点线面关系知识总结和练习题(有答案)

1、 点线面位置关系总复习 一、直线与平面平行 1.判定方法 （ 1）定义法：直线与平面无公共点。 a （ 2）判定定理： a / / b a / /b / / a / / （ 3）其他方法： a a / / 2.性质定理： a a / /b b 二、平面与平面平行 1.判定方法 （ 1）定义法：两平面无公共点。 a / / b / / （ 2）判定定理： a / / b a b P a / / ; a / / （ 3）其他方法： / / a / / / / 2.性质定理： a a / /b b 三、直线与平面垂直 1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 2

2、）判定方法 用定义 . a b a c 判定定理 : b c A a b c 推论 : a b a / /b （ 3）性质 a a b a a / / b b b 四、平面与平面垂直 （ 1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。 a （ 2）判定定理 a （ 3）性质 性质定理 l a a l l A l P PA 垂足为 A l PA P PA “转化思想” 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 求二面角 1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线 ,它们所成的角就是二面角的平面角 . 2.在二面角 的棱上任取一点 O

3、，在两半平面内分别作射线 OA l，OB l，则 AOB 叫做二面角 的平面角 例 1如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA 底面 ABC，AB BC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC 于 D，交 SC 于 E，又 SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE 和 BDC 为面的二面角的度数。 求线面夹角 定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜 线和平面的夹角） 方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。 例 1：在棱长都为 1 的正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA与底面 ABC所成的角是

4、 _ 例 2：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是 _； BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是 _； CC1 与平面 BC1D 所成的角的大小是 _； BC1 与平面 A1BCD1 所成的角的大小是 _； BD1 与平面 BC1D 所成的角的大小是 _； 例 3：已知空间内一点 O 出发的三条射线 OA、 OB、 OC 两两夹角为 60，试求 OA 与平面 BOC 所成的角的大小 求线线距离说明： 求异面直线距离的方法有： (1) （直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键 (2)（转化法

5、）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线 a 、 b 距离，先作出过 a 且平行于 b 的平面 ，则 b 与 距离就是 a、 b 距离（线面转化法） 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离 （面面 转化法） (3) （体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求 (4) （构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的问题的其他解 法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求 例： 在棱长为 a 的正方体中，求异面

6、直线 BD 和 B1C 之间的距离。 线面平行（包括线面距离） 例：已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA SB SC ， SG 为 SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系，并给予证明 面面平行（包括面面距离） 例 1：已知正方体 ABCD A BC D ，求证 平面 B AD / /平面 BC D 1 1 1 1 1 1 1 例 2：在棱长为 a 的正方体中，求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离 面面垂直 例 1：已知直线 PA 垂直正方形 ABCD所在的平面， A 为垂足。求证：平面

7、 PAC 平面 PBD。 例 2：已知直线 PA 垂直于 O 所在的平面， A 为垂足， AB 为 O 的直径， C 是圆周上异于 A、 B 的一点。求证： 平面 PAC 平面 PBC。 课后作业： 一、选择题 1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线 ( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 2.若 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( A. 若 m? ， ，则 m B. 若 m， n，m n，则 C. 若 m ， m ，则 D. 若 ， ，则 3.(改编题 ) 设 P 是 ABC 所在平面外一点，

8、 P 到 ABC 各顶点的距离相等， 而且 P 到 ABC ) 各边的距离也相 等，那么 ABC( ) A. 是非等腰的直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. 是等边三角形 D. 不是 A 、 B、 C 所述的三角形 4.把等腰直角 ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 BAD C，则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 () 2 3 A. 2 B. 2 C.1 D. 3 5.如图，已知 ABC 为直角三角形，其中 ACB 90， M 为 AB 的中点， PM 垂直于 ACB 所在平面，那么 ( ) A. PAPBPC B.PAPBPC C.PAPBPC D. PAPBPC 二、填空

9、题： 6. 正四棱锥 S ABCD 的底面边长为 2，高为 2，E 是边 BC 的中点，动点 P 在表面上运动，并且 总保持 PE AC，则动点 P 的轨迹的周长为 . 7. 、 是两个不同的平面， m、n 是平面 及 之外的两条不同直线， 给出四个论断： m n； ； n； m . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： . 三、解答题 11.如图 (1) ，等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB AD， ABC 60， E 是 BC 的中点，如图 (2) ，将 ABE 沿 AE 折起，使二面角 B AE C 成直二面角，连接 BC，BD ，F 是 C

10、D 的中点， P 是棱 BC 的中点 . 求证： AE BD； 求证：平面 PEF 平面 AECD ； 判断 DE 能否垂直于平面 ABC ？并说明理由 . 12. 如图，已知 PA 矩形 ABCD 所在平面。 M , N 分别是 AB, PC 的中点。 （）求证： MN 面 PAD 1 （ ）求证： MN CD 2 （ ）若 PDA 45 O 求证： MN 面 PCD 3 , 12.如图所示，已知 BCD 中， BCD 90，BCCD 1，AB平面 BCD， ADB 60，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 AE AF (01). AC AD 3 求证：不论 为何值，总有平面 BEF

11、平面 ABC； 4 当 为何值时，平面 BEF 平面 ACD？ 13.如图，在矩形 ABCD 中， AB 2BC， P、Q 分别为线段 AB、 CD 的中点， EP平面 ABCD . (1) 求证： DP 平面 EPC ； (2) 问在 上是否存在点 F 使平面 平面 ？若存在，求出 FP 的值 . EP AFD BFC AP 参考答案 求二面角 分析 : 找二面角的平面角 ,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线 ,它们所成的角就是二面角的平面角 . 解： 在 Rt SAC 中， SA=1， SC=2， ECA=30 ， 在 Rt DEC 中， DEC=90 ， EDC

12、=60 ， 所求的二面角为 60 。 求线线距离 解法 1：（直接法）如图： 取 BC 的中点 P ，连结 PD 、 PB1分别交 AC 、 BC1于 M 、 N 两点， 易证： DB1 / MN ， DB1 AC ， DB1BC1 MN 1 DB1 3 a MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证： 3 3 小结： 此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大 解法 2：（转化法）如图： AC / 平面 A1C1B ， AC 与 BC1 的距离等于 AC 与平面 A1C1B 的距离， 在 Rt OBO1 中，作斜边上的高 OE ，则 OE 长

13、为所求距离， OB 2 a ， OO1 a ， 2 O1 B 3 a OE OO1 OB3 a 2 ， O1 B 3 小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离 解法 3：（转化法）如图： 平面 ACD1 / 平面 A1C1B ， AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD1 与平面 A1C1B 的距离 DB1平面 ACD1 ，且被平面 ACD1 和平面 A1C1 B 三等分； 1 B1D 3 a 所求距离为 3 3 小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离 解法 4：（构造函数法）如图： 任取点 Q BC1 ，作 QR BC于R点，作 PK AC于K点，设 RC x ， 则 BR QR a x

14、 ， CK KR ，且 KR2 CK 2 CR2 KR2 1 CR2 1 x2 2 2 QK 2 1 x2 (a x)2 则2 3 ( x 2 a) 2 1 a 2 1 a2 2 3 3 3 ， 故 QK 的最小值，即 3 a AC 与 BC1 的距离等于 3 小结： 这种解法是恰当的选择未知量， 构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距 离 解法 5：（体积桥法）如图： 当求 AC 与 BC1 的距离转化为求 AC 与平面 A1C1 B 的距离后，设 C 点到平面 A1 C1 B 的距离为 h ， 则 VC A1C1 B VA1 BCC1 1 h 3 ( 2a) 2

15、 1 a 1 a2 3 4 3 2 ， 3 a 3 h a 3 即 AC 与 BC1 的距离等于 3 小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这 种方法在后面将要学到 线面平行 例： 分析 1：如图，观察图形，即可判定 SG / 平面 DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG与平面 DEF 内的一条直 线平行 观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线 怎样证明 SG / FH ？只需证明 H 是 CG 的中点 证法 1：连结CG交DE 于点 H ， 7. DE 是 ABC 的中位线，

16、DE / AB 在 ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH / AG ， H 为CG的中点 FH 是 SCG 的中位线， FH / SG 又SG 平面DEF ，FH 平面DEF ， SG / 平面 DEF 分析 2：要证明 SG / 平面 DEF ，只需证明平面 SAB / 平面 DEF ，要证明平面 DEF / 平面 SAB ，只需证明 SA/ DF ， SB / EF 而 SA/ DF ， SB / EF 可由题设直接推出 证法 2： EF 为 SBC 的中位线， EF / SB EF 平面 SAB， SB 平面 SAB， EF /平面 SAB 同理： DF / 平面 SAB ， E

17、F DF F ， 平面 SAB / 平面 DEF ，又 SG 平面 SAB ， SG/平面 DEF 面面平行 例一： 证明： ABCD - A1B1C1D1 为正方体， D1A/ C1B ， 又 C1B 平面 C1BD ， 故 D1A / 平面 C1BD 同理 D1B1 / 平面 C1BD 又 D1A D1B1 D1 ， 平面 AB1D1 / 平面 C1BD 例二： 根据正方体的性质，易证： BD / B1D1 A1B / D1C 平面 A1BD / 平面 CB1D1 连结 AC1 ，分别交平面 A1BD 和平面 CB1D1 于 M 和 N 因为 CC1 和 AC1 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线， AC 在平面 ABCD 内， ACBD 由三垂线定理：AC1 BD ，同理： AC1 A1 D AC1平面 A1 BD ，同理可证： AC1 平面 CB1 D1 平面 A1 BD 和平面 CB1 D1 间的距离为线段 MN 长度 如图所示： 在对角面 AC1 中， O1 为 A1C1 的中点， O 为 AC 的中点 AM MN NC1 1 3 AC1 a 3 3 BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1 BD 和 CB1D1 的距离为 面面垂直 例 1： 例 2： AB 是圆 O 的直径 C 是圆周