(完整)八年级数学下册期末复习一直角三角形试题新版湘教版

1、期末复习 ( 一)直角三角形各个击破命题点 1直角三角形的性质与判定【例 1】在 Rt ABC中， BAC 90°， AD BC于点 D.1(1) 如图 1，若 C 30°，求证： BD BC； 4(2) 如图 2，若 C 45°，写出点 D到 ABC的三个顶点 A， B， C的距离的关系；(3) 在 (2) 的基础上， 如果点 M，N分别在线段AB，AC上移动， 在移动过程中保持AN BM，请判断 DMN的形状，请证明你的结论【思路点拨】(1) 先由同角的余角相等可以得到BAD C30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，

2、可以在Rt ABD和 Rt ABC中分别找出BD与 AB，AB 与 BC的关系，从而得出BD与 BC的数量关系；(2) 根据 C 45°， BAC 90°，可得 ABC是等腰直角三角形又AD BC，由等腰三角形三线合一的性质可知，D为直角三角形斜边的中点再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出AD， BD，DC之间的关系；(3) 先由题目所给的条件证明BDM ADN，从而得到MD DN及 BDM ADN，进而可得 MDN ADB 90°.【解答】 (1) 证明： BAC90°， AD BC， B C 90°， B BAD90° . BA

3、D C30° .1在 Rt ABD中， BD 2AB，1在 Rt ABC中， AB 2BC.1 BD 4BC.(2) C 45°， BAC 90°， ABC是等腰直角三角形 ADBC， D 为 BC的中点 ADBD CD.(3) DMN是等腰直角三角形证明： BM AN， B DAN 45°， BDAD， BDM ADN(SAS) MDND， BDM ADN. MDN ADB 90° . MDN是等腰直角三角形【方法归纳】 (1) 由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系； (2) 由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三

4、角形中有一个直角或有两个角互余即可1如图， ABC中， CD AB 于 D，且 E 是 AC的中点若AD 6， DE 5，则 CD的长等于 (D)1A 5B 6C 7D 82一个三角形的三个角的度数之比是33 6，则这个三角形是等腰直角三角形3在 ABC中， AB AC， A120°， AB的垂直平分线交BC于点 D，交 AB于点 E. 如果 DE 1 ，求 BC的长解：连接AD. DE垂直平分AB， ADBD， DEB 90° . ABAC， BAC 120°， B C 30° .在 Rt BDE中， B 30°，1 DE 2BD. BD 2

5、. ADBD， BAD B. DAC BAC BAD120° 30° 90° .又 C 30°，1 AD 2CD. CD 2AD 2BD 4. BCCD BD4 2 6.命题点 2勾股定理及其逆定理【例 2】如图，四边形ABCD， AB AD 2， BC3， CD1， A90°，求 ADC的度数【思路点拨】首先在 Rt BAD中，利用勾股定理求出BD的长，而由题意可知，ABD为等腰直角三角形，则 ADB 45°，再根据勾股定理逆定理，证明BCD是直角三角形，即可求出答案【解答】 连接 BD.在 Rt BAD中， AB AD 2，222

6、. ADB 45°， BD AD AB 222222在 BCD中， DBCD (22) 1 9CB ， BCD是直角三角形 BDC 90° . ADC ADB BDC 45° 90° 135° .【方法归纳】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差4已知三组数据： 2，3， 4； 3，4，5； 1，3，2. 分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有 (D)A B C D 5如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣2用 HL 证明三角形全等时，需指明

7、直角三角形中线”如图，在 ABC中， C 90°，较短的一条直角边 BC 3，且 ABC是“有趣三角形” ，求 ABC的“有趣中线”的长解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线BD，如图所示，BC3，设 BD 2x ，则 CD x.在 Rt CBD中，根据勾股定理，得222222BD BC CD，即 (2x) (3) x ，解得 x 1.则 ABC的“有趣中线”的长等于2.命题点 3直角三角形全等的判定【例 3

8、】如图，已知AB BD， CDBD， ADCB，求证： AD BC.【思路点拨】要证 AD BC，可证 ADB CBD，这由 Rt ADB Rt CBD(HL)可以得到【解答】 AB BD， CD BD， ABD CDB 90° .在 Rt ADB和 Rt CBD中，AD CB， BD DB， Rt ADB Rt CBD(HL) ADB CBD. ADBC.【方法归纳】6如图，已知AB AD， ABC ADC90°， EF 过点 C， BE EF 于 E， DFEF 于 F， BEDF. 求证： Rt BCE Rt DCF.证明：连接AC.在 Rt ABC中和 Rt ADC

9、中，ABAD，ACAC， Rt ABC Rt ADC(HL) BCDC. BEEF， DFEF， E F 90° .BC DC，在 Rt BCE和 Rt DCF中，BE DF，3 Rt BCE Rt DCF(HL)命题点 4 角平分线的性质与判定【例 4】如图，在 ABC中， ABC的平分线与ACB的外角的平分线交于P 点， PDAC于 D，PH BA 于 H，求证：AP平分 HAD.【思路点拨】过 P 作 PF BE于 F，根据角平分线的性质可得PH PF， PF PD，有 PD PH，再根据角平分线的判定可得结论【解答】过 P作 PFBE于 F. BP平分 ABC， PH BA，

10、 PF BE， PHPF. CP平分 ACE， PD AC， PF BE， PFPD. PDPH.又 PH BA， PD AC， AP平分 HAD.【方法归纳】 此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线7如图， OC是 AOB的平分线， P 是 OC上一点， PD OA于点 D，PE OB于点 E，若点 Q是 OC上与点 O， P 不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是(D)A PD PEB OC DE且 OC平分 DEC QO平分 DQED DEQ是等边三角形8( 株洲中考 ) 如图，在 Rt ABC中， C9

11、0°， BD是 ABC的一条角平分线点 O， E，F 分别在 BD，BC，AC上，且四边形 OECF是正方形(1) 求证：点 O在 BAC的平分线上；(2) 若 AC 5， BC 12，求 OE的长解： (1) 证明：过点O作 OM AB 于点 M.四边形OECF是正方形， OEOF， OEBC， OFAC. BD是 ABC的平分线， OEOM. OFOM.又 OM AB， OF AC， AO是 BAC的平分线，即点O在 BAC的平分线上(2) 连接 OC.在 Rt ABC中， AC 5， BC 12，4 AB2252122 13，AC BC11S ABC2BC· AC2&

12、#215; 12×5 30. S ABC SAOBS BOC S AOC111 2AB·OM 2BC·OE 2AC· OF，又 OM OE OF， S ABC 1OE· (AB BCAC) 30， 21即 2OE·30 30. 解得 OE 2.整合集训一、选择题 ( 每小题 3 分，共 30 分 )1如图， l 1 l 2， l 3 l 4， 1 42°，那么 2 的度数为 (A)A 48°B 42°C 38°D 21°2在 Rt ABC中， C 90°， B 30°

13、;， AC 5 cm，则斜边AB 上的中线是 (A)A 5 cmB 15 cmC 10 cmD 2.5 cm3下列说法：如果A B C，那么 ABC 是直角三角形；如果A B C 1 2 3，那么 ABC是直角三角形；如果三角形的三边长分别为4， 4，6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形其中正确的有( D)A1个B2个C3 个D4 个4如图，为了测得湖两岸 A 点和 B 点之间的距离，一个观测者在 C 点设桩，使 ABC90°，并测得 AC长 20 米，BC长 16 米 ，则 A 点和 B 点之间的距离为 (B)A25 米B 12 米C13 米D43米

14、5如图，在 ABC中， C 90°， AP 是角平分线， AP 10， CP 5，则 B 的度数是 (B)A 45°B 30°C 60°D 15°6( 杭州中考 ) 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和 n(m<n) ，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则(C)A m2 2mn n2 0B m2 2mn n2 0C m2 2mn n2 0D m2 2mn n2 07如图， AD BC， C D90°，下列结论中不成立的是(C)A DAE CBEB CE DEC DAE与 CBE不一定全等D 1

15、 258如图， ABC中， ACB 90°， AEAC 8， BF BC 15，则 EF 长为 (D)A3B4C5D69如图，已知点 P 是 AOB角平分线上的一点， AOB 60°， PD OA，M是 OP的中点， DM4 cm，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC的最小值为 (C)A2B23C4D4310如图所示的图形中， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为 7 cm，则所有正方形的面积的和是 (D)A 28B 49C 98D 147二、填空题 ( 每小题 4 分，共 24 分 )11如图， ABC中， AD BC于

16、D，要使 ABD ACD，若根据“ HL”判定，还需加条件ABAC(答案不唯一 ) 12如图，在Rt ABC中， ACB 90°， AC 3，AB 6，点 D 是 AB的中点，则ACD 60°13如图，在Rt ABC中， A 90°， BD平分 ABC交 AC于点 D， S BDC 4， BC 8，则 AD 114在 Rt ABC中， C 90°， A 30°， AB 上的中线CD的长 2 cm，那么 AC 23cm.15如图，在Rt ABC中， B90°， AB 3， BC4，将 ABC折叠，使点B 恰好落在边AC上，与点B重合，3

17、AE为折痕，则EB 2616( 南昌中考 ) 如图，在 ABC中， AB BC 4， AO BO， P 是射线 CO上的一个动点， AOC 60°，则当 PAB为直角三角形时， AP的长为 2 3或 2 7或 2三、解答题 ( 共 46 分)17(10 分 ) 已知：如图， Rt ABC和 Rt ADC中， ABC ADC 90°，点 E 是 AC的中点求证：EBD EDB.证明： ABC 90°，且点E 是 AC的中点，1 EB 2AC.1同理： ED 2AC. EBED. EBD EDB.18(10 分 ) 已知：如图， BC， AD分别垂直于 OA，OB，

18、BC和 AD相交于点 E，且 OE平分 AOB，已知 CE 3 cm， A 30°，试求 EB的长解： BC， AD分别垂直于OA， OB， OE平分 AOB， CEDE.在 ACE和 BDE中， AEC BED，CE DE， ACE BDE90°， ACE BDE(ASA) AE BE. CE3 cm， A 30°， AE2CE 2×3 6(cm) EB6 cm.19(12 分 ) 小明拿着一根长竹竿进一个宽为3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解：设竹竿长x 米，则城门高(x 1) 米，根据题意得x2 (x 1) 2 32. 解得 x 5.答：竹竿长5 米720(14 分 ) 如图，在 ABC中， AB AC，DE是过点 A 的直线， BD DE于点 D，CE DE于点 E.图 1图 2(1) 若点 B， C 在 DE的同侧 ( 如图 1 所示 ) ，且 AD CE.求证： AB AC；(2) 若点 B，C在 DE的两侧 ( 如图 2 所示 ) ，其他条件不变， AB与 AC仍垂直吗？若是，请给出证明