直线对称问题.

1、直线系对称问题（一）主要知识及方法：1. 点 P a,b 关于 x 轴的对称点的坐标为；关于 y 轴的对称点的坐标为；关于 yx 的对称点的坐标为；关于 yx 的对称点的坐标为.2. 点 P a,b 关于直线 axbyc0 的对称点的坐标的求法：1 设所求的对称点 P' 的坐标为 x0 , y0 ，则 PP '的中点ax0, by0一定在直线 ax byc0上 .222 直线 PP ' 与直线 axbyc0的斜率互为负倒数，即y0ba1x0ab3. 直线 a1xb1 y c10 关于直线 axbyc0 的对称直线方程的求法：到角相等；在已知直线上去两点（其中一点可以是交

2、点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；轨迹法 ( 相关点法 ) ；待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等， 4. 点x, y关于定点a,b 的对称点为2ax,2 by ，曲线 C ： fx, y0 关于定点a,b的对称曲线方程为f2ax,2 by0.5. 直线系方程：1 直线 ykxb （ k 为常数， b 参数； k 为参数， b 位常数） .234过定点 Mx0 , y0 的直线系方程为 y y0k xx0及 xx0与直线 AxByC0 平行的直线系方程为AxByC10 （ CC1 ）与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为BxAym05 过

3、直线l1： a1 xb1 yc1 0 和 l2：a2 x b2 yc2 0 的交点的直线系的方程为：a xb yca xb yc0 （不含l2）111222典例分析（一）例 1：已知 3a+2b=1,求证：直线 ax+by+2(x-y)-1=0 过定点 ,并求该定点坐标 .思路一：由 3a+2b=1 得 :b= 1(1-3a)代入直线系方程 ax+by+2(x-y)-1=02整理得 (2x 332x3 y1 02y)=0由2)2y-1)+a(x - 23, 得交点 (1, 3xy02 直线过定点 (1, 思路二： 赋值法令 a=0 得 b= 12 令 b=0 得 a= 1 32 ).33得 L

4、1: 2x - 2 y-1=03得 L2: x 2 y=02x3 y 1 02由2,得交点 (1, 3)3x y 02把交点坐标代入原直线方程左边得:左边 =13 (3a+2b-1) 3a+2b-1=0左边 =0这说明只要 3a+2b-1=0原直线过定点 (1, 23 ).例 2:求证 :无论 为何值 ,直线 (2+ )x-(1+ )y-2(3+2 )=0与点 P(-2,2)的距离 d 都小于4 2 .证明：将直线方程按参数 整理得(2x-y-6)+ (x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0 和 x-y-4=0的交点 M易解得 M(2,-2)求得 |PM|=42所以 d 42而过

5、点 M 垂直 PM 的直线方程为 x-y-4=0,又无论 为何值 ,题设直线系方程都不可能表示直线 x-y-4=0 d<42【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大 ,难算结果 ,运用直线系过定点巧妙获解 .例题： 例 3、 已知直线 l：kxy1 2k0 ( kR)（1）证明直线 l 过定点；（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于B ， AOB 的面积为 S，求 S的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围。分析：（ 1）证直线系过定点，可用分离参数法。（2）求 AOB 面积 S 的最小值，应先求出目标函数Sf(

6、k) ，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。（3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x 轴上的截距小于或等于 -2，在 y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（ -2， 1）知斜率大于或等于零。解：（ 1）直线 l 的方程是：k x21y0x 20x2令得：1y0y无论 k取何值，直线总经过定点（-2， 1）（2）由 l 的方程，得：12k依题意得：0A1 2kk， 0 ， B 0， 1 2kk12k 0S1OA· OB1 · 1 2k · 1 2k22k1·(12k ) 2112k4k42k122442解得： k 0“ ”成立的条件是 k

7、且4k1 ，即10kkSm i n 42此时 l ：x2 y40（ 3）由（ 2）知：直线在x轴上的截距为在 y轴上的截距为 12k12kk12k2要使直线不经过第四象限，则必须有k12k1解之得： k 0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。例 4、已知 P（ 1， 3），直线 l ：x 4y10（1）求过 P 且平行于 l 的直线 l 1 的方程；（2）求过 P 且垂直于 l 的直线 l 2 的方程11l 的斜率关系可得kl14，由 l2l的斜率关系得kl2 ，再策略：由 l4利用点斜式方程可求出直线 l 1，l2 的方程由平行直线系与垂直直

8、线系可以求出 l 1， l 2 的方程1且 l1l ，直线 l 1 的斜率 k11解法一：（ ）直线 l 的斜率为 4 41l 1 过 P（ ， ），l 1 的方程为1x，即 xy 又y 4(1)1 33411 01(2) kl 4 且 l 2 l ，直线 l 2 的斜率为 k2 4又 l 2 过 P(1 ， 3) l 2 的方程为 y 3 4( x1) 即 4xy70解法二：（ 1） l 1l 且 l 方程为 x4y10设 l 1 的方程为 x 4yC0 又 P(1 ，3) 在 l 1 上14×3C0 解得 C11 l 1 的方程为 x4y110(2) l 2l 设 l 2 的方程

9、为 4x yC0 又 l 2 过 P（1，3） 4×13 C 0解得 C 7l 2 的方程为 4xy70评注：一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便例 5、求证：不论 m为何实数，直线 l ：( m 1) x(2 m1) ym5 恒过一定点，并求出此定点坐标策略：对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可证法一：（特殊值法）1当 m1 时，直线 l 的方程为 y 4；当 m 2 时，直线 l 的方程为 x9；两直线的交点为（ 9， 4），满足直线l的方程 ( m1) x(2 m 1) y m 5不论 m为何实数， 直线 l ：( m1) x(

10、2 m1) y m 5 恒过一定点（9， 4）证法二：（直线系法）将方程 ( m1) x (2 m1) ym5 整理得 m( x 2y1) ( x y 5) 0x2 y10x9解方程组 xy50 得 y4不论m为何实数，定点(9，4)恒满足方程(m1)x(2m1)ym 5即不论 m为何实数， 直线 l ：( m1) x(2 m1) y m 5 恒过一定点（9， 4）评注：求某直线过定点的题目，常用的两种方法特殊值法和直线系法例 6、求经过两直线l 1：xy 0和 l2：xy 0的交点 P，且与直线242l 3：xy 0垂直的直线 l 的方程345策略：可以先解方程组求出交点P，再利用 l l

11、3 求出斜率，用点斜式求 l 方程；求出 P 点后，用垂直直线系求 l 方程；先由过 l 1， l 2 的交点的直线系设出 l 方程，然后由 l 3 l 求系数x 2 y 4 034解法一：解方程组 x y2 0得交点 P（ ， ） k3 4kl 302由点斜式得 l ： y 4x y 3 x 即42360解法二：设所求直线l ：4x 3y C0由解法一知： P(0 ，2）代入方程，得C 6l ：4x3y 6 0解法三：设所求直线l ：( x 2y 4) ( x y 2) 0整理得 ( 1) x( 2) y240 l l 33( 1) 4( 2) 011 l 的方程为： ( x2y4) 11(

12、 x y 2) 0 即 4x3y60评注：解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算利用直线系解题一、直线系的定义1、 共点直线系方程经过两直线 l1 : A1 xB1 y C10, l 2: A2 xB2 y C 20 的交点的直线系方程为 A1 xB1 yC1( A2 xB2 yC2 )0(为待定的系数 )2、 平行直线系方程与直线 AxByC0平行直线系方程是 AxBy0( 是参变量 )3、 垂直直线系方程与直线 AxByC0垂直的直线系方程是 Bx - Ay0(j 参变量 )二、利用直线系解题例题：(一 )直接应用1

13、、 求过点A(1 ， -4) 且与直线 2x3 y50 平行直线方程。(课本第45页例 2)( 2x3y100 )2、 求过点A(2,1) ，且与直线 2xy 100 垂直的直线方程。(课本第 46页例 4)相交。分析：判断直线与圆的位置关系通常采用“( x2 y0 )3、 求经过两条直线2x3y100 和 2x4 y2 0 的交点，且垂直于直线3x 2 y 40 的直线方程。 (课本第 54 页第 11题第 1 小题 )( 2x 3y 20 )4、 经 过 两 条 直 线 2x y8 0 和 x 2 y 10的交点，且平行于直线4x 3y 70 的直线方程。 (课本第 54 页第 11 题第

14、 2 小题 )( 4x 3 y 60)5、 经过直线 y2x 3和 3xy20 的交点，且垂直于第一条直线的直线方程。 (课本第 54页第 11题第 3小题 )(x2 y11 0)6、 求平行于直线xy20 且与它的距离为22 的直线方程。 (课本第 87 页第13 题 ) ( x y2 0 或x y 6 0 )( 二 )间接应用7、 当 a 为任意实数时，直线( a 1) xy2a 10 恒过的定点为 _。解：直线的方程可以化为a( x2)(xy1)0 ，由直线系的定义我们知道：直线过的点是方程组x20,xy10 的解，这样我们就可以知道直线过点 (-2,3) 。8、已知圆 C： ( x2)

15、 2( y3) 24 及直线l : (m 2) x(2m1) y7m8. 证明：无论m 为任何实数，直线 l 恒与圆 C法”，或“比较 d 与 r 法“，特别是“ 法”运算量往往很大，当发现直线 l 过定点，且此定点又在圆内部时，妙解应运而生。证明：易证直线 l 过定点M(3,2) ，且 (32) 2(23) 22<4 ，即点 M 在圆 C 内，点 M 又在直线 l 上，故不论 m 为任何实数，直线 l 与圆 C相交。9、 a、 b 满足什么条件时，使得对于任意实数m,直线 l ：y m b 与曲线 C：(x 1)2y 21(a0)a 2总有公共点。分析：本题虽然可以用“法”来解，但不仅

16、运算量大( 两次使用判别式 )，而且还容易忽视对二次不等式系数的讨论而造成失解，如果利用直线 l过定点 (0，b)，并使该点在椭圆 C 上或在其内部便可达到目的。解：易知直线 l ： y bmx 0 过点 M(0 ，b)，欲使 l 与椭圆 C 恒有公共点，须使(01) 2b 21即 1 a 2b2a2 时，对于任点在椭圆 C 上或在其内部，于是有a2意实数 m,直线 l 与椭圆 C 恒有公共点。对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1.在所求曲线上选一点M (x, y)； 2.求出这点关于中心或轴的对称点M / (x0 , y0 ) 与M (x, y)之间的关系；3.利用f (

17、x0 , y0 )0 求出曲线g( x, y)0 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考典例分析（二）：例 1（ 1）求点 A(1,2) 关于直线 xy20 的对称点（ 2）求 A(3,4) 关于直线 y 2x 3 的对称点（ 3）一张坐标纸，对折后，点A(0 ，4)与点 B （8， 0）重叠，若点 C(6， 8)与 D（ m， n）重叠，求 m+n；例 2：试求直线l1 : xy10 关于直线 l2 : 3xy30 对称的直线 l 的方程。解法 1：（动点转移法）在 l1 上任取点 P(x/ , y / )( Pl

18、2 )，设点 P 关于 l2的对称点为 Q (x, y) ，则3 x/x y /y3 0x/4x 3y 92y/25y1y/3x4 y3x/x35又点 P 在 l1 上运动，所以 xy1 0，所以4x3y 93x 4 y 3 1 0 。即0。所以直线 l 的方程是 x55x 7 y17y 10 。解法 2：（到角公式法）xy10x1解方程组y30y所以直线 l1 ,l2 的交点为 A(1,0)3x0设所求直线l 的方程为 yk( x1) ，即 kx y k0, 由题意知，l1 到 l 2 与 l2 到 l 的角相等，则31k3k1. 所以直线 l 的方程是 x7 y10 。13113k7解法

19、3：（取特殊点法）由解法2 知，直线 l1,l 2 的交点为A(1,0) 。在 l1 上取点 P（ 2，1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 Q( x/ , y / ) ，则 3x/2y/1/42/23 0x5117yy/x/235而点 A ， Q 在直线 l 上，由两点式可求直线l 的方程是 x7 y 10 。解法 4：（两点对称法 ）对解法3 ，在 l1 上取点 P（ 2， 1 ），设点 P 关于 l 2的对称点的坐标为Q ( 4 , 7 ) ，在 l1 上55取点 M （ 0 ， 1 ），设点 P 关于 l2 的对称点的坐标为N (12 , 1) 而 N， Q 在直线 l 上

20、，由l 的方程是 x7 y1 0 。55两点式可求直线解法 5：（角平分线法）由解法2 知，直线 l1,l2 的交点为A(1,0) ，设所求直线 l 的方程为：设所求直线l 的方程为 yk( x1) ,即 kxyk0 .由题意知， l2 为 l ,l1 的角平分线，在l 2 上取点 P（ 0 ，-3 ），则点 P 到 l ,l1 的距离相等，由点到直线距离公式，有：| 0 3 1 | | 0 3 k |k1 或k121k 27k1时为直线 l1，故 k1。所以直线 l 的方程是 x7 y1 07解法 6（公式法）给出一个重要定理：曲线（或直线） C : F (x, y) 0 关于直线l : f

21、 (x, y)AxBy C0的对称曲线 C /（或直线 ）的方程为F x2 Af ( x, y), y2Bf ( x, y)0.(1) 。2B2A2B2A证：设 M ( x, y) 是曲线C /上的任意一点 M ( x, y) ，它关于 l 的对称点为M / ( x/, y /)，则M/C于是 F (x /, y / )0.(2) 。M 与 M /关于直线 l 对称，B( xx / )A( yy / )0x/x22A2f (x, y)xx/yy/AB.(3) ,（ 3）代BC0Ay/y2Bf (x, y)22A2B22 A2B入（ 2 ），得 F xf (x, y), yf ( x, y) 0

22、 ，此即为曲线/的A2B2A2B2C方程。解析：定理知， 直线 l1 : F ( x, y)xy 10关于直线 l2 : f ( x, y)3x y30 的对称曲线 l 的方程为：F x23f ( x, y), y2(1)0F x33), y1y 3) 02222 f (x, y)(3x y(3x313155F (439 343439343xy, xy) 0xy5( xy) 1 0555 555555551 x7 y10,即 x 7 y 1 0555所以直线 l 的方程是 x7 y10 。练习：（ 1）求直线 y3x4关于点 A （ 1， 2）对称的直线方程；（ 2）求直线 3x4 y50 关

23、于直线 x=3 对称的直线方程；（ 3）求直线 3x4 y50关于直线2x2 y30 对称的直线方程；例 3 （ 1）已知 A(1,2), B(2,0) ，在直线 yx1上找一点 P，使 | PA |PB|最小，并求最小值；（ 2 ）已知 A(1,2), B(4,2) ，在直线 yx1 上找一点 P，使 | PA | PB | 最大，并求最大值；例 4光线由点A(2 ，3)射到直线xy10反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。练习：1、 光线从 A( 1,2) 射出，被x 轴反射后经过点B （3， 2），求入射光线所在直线方程；2、 光线沿着直线 l 1 : x 2 y 50

24、 射向直线 l 2 : 2x 2 y 70 ，求反射光线所在直线方程。3、 直线 l 关于直线x2 的对称直线方程是3x2 y10 ，求直线 l 的倾斜角；4、 直线 2xy30 和直线 2xy10 关于直线 l 对称，求直线l 的方程；5、一张坐标纸对折后，点A(0 ， 2)与点 B（ 4，0）重叠，若点C(2， 3)与 D（ m， n）重叠，求 m+n；6、求直线 2xy20 关于点 A （ 2，3）对车的直线方程7、 l1 : xy20 与 l2 : 7xy40 关于直线 l 对称，求直线l 的方程；8（选）、入射光线沿直线l1 : 2x y 3 0 射到 x 轴后反射，这时又沿着直线l 2 射到 y轴，由 y 轴再反射沿着直线l 3 射出，求直线 l 3 的方程；9（选）、直线 l : 2x y 1 0 ，直线 m : 3x y 0 ，求直线 m 关于直线 l 的对称直线方程。（