MATLAB实验编程 (3)

1、第四章 矩阵的方幂和矩阵的特征值当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时,用矩阵乘以向量将得到另一向量,这就是向量的线性变换。当矩阵是方阵时,线性变换可持续进行。即,用矩阵乘以一个向量得一个新的向量,用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一新的向量, ,这种运算的本质是用矩阵的方幂乘以最早的哪一个向量。在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题,它和矩阵的特征值问题有密切关系。对它的研究导致了矩阵对角化方法,这类方法在生物学研究等方面应用广泛。本章介绍的几个实际问题包括动物繁殖的规律问题、商品的市场占有率问题、常染色体遗传特征问题。某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分为三个年龄组:第一组0

2、5岁;第二组610岁;第三组1115岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代,第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头,计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样?根据有关生物学研究结果,对于足够大的时间值k ,有(11(k k X X +1是莱斯利矩阵L 的唯一正特征值。请检验这一结果是否正确,如果正确给出适当的k 的值。如果每五年平均向市场供应动物数c =s s sT,在20年后农

3、场动物不至灭绝的前提下,c 应取多少为好?由题设,在初始时刻05岁、610岁、1115岁的三个年龄段动物数量分别为:0(1x =1000,=1000,=10000(2x 0(3x 以五年为一个年龄段,则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量X=x 1 x 2 x 3T表示。以五年为一个时间段,记X (k = x 1(k x 2(k x 3(k T为第k 个时间段动物数分布向量。当k= 0,1,2,3时,X (k 分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力,在第k 个时间段,第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三年龄组动物在其年龄

4、段平均繁殖3个后代。由此得第一个年龄组在第k +1个时间段的数量如下(3(21(134k k k x x x +=+ 同理,根据第一年龄组和第二年龄组的存活率,可得等式(11(25.0k k x x =+ (21(325.0k k x x =+ 建立数学模型如下=+=+(21(3(11(2(3(21(125.05.034k k k k k k k x x x x x x x (k = 0,1,2,3 (1 或写成矩阵形式=+k k k k k k x x x x x x (k = 0,1,2,3 (2 由此得向量X (k 和X (k+1的递推关系式X (k +1 = LX (k (3其中,矩阵

5、L 称为莱斯利矩阵。由式(3可得X (k +1 = L k+1X (0为了计算5年后、十年后、十五年后农场中动物的数量,输入初始数据和莱斯利矩阵在MATLAB 中键入下面命令x0=1000;1000;1000; A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; x1=A*x0 x2=A*x1 x3=A*x2 x4=A*x3可得数据结果x1 = 7000 500 250 x2 = 2750 3500 125 x3 = 14375 1375 875 x4 = 1.0e+003 *(x4的数据结果中,1.0e+003是科学计数法。表示用103乘后面的每一个数 为了计算莱斯利矩阵的特征值,键入下面命令

6、eig(A得数据ans =这说明矩阵A 的唯一正特征值为为了验证(11(k k X X +运行下面程序x=1000;1000;1000;d1=1.5; A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; y=A*x; y1=d1*x; k=1;while max(abs(y-y1>.1 x=y; y=A*x; y1=d1*x; k=k+1; end可知,当K=291时,有结论成立。 (11(k k X X+三. 问题解答与进一步思考根据数学模型计算将数据结果填写如下k (现在k=1 (五年后 k=2(十年后k=3(十五年后k=4(20年后x 11000 7000 2750 14375 81

7、25 x 21000 500 3500 1375 7187.5 x 31000 250125875从表中数据变化,如果没有其它的原因,估计农场的动物总数量会逐步增加。 在验证生物学研究的结论时,当k=291可以得到如下结论(11(k k X X+x = 1.0e+054 *3.3121 1.1040 0.1840 这说明多年以后,动物数量是大得非常惊人的。如果每个五年平均向市场供应动物c =s s sT,分析动物数分布向量变化规律可知X (1 = AX (0 c X (2 = AX (1 c X (3 = AX (2 c X (4 = AX (3 c所以有X (4 = A 4X (0 ( A

8、3 + A 2 + A + I c考虑二十年后动物不灭绝,应有X (4 > 0即( A 3 + A 2 + A + I c < A 4X (0由于c 是常数向量,故可简单求解不等式组,可取c= 152 152 152 T这说明当五年平均向市场供应三个年龄段的动物各152头可以使20年后有各年龄段的动物生存。如果将这一限制作为约束条件,而求c 的各分量之和最大,这将是一个线性规划问题,可用单纯形法求解(或利用数学软件见第七章。1.某一种甲虫最多可活两年。且其年龄群体分配数的矩阵如下:=03/10002/1600A如果有600只在第一年龄群体,300只在第二年龄群体,100只在第三年龄

9、群体,则年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变,从数学上给以解释。2.假设某一个城市的气候不是下雨就是干旱。根据以前所保留下来的记录可知,干旱天之后下雨天为的可能性为1/3,而下雨天之后为下雨天的可能性为1/2。试建立数学模型分析气候变化情况。3.某实验性生产线每年一月份进行熟练工人的人数统计;然后将其1/6的熟练工人支援其他生产部门,缺额由招收非熟练工人补齐。新、老非熟练工人经过培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工人。设第n 年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比分别为x n 和y n记为向量 x n ,y n T(1 试推导向量x n ,y n T 和x n+1,y n+1T 的

10、关系,并写成矩阵形式; (2 当x 1,y 1T =0.5,0.5T 时,求第10年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比。有两家公司R 和S 经营同类的产品,它们相互竞争。每年R 公司保有1/4的顾客,而3/4转移向S 公司;每年S 公司保有2/3的顾客,而1/3转移向R 公司。当产品开始制造时R 公司占有3/5的市场分额,而S 公司占有2/5的市场分额。问两年后,两家公司所占的市场分额变化怎样,五年以后会怎样?十年以后如何?是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变?一、 问题分析和数学模型根据两家公司每年顾客转移的数据资料,形成以下转移矩阵=32433141A

11、根据产品制造之初,市场的初始分配数据可得如下向量=52530X所以一年后,市场分配为=52533243314101AX X 两年后,市场分配为0212X A AX X =以向量X n 记第n 年后市场分配的分额,则01X A AX X n n n = (n = 1,2,设有数据a 和b 作为R 公司和S 公司的初始市场分额,则有a +b = 1为了使以后每年的市场分配不变,根据顾客数量转移的规律,有=b a b a 32433141 即031433143=b a 这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始分额。二、程序和计算结果为了知道两年、五年

12、、十年后市场分配的情况,在MATLAB 中键入下面命令A=1/4 1/3;3/4 2/3 x0=3/5;2/5 x2=A2*x0 x5=A5*x0 x10=A10*x0可得数据结果由此得下表表4-2R 公司的市场分额 S 公司的市场分额两年后31% 69% 五年后31% 69% 十年后31% 69% 为了求a 和b 作为R 公司和S 公司稳定的初始市场分额,需要求解齐次方程组。键入下面命令format rat rref(A-eye(2 得数据结果 ans =1 -4/90 0由此得化简后的方程a 4/9b = 0结合约束条件a +b = 1得a= 4/1331% b= 9/1369%这是使市场

13、稳定的两家公司的初始分额,也正好与表4-1中的数据相吻合。三、 问题的解答和进一步思考在R 公司和S 公司的市场初始分额分别为60%和40%的情况下,根据计算结果,两年后情况变化较大:S 公司大约占31%,R 公司大约占69%。而五年以后与两年以后比较变化不大:S 公司大约占30.8%,R 公司大约占69.2%。十年后的情况与五年后的情况比较大约不变。市场已经趋于稳定。是否所有市场初始分配分额,在经过若干年后均会趋于稳定状态。习题 4.2 1. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分店。据统 计每年 “肯德基” 保有其上一年老顾客的 1/3， 而另外的 2/3 顾

14、客转移到 “麦当劳” 每年 ； “麦 当劳” 保有其上一年的老顾客的 1/2， 而另外的 1/2 顾客转移到 “肯德基” 用二维向量X k =xk 。 T yk 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为 X0 = 1/3 2/3T 如果有矩阵L 存在，使得 Xk+1 = LXk，则称 L 为状态转移矩阵。 T T (1写出Xk=xk yk 和Xk+1=xk+1 yk+1 的递推关系式，以及状态转移矩阵L。 (2根据递推关系计算近几年的市场分配情况； (3求可逆矩阵P和对角矩阵使得L=PP P 1 。对于足够大的时间值k，有 X k +1 1 X k （ 1 是状态转移矩阵L的唯一正特征值

15、） 。请检验这一结果是否正确，并给出适当的k的值 2某厂生产 A，B 两种品牌的味精，顾客的喜好决定了这两种味精的市场占有率。在生产 中可根据占有率调整比例，获得最佳收益。该厂做市场调查后发现，一般情况下，顾客若购 买 A 牌，下次有 80%的可能性购买 A 牌；若购买了 B 牌，下次有 60%的可能性购买 B 牌。 开始时，两种品牌的市场占有率分别为 50%，顾客每一次的购买必将改变二者市场占有率。 （1） 预测某一个顾客经过前四次购买之后，他可能第五次购买哪一个品牌的味精。 （2） 预测 100 个顾客经过前四次购买之后，两种品牌的可能市场占有率各为多少？ §4.3 常染色体遗传

16、问题 假定所考虑的遗传特性由两个基因 A 和 a 来支配，人类的眼睛染色体是通过常染色体 遗传来控制，例如 AA 及 Aa 型产生棕色眼睛，aa 型的是兰色眼睛。在常染色体遗传中，一 个个体从它的亲本的每一基因对中遗传一个基因，以形成它自己特殊的基因对：AA，Aa， aa。亲本的两个基因中的哪一个传给后代纯属机会问题，如果一个亲本是 Aa 型，后代从这 个亲本遗传获得 A 基因或 a 基因的机会是等可能的。例如，一个亲本是 aa 型，另一个亲本 是 Aa 型，后代总是从 aa 亲本接受一个 a 基因，再从 Aa 亲本以等概率或是接受一个 A 基因 或是接受一个 a 基因，结果后代为 aa 型或

17、者 Aa 型的概率是相同的。对于各种亲本基因型， 后代的可能基因型的概率可列表如下 表 4.3 亲本 AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa 后代 AA Aa aa 1 0 0 1/2 1/2 0 0 1 0 1/4 1/2 1/4 0 1/2 1/2 0 0 1 例 假定一个农民有一大片作物，它由三种可能基因型 AA，Aa 及 aa 的某种分布所组 成。农民要采用的育种方案是：作物总体中的每种作物都总是用基因型 AA 的作物来授粉， 我们要导出在任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式。 解 记a n (n = 0，1，2，为在第n代中AA基因型作物所占的

18、分数，bn为在第n代中 Aa基因型作物所占的分数，cn为在第n代中aa基因型作物所占的分数。a0，b0，c0表示基因型 的原始分布，且 a0 + b0 + c0 = 1 由于用基因型 AA 的作物来授粉，分析基因表（前三列数据）可知，从上一代的基因型 分布产生的下一代的基因型分布可用下列递推公式求出： 43 1 a n = a n 1 + 2 bn 1 1 bn = c n 1 + bn 1 2 cn = 0 其中，第一式表明，基因型 AA 的所有后代都是 AA 型基因，基因型 Aa 的后代，有一半是 AA 型。这一递推公式的矩阵表示为 X(n = MX(n - 1 其中 ( n = 1，2，

19、 X 由递推公式可得 ( n 1 1 / 2 0 a n a n 1 bn ， X ( n 1 = bn 1 ， M = 0 1 / 2 1 = c c 0 0 0 n n 1 X(n = MX(n - 1 = M 2X(n - 2 = = M nX(0 计算上式有两种方法，即直接计算和将矩阵对角化的计算方法。对角化方法需要将矩阵 M 对角化，需要找出一个可逆矩阵 P 和一个对角阵 D，使 M = PDP 1 于是 M n = PD nP 1， (n = 1，2， P 其中 d 1n Dn = 0 0 角化。在MATLAB环境中输入命令 M=1 1/2 0；0 1/2 1；0 0 0； p d

20、=eig(M 得数据结果 p= 1 -985/1393 881/2158 0 985/1393 -881/1079 0 0 881/2158 d= 1 0 0 0 1/2 0 0 0 0 这表明，M 的三个特征值为 0 n d2 0 0 0 d 3n d1，d2，d3，是M的特征值。所以，只需求得M的特征值和对应的特征向量，就可使M对 d1 = 1，d2 = 1/2，d3 = 0 因为特征向量乘一非零数仍是特征向量，所以可取三个特征值对应的特征向量分别为 44 1 1 1 p1 = 0 ， p 2 = 1 ， p3 2 0 0 1 于是 1 0 0 D = 0 1 / 2 0 0 0 0 可逆

21、矩阵 1 1 1 0 1 2 P= 0 0 1 为了求逆矩阵，使用命令 P=1 1 1；0 -1 -2；0 inv(P 可得数据结果 ans = 1 1 0 -1 0 0 所以 0 1； 1 -2 1 P 由前面递推公式，得 1 1 1 1 0 1 2 = 0 0 1 X(n = PD nP 1X(0 P 而 PD n P 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 (1 / 2 n 0 0 1 2 = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n 1 1 1 (1 / 2 1 (1 / 2 (1 / 2 n (1 / 2 n 1 = 0 0 0 0 1 1 (1 / 2 n 1 (

22、1 / 2 n 1 (1 / 2 n (1 / 2 n 1 X ( 0 = 0 0 0 0 故 X (n 所以 45 n n 1 a n 1 1 (1 / 2 1 (1 / 2 a 0 bn = 0 (1 / 2 n (1 / 2 n 1 b0 c c 0 n 0 0 0 a 0 + b0 + c0 (1 / 2 n b0 (1 / 2 n 1 c0 = (1 / 2 n b0 + (1 / 2 n 1 c0 0 这是原始基因型分数表示第 n 代作物总体中三种基因型分数。显然，当 n时，有 an(a0 + b0 + c0=1，bn0，cn0 这说明在极限情况下，总体中所有作物都将是基因型 AA 的。 习题 4.3 1 假设一片作物是由 AA，Aa，及 aa 基因型的某种分布组成，且作物总体中每种作物不是 全部都用基因型 AA 授粉，而是用每种作物自身的基因型来授粉。求任何一个后代总体 中三种可能基因型的分布表达式。 2足球比赛排名问题： 下表给出了我国 8 支