEVB EFG

33、VB EGMhEMt2139，214433 2设 M 到 ED 的距离为 h ，则3EC， ht ，312S EGMt 4 133 t 2133 t9，解得 t1，即存在点 G 且 EG1满足条件 .34324点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的 解决方法 . 第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可. 第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值 .25. （ 1）取 DC 的中点 N，取 BD 的中点 M，连接 MN ，则 MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取 DC 的中点 N，取 BD 的中点 M，连接 MN，则 MN 即为所求，证明 EN AH， MN BC 可得平面 EMN平面 ABC 即可（ 2）因为点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥EABC 的体积可转化为求三棱锥N ABC 的体积，根据体积公式计算即可 .【详解】(1) 如图所示，取DC 的中点 N，取 BD 的中点 M，连接 MN ，则 MN 即为所求 .证明：连接 EM ， EN，取 BC 的中