直线与方程-知识点总结-例题习题精讲-详细答案-提高训练知识讲解

1、直线与方：-提高训练课程星级：【知识点一：倾斜角与斜率】(1)直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。直线与X轴平行或重合时,规定它的彳斜角为00倾斜角的范围01800(2)直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在.记作 k tan (900)当直线l与x轴平行或重合时，00,k tan00 0当直线l与x轴垂直时，900,k不存在.-经过两点P(xi,y) P(x2,y2)(x) x2)的直线的斜率公式是 k x2 x1每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率(3)求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜

2、率公式k y_y1(x2 x,)求斜率；x2 x1已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据 k tan来求斜率；(4)利用斜率证明三点共线的方法：已知 A(x,，y。B(x2,y2),C(x3, y3)，若 X x? x3或kAB kBc ,则有 A、B、C三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】(1)两条直线平行： 对于两条不重合的直线|1,|2,其斜率分别为 匕*2,则有11 /l2k1 k2特别地，当直线1/2的斜率都不存在时，11与12的关系为也J(2)两条直线垂直： 如果两条直线|1,|2斜率存在，设为 KM,则有11 l2k1 k2 -1注：两条直线li,l2垂直的充要条件是斜率之积为

3、-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1 ,可以得出两直线垂直； 反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果11,12中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为。时，11与12互相垂直.【知识点三：直线的方程】(1)直线方程的几种形式需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店铺.：龙奇迹【学习资料网】名称方程的形式已知条件局限性点斜式y y1 k(x X1)(X, y1)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于X轴的直线斜截式y kx bk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于X轴的直线两点式yyx

4、%y2y1X2 X1经过励点(X, y1),( x2 , y2 ) 且(X1 X2,y1y)不包括垂直于 X轴和y轴的直线截距式工y 1 a ba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于X轴和y轴或过原点的直线一般式Ax By C 02_ 2(A B 0)A, B,C为系数无限制，口表小任何位置的直线问题：过两点 P(x1, y1)，P2(X2, y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】若X1 X2且y1 y2 ,直线垂直于x轴,方程为x x1；(2)若X1 X2且y1 y2 ,直线垂直于y轴方程为y y2 ;(3)若X1 X2且y1 y2 ,直线方程可用两点

5、式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为 a 0,b 0,即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”,可正可负。截距与距离的区别： 截距式方程的应用C 1:S= -1 ab | ； 2k1或直线过原点，常设此方程为x y a或ykx与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+ . a2 b2 ； 直线与坐标轴围成的三角

6、形面积为直线在两坐标轴上的截距相等，则(2)线段的中点坐标公式若点Pi, P2的坐标分别是(Xi, %),( X2, y),Xi X2x 且线段pp2的中点M (x, y)的坐标为2y 22【知识点四直线的交点坐标与距离】(1)两条直线的交点设两条直线的方程是li ： Ax By Ci 0, I2 : A2x B2y C2 0,Ax B1y C1 0两条直线的交点坐标就是方程组y的解。A2x B2y C20若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标;若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行(2)几种距离两点间的距离： 平面上的两点P(xi, yi), P2(x2,y2)间

7、的距离公式I PP2 | 他 xi)2%一疗特别地，原点 0(0,0)与任一点P(x, y)的距离|OP| Jx2 y2点到直线的距离：点P0(x0,y。)到直线Ax By C 0的距离z | Ax 0 By 0 C | d .=、A 2 B 2两条平行线间的距离：两条平行线Ax By Ci 0与Ax By C2 0间的距离d|Ci C2|A2 B2注:i求点到直线的距离时，直线方程要化为一般必2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结例题精讲（详细解答）或

8、者搜.店铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】已知b（I，V5）, B （心2、弓），直线1过原点。且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A 冬娟 B 冬C噂,百D 李哼答案：B分析：由于直线1与线段AB有公共点，故直线1的斜率应介于 OA, OB斜率之间.解：由题意， %广、口，飞工亨 由于直线1与线段AB有公共点，所以直线1的斜率的取值范围是 与巧考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线1与线段AB有公共点，应注意结合图象理解.【例】在坐标平面内，与点 A （1, 2）距离为1,且与点B （3, 1）距离为2的直线共有（A 1条B 2条C 3条D 4条答案：B分析：由题意，A、B

9、到直线距离是1和2,则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条 数即可.解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】将直线11 ： y=2x绕原点逆时针旋转 60彳导直线12,则直线12到直线13： x+2y-3=0的角为（）A 30B 60 C 120 D 150 答案：A分析：结合图象，由题意知直线1113互相垂直，不难推出12到直线13： x+2y-3=0的角.解：记直线11的斜率为k1,直线13的斜率为k3,注意到k1k3= - 1, 11 13,依题意画出示意图，结合图形 分析可知，直线12

10、到直线13的角是30 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结例题精讲（详细解答） 或者搜.店铺.：龙奇迹【学习资料网】考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】方程x |y 1所表示的图形的面积为 。答案：2解：方程x |y 1所表示的图形是一个正方形，其边长为22【例】设a b k(k Q k为常数)，则直线ax by 1恒过定点.-1 1答案：( ，) k k解：ax by 1 变化为 ax (k a)y 1,a(x y) ky 1 0,x y 0对于任何a R都成立，则ky 1 0【例】一直线过点M ( 3,4),并且在两

11、坐标轴上截距之和为12,这条直线方程是答案:4x y 16 0 ,或 x 3y 94斛：设 y 4 k(x 3), y 0, x 3; xk423k 11 0,3k11k 4 0,kk【例】已知A (1, 2) , B (3, 4),直线11：40,y 3k 4;3 3k 4 12k14,或 k 一3x=0 , 12： y=0 和 13： x+3y 1=0、设 Pi 是 li (i=1 ,2, 3)上与A、B两点距离平方和最小的点，则4P1P2P3的面积是答案:分析：设出P1 , P2, P3,求出 P1 到 A ,B两点的距离和最小时,P1坐标，求出P2, P3的坐标,然后再解三角形的面积即

12、可.解：设P1(0, b),P2(a,0),P3(x0,y0)由题设点P1到A, B两点的距离和为(4-b) 2+12+ C2-b)所以显然当b=3即P1(0,3)时，点P1到A, B两点的距离和最小，同理P2(2, 0) ,P3(1 ,0),SAP.P：PX 3考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题.【例】已知直线（a- 2） y= （3a- 1） x-1,为使这条直线不经过第二象限，则实数 a的范围是 答案：2, +8）分析：由已知中直线（a-2） y= （3a-1） x-1不经过第二象限，我们分别讨论 a- 2=0 （斜率不存在），a-2W0 （斜率

13、存在）两种情况，讨论满足条件的实数 a的取值，进而综合讨论结果，得到答案.解：若a-2=0,即a=2时，直线方程可化为 x=l,此时直线不经过第二象限，满足条件；若a-2WQ直线方程可化为 y=皂二Lx-此时若直线不经过第二象限，则 里二解a- 2 a- 2|a_ 2 a_ 2得a 0综上满足条件的实数a的范围是2, +8）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k0且bwo时,直线不过第二象限得到关于 a的不等式组，是解答本题的关键， 但解答时，易忽略对a-2=0（斜率不存在） 时的讨论，而错解为（2, +8）。【例】过点A（ 5, 4）作一直线l ,使

14、它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。4解：设直线为y 4 k（x 5）,父x轴于点（5,0）,交y轴于点（0,5 k 4）, k105, 4022得25k30k 16 0,或25k50k 16 02 .8.斛得k 一，或k 一 2x 5y 10 0 ,或8x 5y 20 0为所求。55【例】直线y y x 1和x轴，y轴分别交于点 A, B ,在线段AB为边在第一象限内作等边 ABC,1如果在第一象限内有一点 P（m,1）使得 ABP和 ABC的面积相等，求 m的值。 2解：由已知可得直线 CP/AB ,设CP的方程为yx c,(c1)c1-3-八.31、则 AB v3, c3,

15、y x3 过 P(m, )12321 3/日 13 q 5.3得一 一 m 3,m 2 32122【例】已知点A(1,1), B(2,2),点P在直线y x上，求|pa PB取得最小值时P点的坐标。解：设 P(2t,t),则 PA2 PB2 (2t 1)2 (t 1)2 (2t 2)2 (t 2)2 10t2 14t 107i |22 77当t 一时，PA PB取得最小值，即 P(-)105 10【例】求函数f（x） Jx2 2x 2 Jx2 4x 8的最小值。解：f(x)；(x 1)2 (0 1)2点（1,1）关于x轴对称的点（1, 1）f(x)min12 3210BC方程，解出C点坐标.逐

16、步解答.解：点A为y=0与x - 2y+1=0两直线的交点，点A的坐标为（-1,0）.【例】在4ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x- 2y+1=0, / A的平分线所在直线的方程为kAB =2-0=1J（x 2）2 （0 2）2可看作点（x,0）到点（1,1）和点（2, 2）的距离之和，作又 / A的平分线所在直线的方程是y=0，.二kAC= - 1 . 直线AC的方程是y= - x - 1.而 BC 与 x-2y+1=0 垂直，kBC= - 2,直线 BC 的方程是 y-2=-2(xT).由 y= x 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, 6)考点：直线的点斜式方程。本

17、题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解【例】直线l过点P （2, 1）,且分别与x , y轴的正半轴于 A, B两点，。为原点.分析：（1）设AB方程为（1）求4AOB面积最小值时l的方程；（2） |PA|?|P耶最小值时l的方程.二，点P （2, 1）代入后应用基本不等式求出 ab的最小值，即得三角形OAB,点P （2, 1）代入得面积面积的最小值.（2）设直线l的点斜式方程，求出 A, B两点的坐标，代入|PA|?|PB的解析式，使用基 本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件.解：(1)设 A (a, 0)、B (0, b ), a0, b0, AB 方程为-1-ab8 （当且

18、仅当 a=4, b=2 时，等号成立），故三角形OAB面积S=ab 此时直线方程为:李诗二 1,即 x+2y 4=0.(2)设直线 l： y- 1=k (x-2),分别令 y=0, x=0 ,得 A (2-, 0), B (0, 1 2k). k2）八则|PA|?|PB|j（4+比工）（1+j）二小的 仙 当且仅当k2=1,即k= 十时，|PA|?|PB取最小值,又 k0),Saaob =1|-2-71|2k+1| =1(2 + ；)(2k+1) =1(4k+ 1 + 4) |(4+4) = 42 k2 k2 k 2当且仅当4k=1,即k=1时取等号。1即 AOB的面积的最小值为 4,此时直线l的万程为y+1+1 = 0 ,即x2y+4=0【例】已知函数f (苫)=Vx, g (x) =x+a (a0)(1)求a的值，使点M (f (x), g (x)到直线x+y - 1=0的最短距离为(2)若不等式 I 土匚*在xS