相似三角形的判定与性质综合运用经典题型

1、相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质:例1、如图， PCD是等边三角形， A C、D B在同一直线上，且/ APB=120 求证：PASBPD (2) CD2 =AC - BD.例2、如图，在等月ABC中，/BAC=90 ,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与 B C重合)，在AC上取一点 E,使/ ADE=45 (1)求证： ABM DCE(2)设BD=x, AE=y,求y关于x函数关系式及自变量 x值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值?(3)在AC上是否存在点E,使得 ADE为等腰三角形？若存在， 求AE的长；若不存在，请说明理由？例6、已知：

2、如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB,将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于E,交BC 边于F,分别连结AF和CE.(1)求证：四边形 AFCE是菱形；(2)若AE=10cm ABF的面 积为24cM,求 ABF的周长；(3 )在线段AC上是否存在一点P,使得2A= AC AP?若存在， 请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.例3、如图所示，在平行四边形 ABC计，过点A作AE,BC,垂足为E,连接DE, F为线段DE上一点,且/AFE=/ B: 1)求证：A ADF A DECC2)若 AB=4, AD 343 ,AE=3 ,求 AF 的长考点

3、三：相似之共线线段的比例问题：例7、已知如图，P为平行四边形 ABCD勺对角线AC上一点，过P的直线与AR BC CD的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G H.求证：-PEPFPHPG考点二：射影定理：例 4、如图，在 RtABC中，/ACB=90 ,CD，AB于 D, CD=4cm,AD=8cm, 求AC BC及BD的长。例8、如图，点P是菱形ABCD勺对角线BD上一点，连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点 F. (1)求证：PC2=PE?PF; (2)若菱形边长为 8, PE=2, EF=6,求FB的长.精选1.,例5、如图，已知正万形 ABCD E是AB的中点，F

4、是AD上的一点，且 AF=4 AD, EG!CF于点G(1)求证： AEFA BCE(2)试说明：EG=CG FG.例9、如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F.求证：BD?CF=CDDF.例10、如图：已知在等边三角形 ABC中，点D E分别是AR BC延长线上的点，且 BD=CE直线- CD与AE相交于点 F. (1)求证：DC=AE (2)求证：AD2=DC?DF.£/VD例11、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF± AE, EF分别交 AC CD-伊于点M F, BGL AC垂足为G BG交AE于点H. (1)找出与 ABH

5、t目似的 弋空尸三角形，并证明；(2)若E是BC中点，BC=2AB AB=2,求EM的长.缸1rGF例12、如图，四边形 ABCD DEFGtB是正方形,连接 AB CG AE与CG/相交于点 Ml, CG与 AD相交于点 N.求证：(1)AE=CG ( 2) AN?DN=CNMN/MAc例13、如图，在 RtABC中，CD是斜边AB上的高，点 M在CD上，DH!EBM且与AC的延长线交于点 E.求证：(1) AE2ACBIM(2)/AE?CM=ACCD.- / /'AD5中点，ED的延长线与 CB的延长线交于点 F. (1)求证：FD2=FB?FC;(2)若G是BC的中点，连接 GD

6、 GD与EF垂直吗？并说明理由.例15、如图，四边形 ABCD CDEF EFGHtB是正方形.(1) /ACF与/ ACG相似吗？说说你的理由.(2)求/ 1+/ 2的度数. BCFG考点四：相似三角形的实际应用：例16、如图， ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm高AD=80mm要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边 AR AC上.且(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？/1(2)若这个矩形的长 PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？/ s N D .V C例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8nf口 CD=12m两树的根部的距离 BD=5m 一

7、个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点 C?门得4例14、如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC的例18、两颗树的高度分别为 AB=6m CD=8m两树的根部间的距离 AC=4m小强沿着正对这两棵树的方 向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m,当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看至ij树CD的树顶D?盲区考点五：相似三角形中的动点问题：例22、在矩形ABC计,AB=12cm AD=6crm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿D

8、A边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果 P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0 <t<6）,那么当t为何值时，APQf4ABD相似？说明理由.例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的例 23、如图，在 ABC中，/ B=90° , AB=6米, 向点C移动.同时，动点 Q以1米/秒的速度从 时，它们都停止移动.设移动的时间为 t秒.（1）当t=2.5秒时，求 CPQ的面积；求BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点CPQ的面积S （平方米）关于时

9、间t （秒）的函数解析式；（2）在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，写出t的值。例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面 CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米,CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为 米，求电线杆的高度.从例24、如图所示，在 ABC中,A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，设运动时间为 X. （1）当X为何值时，PQ/ BC （2）当Sabcc：Saabc=1：3 ,求Sa bpSaabc的值；（3） APQi旨否与 CQ所目似？若

10、能，求出 AP的长；若不能，请说明理由.例21、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长 DF=3m 沿BD方向到达点F处再测得自己得影长例25、如图，平面直角坐标系中，四边形OABCM巨形，点A、B的坐标为（6, 0）, （6, 8）.动点Ml8N分别从O B同时出发，都以每秒 1个单位的速度运动，其中，点 M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP，BC,交AC于点P,连接MP已知动点运动了 x秒.（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC 求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶 点的三角形与 AOCffi似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.例26、如图，正方形 ABCD勺边长为4, E是BC边的中点，点 P在射线AD上，过P作PF，AE于F.（1）求证： PF2 A ABE（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P、F、E为顶点的三角形也与 ABE 相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.例27、如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边 OA OB分别在y轴和x轴上，并且OA OB的长分别是方程 x2-7x+12=0的两根（OA< OB）,动点P从点A开始在线段A