复变函数精彩试题与问题详解

1、选择题1 i当z 一时,1 i(A) i2.设复数(A)3.复数z第一章复数与复变函数10075z z(B)z 满足 arc(Z 2)(B)50 Z,3的值等于（(C)(D)arc(z 2)5，那么z61. 3 .31i(D)2222(C)itan i (- 2）的三角表示式是（(A) sec cos()isin(2 )(B).，3 sec cos( /3 isin(-)(C)sec cos(i sin(3-) (D)sec cosqisin(-)4.若Z为非零复数,-2 Z与2zZ的关系是(A) z2 Z2(C) z2 Z25 .设x, y为实数,的轨迹是（2zZ2zZZ1 x/ c、 2-

2、2(B)Z Z2zZ（D）不能比较大小1Hyi, z2xyi 且有Z1Z212 ,则动点(x, y)(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线6 . 一个向量顺时针旋转一，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为3133i ,则原向量对应的复数是()(A) 2(B) 1V3i(C) 33i(D) ,3 i227 .使得Z Z成立的复数Z是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数8 .设Z为复数，则方程z Z 2 i的解是(3 .3 .(B) - i(O - i449 .满足不等式 J 2的所有点Z构成的集合是()(A)有界区域(B)无界区域 (C)有界闭区域(D)无界闭区

3、域10 .方程z 2 3iJ2所代表的曲线是()(A)中心为2 3i ,半径为J2的圆周(B)中心为 2 3i,半径为2的圆周(C)中心为 2 3i ,半径为J2的圆周(D)中心为2 3i ,半径为2的圆周11 .下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为()(A)(B) z 3 z 34(o t 1(a 1)(D) zz azaz aa c 0(c 0)12.设 f 1 z, z12 3i,z25 i,则 f (z1z2)(D)4 4i(A)4 4i (B) 4 4i(C) 4 4i13. limx xoIm( z)Im( z0)zZo(A)等于i(B)等于i(C)等于0(D)不存在14.函数f

4、(z) u(x,y) iv(x,y)在点z° x0 iyO处连续的充要条件是()(A) u(x, y)在(x0,y0)处连续(B) v(x, y)在(x0,y0)处连续(C) u(x, y)和 v(x, y)在(xO, y°)处连续(D) u(x, y)v(x, y)在(Xo, y°)处连续15 .设z C且z 1 ,则函数f (z)z2z 1z的最小值为(A)3(B)2(C)1(D) 1二、填空题1 .设z(1 i)(2(3 i)(2 i)2 .设 z (2 3i)( 2 i),则 arg z 3 .设 zJ5,arg(z i)3,则 z4(cos5 i sin

5、 5 )一,圆周x2(y 1)2 1的像曲线为z 2z4 *) (1 2i)z (1 2i)z 3 0,试求z 2的取值围.4 . 复数 2-的指数表木式为 (cos3 i sin 3 )5 .以方程z1 z7 d15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6 .不等式 z 2z 2 5所表示的区域是曲线 的部2z 1 i7 .方程 2z 1i 1所表示曲线的直角坐标方程为 2 (1 i)z的垂直平分线MH*。zz8 .方程z 1 2i |z 2 i|所表示的曲线是连续点 和 的线段11六、对于映射(z ),求出圆周z 4的像.2z七、试证1 .亘 0 (z2 0)的充要条件为 z1 z2z1z

6、2Z22 .包。Z2ZiZ2ZnZiZ2Zn八、若lim f (z) A 0,则存在 x X0一 .一1,0,使得当 0 |z Zo|时有 I f(z) -|A .九、设z试证x lyx |y.0, k j, k, j 1,2, ,nD的充要条件为十、设z x iy ,试讨论下列函数的连续性:2xy1. f(z)22x y0,2. f(z)0,第二章解析函数、选择题:一，21 .函数f(z) 3z在点z 0处是()(A)解析的(B)可导的(C)不可导的(D)既不解析也不可导2 .函数f (z)在点z可导是f (z)在点z解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)

7、既非充分条件也非必要条件3 .下列命题中，正确的是 ()(A)设 x, y 为实数，则 cos(x iy) 1(B)若z0是函数f (z)的奇点，则f(z)在点z0不可导 (C)若u,v在区域D满足柯西-黎曼方程，则f (z) u iv在D解析(D)若f (z)在区域D解析，则if (z)在D也解析4 .下列函数中，为解析函数的是()222(A)xy2xyi(B)xxyi(C)2(x1)y i( y2x2 2x)(D)x3iy3z 05 .函数f (z) z2 Im( z)在处的导数()(A)等于0(B)等于1(C)等于1(D)不存在6 .若函数f (z) x2 2xy y2 i(y2 axy

8、 x2)在复平面处处解析，那么实常数a ()(A) 0(B) 1(C) 2(D)27 .如果f (z)在单位圆z 1处处为零，且f(0)1 ,那么在z 1 f(z)()(A) 0(B) 1(C)1(D)任意常数8 .设函数f (z)在区域D有定义，则下列命题中，正确的是(A)若f(z)在D是一常数，则f(z)在D是一常数(B)若Re(f(z)在D是一常数，则f(z)在D是一常数(C)若f(z)与f(z)在D解析，则f(z)在D是一常数(D)若arg f (z)在D是一常数，则 f(z)在D是一常数22_9 .设 f(z) x iy ,则 f (1 i)()(A) 2(B) 2i(C) 1 i1

9、0 . ii的主值为()(D) 2 2i(A) 0(B) 111. ez在复平面上()(C) e(D)(A)无可导点(B)有可导点，但不解析(C)有可导点，且在可导点集上解析(D)处处解析12 .设f(z) sin z ,则下列命题中，不正确的是()(A) f(z)在复平面上处处解析iz iz(C) f(z) e 213 .设为任意实数，则1 ()(A)无定义(C)是复数，其实部等于 114 .下列数中，为实数的是 ()(A) (1 i )3( B) cosi15 .设是复数，则()(A) z在复平面上处处解析(C) z 一般是多值函数、填空题f1 .设 f (0) 1, f (0) 1 i

10、,则N。一(8) f(z)以2为周期(D) |f(z)是无界的(B)等于1(D)是复数，其模等于 13 _i(C) lni(D) e 2(B) z的模为z”(D) z的辐角为z的辐角的倍(z) 12 .设f(z) u iv在区域D是解析的，如果 u v是实常数，那么f (z)在D是u . v .3 .导函数 f (z) i在区域 D解析的充要条件为 x x3 3.2233 、4 .设 f(z) x y ixy,则 f(2 -i) 22. 一一一5 .右解析函数 f (z) u iv的实部u x y ,那么f (z) 6 .函数f (z) zIm( z) Re(z)仅在点z 处可导1 57 .设

11、f(z) -z5 (1 i)z,则方程f (z)0的所有根为 58 .复数i i的模为9 . Imln( 3 4i) 10.方程1 e z0的全部解为设 f (z)u(x, y) iv(x, y) 为 z x iy 的解析函数，_ z z w(z, z) u(2-z z、 . ，z z z z、 w)iv(,)，则；0 .2i2 2i z四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1. f (z) cos x cosh y i sin x sinh y;xx2. f (z) e (xcos y ysin y) ie ( ycos y ix sin y);五、设w32zw ezdwdzdz2

12、六、设f (z)xy2(x iy)24x y0,z 0试证f (z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导z 0七、已知u v x2 y2,试确定解析函数f (z) u iv .八、设s和n为平面向量，将 s按逆时针方向旋转"2即得n .如果f (z) u iv为解析函数,则有上 _v, _u-v (与一分别表示沿s,n的方向导数)sn ns s n九、若函数f (z)在上半平面解析，试证函数f彳E下半平面解析十、解方程 sin z icosz 4i .第三章复变函数的积分、选择题:1.设c为从原点沿y2x至1 i的弧段，则 （x iy2）dz （）15.15.(A) i( B) i6

13、 66 6(C)1 5. i 6 61 (D)-65. i62.设C为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则c(z 1)(z 1)2dz 为（）(A) -22-(B)-22-(0 0(D) (A)(B)(C)都有可能1为负向,c2 : z3正向，则 口C C1C2sin z2 dz ( z(A)(B)(C) 2 i(D) 4 i4.设C为正向圆周2,则。coszc (1 z)2dz(A)sin1(B)sin1(C)2 i sin1(D) 2 i sin15.设C为正向圆周3z cos一z(1 z)72 dz (A) 2 i(3cos1 sin 1)(B) 0 (Q 6 icos1(D)2 isin

14、16.设 f(z)门-d ，其中 z 4 ,则 f ( i)()I 4 z(A)2 i(B)1(C) 2 i(D) 1(A) v(x, y) iu(x, y)(B) v(x, y) iu(x, y)7.设f (z)在单连通域 B处处解析且不为零，c为B任何一条简单闭曲 线，则 积分f 2 f f(z)dz ()8.9.(A)于 2 ie(A) 1 一2(B)等于(C)等于(D)不能确定(B)的直线段,则积分zezdz(c设C为正向圆周c.e.(c)1万 i(D)e. i22xsin( z) "z.2(A) i2(C) 0(D).2 . i210.设c为正向圆周(A) 2 ie(C)

15、0(D)i cosi11.设f (z)在区域D解析，c为D任一条正向简单闭曲线，它的部全属于D .如果f (z)在c上的值为2,那么对c任一点 z0, f(z0)()(A)等于0(B)等于1(C)等于2(D)不能确定12 .下列命题中，不正确的是()-1，,(A)积分 0 dz的值与半径r(r 0)的大小无关z a1rz a 22(8) o(x iy )dz 2 ,其中c为连接 i至口的线段 c(C)若在区域 D有f (z) g(z),则在D g (z)存在且解析(。若£(4在0 |z 1解析，且沿任何圆周c: z r(0 r 1)的积分等于零，则f (z)在z 0处解析13 .设c

16、为任意实常数，那么由调和函数ux2 y2确定的解析函数f(z) u iv是()(A) iz2 c(B)iz2 ic(C) z2 c(D) z2 ic14 .下列命题中，正确的是 ()(A)设v1 ,v2在区域D均为u的共轲调和函数，则必有 v1 v2(B)解析函数的实部是虚部的共轲调和函数(C)若f (z) u iv在区域D解析，则一u为D的调和函数 x(D)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15 .设v(x,y)在区域D为u(x,y)的共轲调和函数，则下列函数中为 D解析函数的是()(C)u(x,y) iv(x,y)(D) i x x二、填空题1 .设c为沿原点z 0到点zi的直线段，则

17、2zdz c2 .设c为正向圆周z 42z2 3z 2 , dzc (z 4)23 .设 f (z)。I I 2sin(-)d z，其中|z 2,则f (3)4 .设C为正向圆周3,z z:.dzc z dzz5.设C为负向圆周e ,5 dzc(z i)56 .解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的那么7 .设f (z)在单连通域 B连续，且对于 B任何一条简单闭曲线 c都有0 f (z)dz 0 ,cf (z)在 B8 .调和函数(x, y) xy的共轲调和函数为 32 .9.若函数u(x, y) x axy为某一解析函数的虚部，则常数 a 10.设u(x, y)的共轲调和函数为 v(x,y)

18、,那么v(x, y)的共轲调和函数为 三、计算积分1 .： 一 z| R (z5一6zdz 其中 R 0, R2 1)(z 2)中2;2.z|dzO 32z2 2四、设f(z)在单连通域 B解析，且满足1f (z1 (x B).试证1 .在B处处有f(z) 0；2 .对于B任意一条闭曲线 C,都有Q fc f (z)五、设f (z)在圆域zR解析，若max f (z)| z a| rM(r) (0 r R),皿)n!M (r),) c、则 f(n)(a)一(n1,2,).rz六、求积分q dz ,从而证明o ecos cos(sin )dIzl 1 z七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对

19、于任意给定的两个复数a,b ,试求极限limR0 f(z)dz并由此推证 f (a) f(b)(维尔 Liouville 定理).z R (z a)(z b)八、设f(z)在z R(R 1)解析，且f(0) 1,f(0) 2,试计算积分 (z 1)2 当)dzIZ 1z并由此得出 2 cos2 _ f (ei)d之彳t.02九、设f(z) u iv是z的解析函数，证明2 ln(12|f(z)| )-2X2ln(1 |f(z)|2)2y24 f (z).2 2(1 f(z)22、十、右u u(x y )，试求解析函数 f (z) u iv .第四章 级数、选择题:(n 1,2,),则 lim n

20、an()产 (1)n ni仅 an -n 4(A)等于0(B)等于1(C)等于i(D)不存在(A)R1R2 R3(B)R1R2R32 .下列级数中，条件收敛的级数为()(A)(T)nn 12(B)(3 4i)n n 1 n!(C)(D)(1)n1 . n 11i(B)-(1-)n1 nni2n(C)n 2 ln n(D)(1)nin12n3 .下列级数中，绝对收敛的级数为()(1)n(B) ( -n 1 n4.若哥级数cnzn在zn 0(A)绝对收敛(C)发散1 2i处收敛，那么该级数在 z 2处的敛散性为()(B)条件收敛(D)不能确定5 .设备级数CnZn,nCnZn1和 一zn 1的收敛

21、半径分别为R1，2木3 ,则n 0n 0n 0 n 1R1,R2,R3之间的关系是()(C) R1R2R3(D RiR2R36.设 0 q21 ,则哥级数qn zn的收敛半径R ()n 0(A) q(B) 1 q(C) 0(D)nsin7.哥级数2-(-)n的收敛半径R ()n 1 n 2(A)1(B) 2(C) J2(D)8.哥级数no碧I"在IZ1的和函数为(A) ln(1 z)(B) ln( 1 z)(D)1In1 z(D)Inz9.设函数的泰勒展开式为coszCn zn ,那么哥级数n 0Cnzn的收敛半径Rn 0(A)(B) 1(C)一2(D)(A) z 1(B) 0(C)

22、 1(D)不存在的一，1 ，11.函数-12在z 1处的泰勒展开式为 z(A)( 1)nn(zn 11)n 1(z 11)(B)(1)n11 n(z1)n 1 (z 11)(C)n(zn 11)n(z 11)(D)n(z11)n 1(z 11)12.函数sinz,在二处的泰勒展开式为2(A)(1)no(2n 1)!2n(z a)(B)(1)n0 (2n)!(z 5)2n(C)(1)n 1 0(2n 1)!2n(z 2)(D)(1)n 1 0 (2n)!2n(z i)(z13.设f (z)在圆环域H : R1zoR2的洛朗展开式为nCn(zz0)n , c为 H 绕 z0的任一条正向简单闭曲线，

23、那么f(z) c(z zo)2dz ()(A) 2 ic 1(B) 2ic1(C) 2 ic2(D) 2 if (Zo)14.若 cn3n(4n1)n，0,1,2,1, 2,则双边骞级数Cn zn的收敛域为（）（A）4(B) 3 z15 .设函数f(z)z(z 1)(z 4)在以原点为中心的圆环的洛朗展开式有m个，那么(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4二、填空题Cn(z i)n 在 zi处发散，那么该级数在z 2处的收敛性2.设备级数n 0Cnzn 与Re(Cn)znn 0的收敛半径分别为R1和R2，那么R与R2之间的关玄旦 不TH3.哥级数 （2i）nz2n 1的收敛半径R n 04.

24、设f （z）在区域D解析，z0为的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z z0 d 时，f(z)cn(z z0)n 成立，其中 Cn .n 05 .函数arctan z在z 0处的泰勒展开式为 .6 .设备级数cnzn的收敛半径为R ,那么哥级数 (2n 1)cnzn的收敛半径n 0n 0为.n 1n z n .7 .双边哥级数(1) 2-( 1) (1 一)的收敛域为.n 1 (z 2)2n 1218 .函数ez ez在0 |z洛朗展开式为 .9 .设函数cot z在原点的去心邻域 0 |zR的洛朗展开式为azn ,那么该洛朗级数收n敛域的外半径R .1 ， ，.10.函数 在1

25、 z i的洛朗展开式为 .z(z i)1n二、右函数 2在z 0处的泰勒展开式为anz ,则称 an为非波那契(Fibonacci)数1 z zn 0列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式.四、试证明1. ez 1 ez 1ze闰(z );2. (3 e) z ez 1 (e 1)z (z 1);五、设函数f(z)在圆域R解析，Snkn f(k)(0)zk0 k! Z试证1. Sn(z)/n 1 n 1.1zd-f( )2 i rz(z rR).zn 1 f ()Sn(z)d z)(zR)。六、设备级数n2zn的和函数，并计算n 12n »古 fN值.n 1 2七、设

26、f (z)anzn ( zn 0R1 ), g bnzn ( zn 0r2)，则对任意的r(0 rR1),在z Ranbnznn 0z d° f( )g(一)一。I r八、设在zR解析的函数f(z)有泰勒展开式f (z) a0 a1z a2z2试证当012.2r R时厂0 f(6)d2 2nan r九、将函数ln( 2 z)在0 z 11展开成洛朗级数z(z 1)十、试证在0 z下列展开式成立:1z -e zC0nCn(zn 1112 cost)其中 cn 0 e cosn d (n 0,1,2,).第五章 留数、选择题：1 .函数cot上在z i 2的奇点个数为()2z 3(A)

27、1(B) 2(C) 3(D) 42 .设函数f(z)与g(z)分别以z a为本性奇点与 m级极点，则z a为函数f (z)g(z)的()(A)可去奇点(B)本性奇点(C) m级极点(D)小于m级的极点x2一 一 一，.1 e , 一， 一，3. .设z 0为函数-的m级极点，那么m ()z sin z(A) 5(B) 4(C)3(D) 214. z 1 是函数(z 1)sin的()z 1(A)可去奇点(B) 一级极点(C) 一级零点(D)本性奇点3 2z z35. z 是函数3 2j z的() z(A)可去奇点(B) 一级极点(D)本性奇点(C) 二级极点6.设 f (z) anzn 在 zR

28、解析，k为正整数，那么 Resfz,0()(A) ak(B) k!ak(C)ak 1(D)(k1)!ak 17.设z a为解析函数f (z)的m级零点，那么f (z)Res7/a(f (z)(A) m(B)m(C)(D)(m 1)8.在下列函数中,Resf (z),00的是(A)f (z)ez 12- z(B)f(z)型 z(C) f(z) SinZ CoSZ(D)9.下列命题中，正确的是(A)设 f(z) (z极点.(B)如果无穷远点(C)(D)Zo) m (z),(z)在 Zo 点解析,是函数f(z)的可去奇点，那么f(z) em为自然数,Re sf(z),若z 0为偶函数f (z)的一个

29、孤立奇点，则 Resf(z),0若0 f (z)dz 0 ,则f (z)在c无奇点 c则z0为f (z)的m级10. Re sz3cos2i-,( z222.(A)2(B) -(C) -I333111 . Resz2erT,I()1(C I65(D) - I615(A)- I(B)- I6612 .下列命题中，不正确的是 ()(A)若Zo()是f (z)的可去奇点或解析点，则 Resf(z)z 0 , ,P(z)P(Zo)(B)若 P(z)与 Q(z)在 Zo 解析，Zo 为 Q(z)的一级零点，则 Res,ZoQ(z)Q(z。)(C )若 z0为 f(z)的 m 级极点，n m 为自然,1R

30、e s f (z), z0limn!x x0dndzn(zz0)n 1 f(z)(D)如果无穷远点1、,f (z)的一级极点，则z 0为f (一)的一级极点，并且 z1 Resf(z), lzm0zf(-)13.设n 1为正整数，则0 n z 2z1, dz ()1(A) 0(B) 2 i(C)(D) 2n i14.积分:7rdzI3z 11 2(A) 0(B)(C)10(D)2.1.(C) 积分 o z sin - dz|Z| 1(A) 0(B)(C)(D)二、填空题1 .设z 0为函数3 .sin z的m级零点，那么2 .函数f (z)1 一-在其孤立奇点zk1cos z1一(k 0, 1

31、, 2,处的留数Res f (z),zj213 .设函数 f (z) expz2-,贝U Re s f (z),0z4 .设z a为函数f (z)的m级极点，那么 Res f (z), a f(z)5 .双曲正切函数tanh z在其孤立奇点处的留数为6.设 f (z)-2zy,则 Res f (z),1 z7.设 f(z)1 cosz,则 Resf (z),018.积分红z3e zdz lzl 19.积分。lzl，dz 1 sin z10.积分ixxe2 dx1 x三、计算积分zsinz2-dz - z)四、利用留数计算积分2 d 2 (a 0) a2 sin2五、利用留数计算积分2-x x

32、2,-2dxx 10x9六、利用留数计算下列积分:xsin xcos2x1 -2dx0 x2 1cos(x 1)2dxx2 1七、设a为f (z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f (z)的m级极点的充要条件是lim(z a)mf(z) b ,其中b 0为有限数. z a八、设a为f (z)的孤立奇点，试证：若 f(z)是奇函数，则 Resf(z),aRes f (z), a;若 f(z)是偶函数，贝U Re s f (z), a Re s f (z),九、设f(z)以a为简单极点，且在 a处的留数为A,证明lim 一z a 1f (z)f(z)21A.十、若函数 (z)在z1上解析，当z为实

33、数时,(z)取实数而且(0)0,f (x, y)表示2(x iy)的虚部，试证明0一2 f(cos ,sin )d1 2tcos t2(1 t 1)第六章共形映射、选择题：1 .若函数w z2 2z构成的映射将z平面上区域G缩小，那么该区域 G是()一 11- 11(A) z (B) z 1(C) z (D) z 122222 .映射w 3z-在Zo 2i处的旋转角为()z i2(A) 0(B)-2(C)(D)23 .映射w e 在点z0 i处的伸缩率为()(A) 1(B) 2(C)(D) e4.在映射w iz-ie4下，区域Im( z)0的像为(A) Re(w)(B)Re(w).22(C)

34、Im( z).22(D)Im( w)_225.下列命题中,正确的是()(A) w在复平面上处处保角(此处 n为自然数)(B)映射w z3 4z在z 0处的伸缩率为零(C)若w f1(z)与wf2(z)是同时把单位圆 z1映射到上半平面Im( w) 0的分式线性变换，那么 fi(z)f2(z)(D)函数w z构成的映射属于第二类保角映射6 . 1 i关于圆周(x 2)2 (y 1)24的对称点是()(A) 6 i(B) 4 i(C)2 i(D) i37 .函数w 4将角形域0 arg z 映射为() z3i3(A) W(B) W(C) Im( w) 0(D) Im( w) 08.将点z1,i,

35、1分别映射为点,1,0的分式线性变换为（(B)(B) W(C)(D)_ ie29.分式线性变换2z 12z 1把圆周(E)(F)10.分式线性变换2z(z11z1(D)将区域：w1映射为（1 且 Im( z)0映射为(A) arg w(B)一arg w 0 2(C)一 2arg w(D)0 arg w11.设a,b,c,d,为实数且adbc 0，那么分式线性变换waz b把上半平面映射为 cz d平面的（）(A)单位圆部(B)单位圆外部(C)上半平面(D)下半平面12.把上半平面Im( z) 0映射成圆域2且满足w(i) 0,w (i)1的分式线性变换w(z)为()(A) 2izz i(B)

36、2i z ii(C) 2- iz i(D) 2 z i13.把单位圆1映射成单位圆 w1且满足w()0,w(0)0的分式线性变换w(z)为()2 iz(B)z 2 iz(C) 2z2iiz(D)iz14.把带形域0Im( z) 映射成上半平面Im( w)0的一个映射可写为2ez(B) w2z e(C) wz ie(D)iz w e15.函数wz ez e1 i 将带形域Im( z)映射为()(A Re( w)(B) Re(w)(C) w(D) w二、填空题1 .若函数f(z)在点zO解析且f (z0)0,那么映射w f (z)在z0处具有2 .将点z 2,i, 2分别映射为点 w1,i,1的分

37、式线性变换为 .3 .把单位圆|z 1映射为圆域|w 11且满足w(0) 1,w(0) 0的分式线性变换 w(z)4 .将单位圆z 1映射为圆域 w R的分式线性变换的一般形式 为.一一I.一 .、一 一 15 .把上半平面Im( z) 0映射成单位圆 w(z) 1且满足w(1 i) 0, w(1 2i) 一的分式 3线性变换的 w(z) =.6 .把角形域0 arg z 一映射成圆域 w4的一个映射可写为.-4 z3,7 .映射 w e 将带形域 0 Im(z) 映射为. 48 .映射 w z3将扇形域： 0 arg z 一且 z 2映射为. 39 .映射 w lnz将上半 z平面映射为 .

38、11 一一 一10 .映射 w-(z一)将上半单位圆：z 2且Im(z) 0映射为.a1z b1a2z b2 一 一 二、仅 Wi(z) ,w2(z) 是两个分式线性变换，如果记c1z d1c2z d21a1 b1a1 b1a2 b2a bc1dl, c1dle2 d 2 cdaz bcz d试证1. w1(z)的逆变换为w11(z)2. Wi(z)与W2(z)的复合变换为WiW2(Z)可以写成如下形式四、设zi与z2是关于圆周：z a R的一对对称点，试证明圆周z zi甘小Rzia 其中 .z z2z2 a R五、求分式线性变换 w(z),使z i映射为w i ,且使z i,i i映射为w

39、i,六、求把扩充复平面上具有割痕：Im(z) 0且 Re(z) 0的带形域Im( z) 映射成带形域Im(w) 的一个映射.七、设b a 0 ,试求区域 D : z a a且z bb到上半平面Im( w) 0的一个映射w(z).i _ .、.八、求把具有割痕：Im(w) 0且3 Re(z) i的单位圆z i映射成上半平面的一个映射. 一 5_九、求一分式线性变换，匕把偏心圆域 z : z i且z i - 映射为同心圆环域i w R ,并求R的值.22十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆 勺 * i的外部映射成单位圆外部 w i的一个映射.54第二章复数与复变函数2.arctan 83.1 2i4.

40、16 i5.3、35 (或(2)21)一、1 . (B)2. (A)3.(D)4. (C)5 .(B)6 . (A)7. (D)8 .(B)9 . (D)10. (C)11 . (B)12. (C)13.(D)14. (C)15. (A)8. 1 2i,2 i9. Re(w)10. 7 2iJ5 22,55 22(或通 22 z 2 75 22).四、当0 a 1时解为 (1 J1 a)i或(Jia 1)当1 a 时解为 (J1 a 1).17u cos六、像的参数方程为 2015 .v sin22 .表示w平面上的椭圆4)2(沙十、1 . f (z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续;2

41、. f (z)在复平面处处连续第二章解析函数、1. (B)2.(B)3. (D)4. (C)5 .(A)6 . (C)7 .(C)8 . (C)9 . (A)10.(D)11 . (A)12.(C)13. (D)14. (B)15.(C)、填空题2.常数3.u ,可微且满足2 u-2 x4.27427.一 i85.2xyiic 或 z22k2k7.V2(cos .4 sin9.arctan四、1. f(z)五、dw dz2w七、2v-2 x),k0,1,2,310. 2k(k0, 1, 2,sin z;_2_3w 2z2.(z) (z 1)ez.c为实常数2k8. e (k0,6. i1, 2,)d 2w dz2d