ch3 多元正态分布参数的检验

1、 三、 两总体均值的比较 1针对 n = m 的情形 Z (i = X (i Y(i 令 三、 两总体均值的比较 i = 1,2, ,n 2针对 n m 的情形 在此，我们不妨假设 n < m ，令 1 n Z = Z (i = X Y n i =1 S = (Z (i Z(Z (i Z = ( X(i Y( i X + Y( X(i Y( i X + Y i=1 i=1 n n Z(i = X(i n n 1 1 m Y(i + Y(i m Y(i m n m j =1 j =1 假设 H 0 成立时，构造检验统计量为 i = 1,2, , n 1 n Z = Z (i = X Y n

2、 i =1 F= (n pn ZS -1Z F ( p, n p p 31 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 32 三、 两总体均值的比较 S = (Z(i Z(Z(i Z i=1 n n 1 n = ( X ( i X (Y(i Y( j m n j =1 i =1 四、 多总体均值的检验 在许多实际问题中，我们要研究的总体往往 不止两个。例如，要对全国的工业行业的生产经 营状况做一比较时，一个行业可以看成一个总 体，此时要研究的总体就达几十甚至几百个之多。 这类问题的研究就需要多元方差分析的知识。多 元方差分析是一元方差分析的直接推广，为了易 于理解多元方差分析的

3、方法，我们先回顾一元的 方差分析。 n n 1 n ( X ( i X (Y(i Y( j m n j =1 假设 H 0 成立时，构造检验统计量为 F= (n p n ZS -1Z F ( p, n p p 33 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 34 四、 多总体均值的检验 （一）单因素方差分析的基本思想 设 k 个正态总体分别为 N ( µ1 , ， 2 四、 多总体均值的检验 2 , N ( µ k , ，从 k 个总 这里 SSA = n (X i =1 i k i X 2 称为组间平方和； SSE = ( X (j i X i 2 i

4、=1 j =1 k ni 体取 ni 个独立样本如下： (1 (1 X 1(1 , X 2 , , X n1 ( ( X 1( k , X 2k , , X nkk 称为组内平方和； SST = ( X i =1 j =1 k ni (i j X 称为总平方和。其中 2 Xi = X= 1 ni X j =1 n (i j H 0：µ1 = µ 2 = = µk H1：至少存在i j使µi µ j 假设 H 0 成立时，构造检验统计量为 1 k ni (i X j n i =1 j =1 n = n1 + + nk F= SSA (k 1 F

5、(k 1, n k SSE (n k 35 目录 上页 下页 返回 结束 给定检验水平 ， F 分布表， p F > F = ， 查 使 可确定出临界值 F ， 再用样本值计算出 F 值，若 F > F ，则否定 H 0 ，否则接受 H 0 。 36 目录 上页 下页 返回 结束 四、 多总体均值的检验 （二）多元方差分析法 设有 k 个 p 维正态总体 N p (µ1 , ， 体抽取独立样本个数分别为 n1 , n 2 , 第一个总体： X (1 i 四、 多总体均值的检验 各总体样品的均值向量： (r X1× p = , N p (µ k , ，从

6、每个总 , nk ， n1 + (1 ip + nk = n ，每 此处 1 nr X i =1 nr (r (i ( ( X1r , X (2r , , X (pr ， r = 1, 2, ,k 个样品观测 p 个指标得观测数据如下： X(jr = k = (X , X , (1 i1 (1 i2 , X ， i = 1,2, (2 , X ip ， i = 1,2, ( , X ipk ， i = 1,2, , n1 , n2 1 nr X i =1 nr (r ij 类似一元方差分析办法，将诸平方和变成了离差阵即： 第二个总体： Xi (2 = ( X i(2 , X i(2 , 1 2

7、 (k (k (k 第 k 个总体： Xi = ( X i1 , X i 2 , 全部样品的总均值向量： A = nr ( X( r X( X( r X r =1 k , nk E = ( X(ir X( r ( X(ir X( r T = ( X(ir X( X(ir X r =1 i =1 r =1 i =1 k nr nr X1× p = 1 k nr ( r X(i = (X1 , X2 , n r =1 i =1 ,Xp 37 目录 上页 下页 返回 结束 38 目录 上页 下页 返回 结束 四、 多总体均值的检验 这里，我们称 A 为组间离差阵； E 为组内离差阵； T

8、为总离差阵。 很显然有 T = A + E 。 我们的问题是检验假设 四、 多总体均值的检验 巴 特 莱 特 （ Bartlett ） 提 出 了 用 ( p, n, m ，令 则 V 近 似 服 从 ( pm 2 2 分布来近似。设 H 0：µ1 = µ 2 = = µk H1：至少存在i j使µi µ j V = (n + m ( p + m + 1 2 ln = ln 1/ t 分 布 。 其 中 ， 用似然比原则构成的检验统计量为 E E = = ( p, n k , k 1 T A+E 给定检验水平 ，查 Wilks 分布表，确定临界

9、值，然后作出统计判 断。在这里我们特别要注意，Wilks 分布表可用 分布或 F 分布 来近似。 2 t = n + m ( p + m + 1 2 。 39 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 40 四、 多总体均值的检验 Rao 后来又研究用 F 分布来近似。设 ( p, n, m ，令 §3.3 协方差阵的检验 R= 1 1/ L tL 2 pm 1/ L 则 R 近似服从 F ( pm, tL 2 ，这里 tL 2 不一定为整 数，可用与它最近的整数来作为 F 的自由度，且 min( p, m > 2 。其中， 一、 检验 = 0 二、 t =

10、n + m ( p + m + 1 2 p2 m2 4 L= 2 2 p + m 5 = pm 2 4 41 目录 上页 下页 返回 结束 检验 1 = = r 1/ 2 42 目录 上页 下页 返回 结束 一、 检验 = 0 设 X ( a = ( X a1 , X a 2 , 一、 检验 = 0 , n 来 自 p 维 正 态 总 体 然后，我们考虑检验假设 , X ap (a = 1,2, N p (µ, 的样本， 未知，且 > 0 。 首先，我们考虑检验假设 H 0： = 0 I p 令 则 H1： 0 I p 因为 0 > 0 ，所以存在 D ( D 0 ，使得

11、 D 0 D = I p 。 H 0： = I p 所构造的检验统计量为 H1： I p Y( a = DX ( a a = 1,2, * ,n Y( a N p ( Dµ, DD = N p (µ* , * = exp trS S n 1 2 n/2 e n np / 2 因此，检验 = 0 等价于检验 = I p 此时构造检验统计量为 其中 S = ( X ( a X( X ( a X a=1 = exp trS* S* 1 2 n/2 e n np / 2 43 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 44 一、 检验 = 0 S* = (Y( a

12、 Y(Y( a Y a=1 n 二、 检验 1 = = r 其中 以通常采用 的近似分布。 给定检验水平 ，因为直接由 分布计算临界值 0 很困难，所 在 H 0 成 立 时 ， 2 ln 极 限 分 布 是 2 p ( p +1 / 2 分布。因此当 2 n >> p ，由样本值计算出 值，若 2 ln > 即 < e / 2 ， 2 则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。 上面讨论的检验 = 0 ，是帮助我们分析当前 的波动幅度与过去的波动情形有无显著差异。但在 实际问题中，我们往往面临多个总体，需要了解这 多个总体之间的波动幅度有无明显的差异。例如在 研究职工工资

13、构成时，若按工业行业分组，就有采 掘业、制造业、文化教育、金融保险等，不同行业 间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显 著的差异，就是做行业间协方差阵相等性的检验。 45 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 46 二、 检验 1 = = r , N p (µ k , k ， 二、 构造检验统计量为 k 检验 1 = ni / 2 = r 设有 k 个正态总体分别为 N p (µ1 , 1 ， i > 0 且未知， i = 1, (i ( X (ia = ( X a1 , X ai2 , , k 。从 k 个总体分别取 ni 个样本 (i

14、, X ap k = n np / 2 Si i =1 S n/2 n i =1 k pni / 2 i i = 1, , k ；a = 1, , ni 其中 这里 n i =1 k i = n 为总样本容量。 = k H1：i 不全相等 S = Si i=1 k 我们考虑检验假设 H 0：1 = 2 = i i Si = ( X (a X( i ( X (a X( i ni =1 X = (i 47 目录 上页 下页 返回 结束 1 ni X =1 ni (i (a 48 目录 上页 下页 返回 结束 二、 检验 1 = = r 巴特莱特 Bartlett） （ 建议 ， ni 改为 ni 1 ，