圆锥曲线大题专题训练答案和题目

1、圆锥曲线大题专题训练1.如图，曲线G的方程为y2=2x(y>0).以原点为圆心.以t(t >0)为半径的圆分别 与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B .直线AB与x轴相交于点C .(I )求点A的横坐标a与点C的横坐标 c的关系式(II)设曲线G上点D的横坐标为a +2 , 求证：直线CD的斜率为定值.1 .解：(I )由题意知，A(a,后).因为OA =t ,所以a 所以4 = -&,片=16, x° = ±4 .所求切线方程为y=±2x-4. +2a =t2 ,由于t >0 ,由点B(0, t), C(c,0)的坐标知，直线BC的方

2、程为3+2=i.c t又因点A在直线BC上，故有3+叵=1，将(1)代入上式，得J2a =1 ,c tc . a(a 2)解彳3c=a+2 + j2(a+2).(H)因为D(a+2,J2(a +2),所以直线CD的斜率为2a-2)2(a 2). 2(a 2)kCD =+= j，= -1 .a 2-c a 2-(a 2 ,.2(a 2)-、2(a 2)所以直线CD的斜率为定值.2 .设F是抛物线G :x2 =4y的焦点.(I)过点P(0,-4)作抛物线G的切线，求切线方程；(II )设A, B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FALFB=0,延长AF , BF分别交抛 物线G于点C, D,求四边

3、形ABCD面积的最小值.22.解：(I)设切点Q刈,通.由y'=Z,知抛物线在Q点处的切线斜率为血，故所求切线 <4 ；2222方程为y-x=xL(x-X0) .即y = x-因为点P(0,-4)在切线上.(II )设 A(x1,y1 ) ,C (x2,y2 ) .4224由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k >0 .因直线AC过焦点F (01),所以直线AC的方程为y = kx+1.点A, C的坐标满足方程组y2=kx+1，得x2_4kx-4=0, x =4y,由根与系数的关系知xi+x2=4k' x1x2 - -4.AC = J(x -x2)2 +

4、(y1 y2)2 = Ji +k2 J(x1 +x2)2 4x1x2 = 4(1 + k2).1一、一一 .1因为AC _L BD ,所以BD的斜率为，从而BD的方程为y = - x + 1 . kk同理可求得BD =4f1 +n=41Wl .1 I l 力k2SABCD= -|ac|bd =8(1 k2)2k221= 8(k +2+)> 32 .k2当k=1时，等号成立.所以，四边形 ABCD面积的最小值为32.3 .如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ,短半轴长为r ,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积

5、 为S .(I)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(II )求面积S的最大值.3.解：(I)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标O -xy (如图)，则点C的横坐标为x.22点C的纵坐标y满足方程与+匕=1(y > 0),r 4r解彳y y = 2 r2 -x2(0 :二 x :二 r)= 2(x + r)Wr2 x2 ,其定义域为x0<x<r.(II )记 f (x) = 4(x +r)2(r2 -x2),0 < x < r , 则 f (x) =8(x +r)2(r -2x).1令 f (x) = 0 ,得 x = r .2当 0cx<r

6、 时，f '(x) >0;当 r<x<r 时，f '(x) < 0 ,所以 f " r |是 f (x)的最大值.2221 .因此，当x=-r时，S也取得最大值，最大值为2即梯形面积S的最大值为3叵r2.24.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M (2,0),所在直线的方程为 x3y 6=0点T(1,1)在AD边直线上.(I)求AD边所在直线的方程；(II )求矩形ABCD外接圆的方程；(III )若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD外接圆外切，求动圆P的圆心轨迹方程.4.解：(I)因为AB边所在直线的方程为x3y-6 = 0,且A

7、D与AB垂直，所以直线 AD的斜率为-3 .又因为点T(-1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y -1 = -3(x + 1) .即 3x+y 史 0 .(II)由!x3y6=a解得点a的坐标为。-2), 3x y 2 = 0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M (2,0).所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又 AM = J(2-0)2 +(0+2)2 =2亚.故矩形 ABCD 外接圆方程为(x-2)2+y2 = 8.(III )因为动圆P过点N ,所以|PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以 PM | = PN| +2/2，即 PM PN| =2丘.故点P的轨迹是以M,

8、N为焦点，实轴长为2e的双曲线的左支.因为实半轴长a = 72,半焦距c = 2.所以虚半轴长b=&2a2 =72.22_从而动圆P的圆心的轨迹方程为 工-±=1(x0 -亚).225.已知函数y=kx与y=x2+2(x )0)的图象相交于 A(xb y1)，B(x2, y?), 1i, L分别是y =x2+2(x) 0)的图象在A, B两点的切线，M, N分别是l，I2与x轴的交点.(I)求k的取值范围；(II )设t为点M的横坐标，当为x2时，写出t以足为自变量的函数式，并求其定义域和值域；(III )试比较OM与ON的大小，并说明理由(。是坐标原点).5.解：(I)由方

9、程kx'消 y得 x2-kx+2 = 0 .y =x(2)求MAgMB的最小值.6.解：(I)设点 P(x, y),则 Q(-1, y),由 QPQ? = FPJFQ 得: (x+1,0)U2,y) =(x1, y)U2, y),化简得 C:y2=4x. 2依题意，该方程有两个正实根，故仆=-8"，解得女>20.x1 x2 = k 0,(II )由(x)=2x,求得切线 11 的方程为 y = 2x1(x-x1) + y1 ,由y1 =x12+2,并令y=0,得t=S工2 x1、一一， k k - k2 -84x1, x2是方程的两实根，且x1<x2,故x1=-8

10、=一二,k>272 ,2 k ,k2.8x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0,J2) .t是关于x1的增函数，定义域为(0,、,所以值域为a 0),(III )当 x1 <x2 时，由(II )可知 OM = t =上+工.2 x1日x2 1x1 +*2 x1 +*2类似可得 ON = - -. OM - ON =-+.2 x22x1x2由可知xx2 =2 .从而OM -ON =0 .当x：2<x1时，有相同的结果 OM -ON =0.所以OM = ON 6.如图，已知F(1,0),直线1:x = -1, P为平面上的动点，过点P作1的垂线，垂足为点Q,且 QPQF

11、 -FP.FQ .(I )求动点P的轨迹C的方程；(n)过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线1于点M .(1)已知 MA = 1AF,MB =%BF ,求A +% 的值;设 A(xi, y1)，B%, y),又 M 1 -%- i, m联立方程组y2=4x',消去x得:22y 4my4=0, A=(4m) +12 >0,2V1 +=犷1 ， m2V2 += -%丫2,整理得: myy2m -4解法二：（I）由QPQF=FPJFQ得：fql（pq+pF）=o二(PQ -PF)L(PQ +PF) =0 ,2-PF =0,a |PQ' ='PF'.所以点P

12、的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为:(n) (1)由已知 MA = %AF,MB =%BF ,得<0 .JMBi；AF过点A, B分别作准线l的垂线，垂足分别为A, Bi,则有:MB由得:一纥一师 商 IbfI t2 'bfAFBF2=0.(H) (1)设直线AB的方程为：x = my+1(m=0).（n） （2）解：由解法一, 2m2) I yi - yM IIV2 - Vm= 4(2+m2 +2)> 4'2 +2Jm2m当且仅当m2 =-12, 即m=±1时等号成立，所以MAMB，最小值为16.7.在平面直角坐标系xOy,已知圆心在第二象限、半径

13、为2点 的圆C与直线y=x相切于坐22标原点O .椭圆0+上=1与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. a 9(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.7.解：(1)圆 C： (x+2)2+(y 2)2 =8 ；22(2)由条件可知a=5,椭圆±+L=i,.F (4, 0),若存在，则F在OQ勺中垂线上，又 O 25 9Q在圆C上，所以Q Q关于直线CF对称；y =3直线CF的方程为y-1=(x1)，即x+3y-4=0,设Q (x,y),则W 32x .23y-4

14、=024x =,解得 512y1所以存在，Q的坐标为然)。28.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,四且斜率为k的直线l与椭圆上 + y2 = 1有两个不 2同的交点P和Q.(I)求k的取值范围；(II )设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A, B,是否存在常数k ,使得向量OP+OQ与AB共线如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.8.解：(I)由已知条件，直线l的方程为丫=收十拒，代入椭圆方程得2+(kx +石)2=1. 整理得r+k2 |x2+2亚kx+1=022直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于A =8k2 -4 U + k2 =4k2 - 2 A 0 , 2解彳#

15、k<-=或kA上.即k的取值范围为 q,- IU =,十8 .22I 2 - 21(R)坟 P(x1，Yi), Q(x2, y2),则 OP+OQ =(4+x2, %+y2),由方程，=右又 y1 + y2 = k(x1 +x2) + 242 .而 A诉0) B(0,1),AB=(S；1).所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-V2(y1+y2), 将代入上式，解得k4由(I)知k父Y!或k金,故没有符合题意的常数k. 229.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2 -12x+32 = 0的圆心为Q ,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A, B .(I )求

16、k的取值范围；(II)是否存在常数k ,使得向量OA+OB与PQ共线如果存在，求k值；如果不存在，请说 明理由.9.解：(I)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0),过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y =kx+2 .代入圆方程得x2+(kx + 2)2-12x+32 = 0 ,整理得(1 +k2)x2 +4(k -3)x+36 =0 .直线与圆交于两个不同的点 A, B等价于2222 =4(k -3) -4M36(1 + k ) =4 (8k -6k) >0 ,33解得-3<k<0,即k的取值范围为1-3,0 I 4. 4(H)设 A(x1，y1)，

17、B(x2, y2),则 OA+ OB = (x1+x2,必 + y2),由方程为+乂2=-"(? 又 y + y2 = k(x+x2)+4 .1 k一而 P(0,2) Q(6,0) PQ =(6, 2).所以OA+OB与PQ共线等价于(x1 +x2)=6(y1 +y2),将代入上式，解得k = -3.4由(I )知k w 3,0 j,故没有符合题意的常数k .410.在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0, p)作直线与抛物线x2=2py (p>0)相交于A, B两点.(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求4ANB面积的最小值；(II )是否存在垂直于y轴的直线l ,使得

18、l被以AC为直径的圆截得的弦长包为定值若存在,求出l的方程；若不存在，说明理由.10.解法1:(1)依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(xi, yi), B(x2, y2),直线AB的方程为y = kx + p,与x2= 2py联立得(x =2py'消去y得y = kx p.22 一x -2pkx -2 p = 0 .由韦达定理得 x1+x2=2pk, XiX2=-2p2.于是Sz ABN = & BCN ' Sa ACN1 _ =2 2p x1 -x2 .二 p“p2k2 +8p2 =2p2Jk2 +2 ,Tk=0 时， ABN)min =2V2p2.N(n

19、)假设满足条件的直线l存在，其方程为y = a ,AC的中点为O', l与AC为直径的圆相交于点P, Q,则OH _LPQ, Q'点的坐标为次21_. O P = - AC =2OH =a"PQ的中点为H ,2 x2 (y1 - p)21= 2|2a-y1 -p ,p ,、二|a 2 M +a(pa),2PQ=(2 PH )2 =4j|fa-pp jyi +a(p-a)j.令a-K=0,得2=卫，止匕时PQ =p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=p, 2212即抛物线的通径所在的直线.解法2: (I)前同解法1,再由弦长公式得= 2pjl +k2- Jk2

20、+2 ,又由点到直线的距离公式得d=r2P/.,1k2从而 S/ABN =-d, AB =-2pjl +k' Jk2 +2。r2P - _2p2Jk2 +222J+k2当 k=0 时,(SA ABN)min =2 应P2.(H )假设满足条件的直线l存在，其方程为y = a ,则以AC为直径的圆的 方程为 (x 0)(x Xi) (y p)( y -yi) =0 , 将直线方程y = a代入得x2 -xix + (a - p)(a y)=0 , 贝J = Xi2_4(a_p)(a_yi)=4Ka_；P jy +a(p a)【.设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x& ya),

21、 Q(x4, y4),则有PQ=xa -x4yi a(p - a) =2. a -与 yi +a(p-a). 2y=f，令a-f =0,得2=f，此时PQ =p*S®,故满足条件的直线l存在，具方程为即抛物线的通径所在的直线.ii .已知双曲线x2 - y2 =2的左、右焦点分别为Fi , F2，过点F2的动直线与双曲线相交于 A, B两点.-' T ' - ，八、巾(I)若动点M潴足FM =F1A + F1B+FO (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹万程；(II )在x轴上是否存在定点C,使CACB为常数若存在，求出点C的坐标；若不存在, 请说明理由.11.解：由条

22、件知 1(2,0), F2(2,0),设 A(x, yj , B(x2, y2).解法一：(I)设 M(x, y),则 则 FM'=(x+2, y) , FiA=(k+2, y), FB = (x2+2, y2),FO = (2,0),由京=F + FB+FO得x + 2 = x1 +x2 +6, 广广 x +x2 = x-4,1即1y二yi y2y1 »二、于是AB的中点坐标为号，9y当AB不与x轴垂直时，y_2 = _2_ = 上，即yi-y2='(xi-x2) .x - x? x _ 4 q x _ 8x _ 8一 22又因为a, B两点在双曲线上，所以xi2

23、-yi2 = 2 , x2 - y2 = 2 ,两式相减得 (xi -x2)(xi +x2) =(yi - y2)(yi + yz),即(x x2)(x4) =(yi fZ 将 -y2 =y(%-x2)代入上式，化简得(x-6)2-y2=4. x -8当AB与x轴垂直时，xi =x2 = 2 ,求得M (8,0),也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是(x-6)2 -y2 = 4 .(II )假设在x轴上存在定点C(m,0),使CAlEB为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y = k(x-2)(k#±i).24k 2xix2 =-2,k2 -1代入 x2 -y2 =2 有

24、(1-k2)x2 +4k2x-(4k2 +2)=0 .4k2则xi, x2是上述方程的两个实根，所以xi+x2=", k2 -1于是 cACB = (x -m)(x2 -m) k2(xi -2)(x2 -2)22(1 -2m)k2 224 -4m2=- m2 =2(1 -2m)m2k2 -1k2 -1因为CA5B是与k无关的常数，所以4-4m = 0,即m = i,止匕时CA£B = -1当AB与x轴垂直时，点A, B的坐标可分别设为(2,72) , (2,-五)，止匕时CACB =(1,向11,扬=1 .故在x轴上存在定点c（i,o）,使CAJCB为常数.解法二：（I）同

25、解法一的（I）有!x1+x2=x-4，yi y2 = y当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y=k（x2）（k#±1）.代入 x2 -y2 =2 有(1-k2)x2 +4k2x-(4k2 +2)=0 .则X, x2是上述方程的两个实根，所以4k2x1 x2 - 2k -1y1y2 = k(x) x2 - 4) = k4k -14kk2 -1由得xd爸4ky = -2k -1当k#0时，y#0,由得,x -4二k , y将其代入有y 二(x-4)2y4y(x -4).整理得(x 6)2 y2 = 4 .当k = 0时，点M的坐标为（4,0）,满足上述方程.当AB与x轴垂直时，为=

26、x2 = 2 ,求得M （8,0）,也满足上述方程.故点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4.（II ）假设在x轴上存在止点点C（m,0）,使CA|JCB为常数，22 _4k24k2 2当AB不与x轴垂直时，由（I）有 x1 + x2 = -1 , x1x2 =-2.kk -1以下同解法一的（II ） .12.已知双曲线x2 -y2 =2的右焦点为F ,过点F的动直线与双曲线相交于 A, B两点，点C的坐标是（1,0）.（D证明CA CB为常数;（II ）若动点M满足CM =CA+CB+CO （其中。为坐标原点），求点M的轨迹方程.12.解：由条件知 F(2Q),设 A(x, yj, B(x2

27、,加).(I)当AB与x轴垂直时，可设点A, B的坐标分别为(2,应)，(2,_垃), 此时 cACB=(i,#)i,0 =-i -当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y=k(x2)(k#±1).代入 x2 -y2 =2 ,有(1 -k2)x2 +4k2x -(4k2 +2) = 0 .则xi, x2是上述方程的两个实根，所以4k24k2 2x1 + x2 = 7-27，Xx2 = -2-，k -1k -1于是 CACB =(x-1)(x2-1)y1y2=(x1-1)(x2-1)k2(%-2)(x2-2)(k2 1)(4k2 2) 4k2(2k2 1)k2 -1k2 -12.2

28、2+ 4k +1=(_4k -2) +4k +1 = 1.综上所述，CAjCB为常数1 .(II )解法一：设 M(x, y),则CM =(x1, y) , CA = (x1 -1, y1),= CA+CB+CO 得:CB=(x21, y2) , CO =(1,0),由 CMx -1 = x1 x2 -3y = yiy2，即 x1 一2,y y2 = y当AB不与x轴垂直时，血之x1 - x2一J 七即 y1y2=人(x1-x2). - 2于是AB的中点坐标为；王；工，12又因为A, B两点在双曲线上，所以x2-y；=2, x；-y；=2,两式相减得 (x -x2)(x +x?) =(y1 一

29、y2)(y1 + y2),即(x1 一x2)(x+2)=(y1 一y2)y .将y1-y2 =J(x1-x2)代入上式，化简得x2-y2=4.x -2当AB与x轴垂直时，x1 =x2 =2 ,求得M (2,0),也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是x2 - y2 = 4 .解法二：同解法一得x1 x2 =x 2, y y2 = y当AB不与x轴垂直时，由(I)有x1+x24k2k2 -1V1 y2 = k(xl x2 4); k4k2-4k-1)4kk2 -1由得x-2;£4ky = -2k -1当k#0时，y#0,由得,9=k ,将其代入有 y4.y 二y-(x 2)2 121y4

30、y(x：2)2 .整理得 x2-y2=4 . (x 2)2 -y2当k = 0时，点M的坐标为(-2,0),满足上述方程.当AB与x轴垂直时，为=x2 =2 ,求得M (2,0),也满足上述方程.故点M的轨迹方程是x2 -y2 =4 .13.设动点P到点A(-1设和B(1,0)的距离分别为d1和d2,2 ./APB=28,且存在常数九(0九1),使得d1d2sin日=九.(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M, N两点，试确 范围，使Omton =0,其中点O为坐标原点.定九的13.解法一：(1)在 4PAB 中,AB=2,即 22 =d；+

31、d； -2d1d2cos2日，4 =(d1 -dz)2 +4d1d2sin2 日,即 d -d2 = J4-4d1d2 sin2 8=241-不 <2 (常数)，故点P的轨迹C是以A, B为焦点，实轴长2a=2而丁的双曲线.22方程为：七-r1(2)设 M (x, y1) , N(x2, 72)因为OMLON=0,且M, N在双曲线右支上，所以xx2yy2« x1 + x2 >0x1x2 >0，(1-)12 1 -1k2 (1-) - -1 1 - 2-10当MN垂直于x轴时，MN的方程为x = 1, M(1,1), N(1,1)在双曲线上.1=1= £2

32、+1=0=九=二1£工5,因为0九1,所以九=巫二1当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y = k(x1).2y_1人 得：九 _(1九)k2 lx2 十 2(1九)k2x(1九)(k2 十九)= 0,y =k(x -1)R_(1九)k200 ,一 22-2k (1 - )-(1- )(k-)7；2 ， x1x2 二-1.1.2- -(1 - )k -(1 - )k-(1 -；)k2于是：y1y2 =k2(x1 -1)(x2 -1)由知,14.已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是 OAB的内接圆(点C为圆心)(I)求圆C的方程；(II )设

33、圆M的方程为(x -4 -7cos8)2 + (y -7sin储2 =1 ,过圆M上任意一点P分别作圆C 的两条切线PE, PF ,切点为E, F ,求CEF的最大值和最小值.y214. (I)解法一：设A, B两点坐标分别为+ (% y2)2 解彳3y122,-=y2 =12,所以 A(6,273), B(6,_2G)或 A(6,2#)，8(6,20).2一 .、一 .设圆心C的坐标为(r,0),则r =2父6=4,所以圆C的方程为 3(x4)2+y2 =16 . 4 分解法二：设A, B两点坐标分别为(x1, y1) , (x2, y2),由题设知Xi2 +y；= x2十 y2.又因为yi

34、2=2x1,yf=2x2,可得x；+2x= x2+2x2.即(x1 -x2)(x1 +x2 +2) =0 .由xi A0 , x2 >0 ,可知xi =x2 ,故A, B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为（rQ）,则A点坐标为-r,3r ,于是有1 /| =2-r ,解得r = 4 ,所I2 2 J I2 J 2以圆C的方程为（x 4）2 + y2 =16 . 4分（II ）解：设 NECF =2a ,则cEcF CE |JcF |_cos2a =16cos2a =32cos2a -16 . 8 分在RtzXPCE中，cosa =-4- 由圆的几何性质得 |PC| |P

35、C| PC 向 MC | +1 =7 +1=8, | PC 问 MC |-1=7-1 =6 ,1 216所以 1 < cosa < ,由此可得 T < CECF < -一 .2 39则CEEF的最大值为-16,最小值为-8.92215.已知椭圆+L=1的左、右焦点分别为E, F2.过巳的直线交椭圆于B, D两点，过F232的直线交椭圆于A, C两点，且AC _L BD ,垂足为P .2 2（I ）设P点的坐标为（x0, y0）证明：色 +也<1 ；3 2（H）求四边形ABCD的面积的最小值.15 .证明：（I）椭圆的半焦距c = T3=？ = 1,由ACLBD知点

36、P在以线段F1F2为直径的圆上，故x2+y；=1,22224所以，红十近W迎+近=工1.32222(H) (i)当BD的斜率k存在且k=0时，BD的方程为y = k(x+1),代入椭圆方程22=1 ,并化简得(3k2 +2)x2 +6k2x+3k2 -6 = 0 .323k2 -6x1 x2 =23k2 2设 B(xi, y), D(x2, yz),则6kX x2 二-z3k2 2BD二.1 k2 |_xi -X2I = J(1 k2) |(x2 - x2)2 -4x1x2 -二43(k2 1).-23k 21因为AC与BC相父于点P ,且AC的斜率为-,k所以,4.31 12 1AC :13

37、2 2k24、3(k2 1)_2-2k 3四边形ABCD的面积1,s =&|_bd|ac =_2224(k1)-22(k 1)22(3k +2)(2k +3)(3k2+2)+(2k2+3)1!21962 =25当k2=1时，上式取等号.(ii)当BD的斜率k =0或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积S = 4.96综上，四边形ABCD的面积的最小值为96.2516 .在直角坐标系xOy中，以。为圆心的圆与直线x-V3y =4相切.(1)求圆。的方程；PAjPb 的(2)圆。与x轴相交于A, B两点，圆内的动点P使PA, PO , PB成等比数列，求 取值范围.16.解：(1)依题设，

38、圆O的半径r等于原点。至IJ直线xJ3y =4的距离,得圆。的方程为x2+y2 =4.4即 r = ,= 2 .13(2)不妨设 A(X1,0)B(x2,0) x1<x2.由 x2=4 即得A(2,0), B(2,0).设P(x, y),由|PA,PO,PB成等比数列，得J(x+2)2 + y2/(x_2)2 + y2 = x2 + y2,即 x2 y2 = 2 .- 22.由于点P在圆。内，故y2 < ' 由此得y2<1.x -y =2.所以PAPB的取值范围为1。).17.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3, 最小值为1.

39、(I )求椭圆C的标准方程；(II)若直线l : y =kx+m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.17.(本小题满分12分)22解：(I )由题意设椭圆的标准方程为 xy +2 =1(a > b > 0),a b由已知得：a+c = 3, ac = 1,222_，a = 2 , c = 1，二 b =a c =3 .22，椭圆的标准方程为 a+L=143(H)设 A(x1，y1)， B(x2, y)，y = kx m,联立 x2y21433(m2 -4k2)3 4k2得(3 +4k2)x2

40、 +8mkx +4(m2 -3) =0 ,22又 y1y2 =(kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 - mk(为- x2) m 因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点 D(2,0),二 kADkBD = -1 ,即 L 1 , x1 一2 x2 -2二 y1y2 +x1x2 -2(x1 +x2) +4=0,_222_.3(m -4k ) +4(m -3)+ 16mk +4。3 4k23 4k23 4k2' 二 9m2 +16mk +4k2 =0 .解得：2km1 = -2k , m2 =-,且均湎足 3 + 4k当门=2k时，l的方程为y=k(x2),直线过定点(2,0),与已知

41、矛盾;2k当m2 =-2k时，l的方程为y =谓:7，2,直线过定点-,0 .17 J所以，直线l过定点，定点坐标为2,。.718.已知椭圆。+胃2>0)的离心率为普(I )求椭圆C的方程；,短轴一个端点到右焦点的距离为和.(n )设直线l与椭圆C交于A, B两点，坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的2最大值.18.解：(I)设椭圆的半焦距为c,依题意«3,33,b=1，二所求椭圆方程为(H)设 A(Xi, %) , B(X2,(1)当AB，x轴时,AB(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y =kx +m .由已知m1k=理，得 m2=3(k2+1).224把y

42、 =kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx + 3m2 3 = 0 ,x1x2-6km3(m2 7)=-2， Mx2 =23k2 13k2 112k29k4 6k2 11212=3+(k #0产 3 +2 . 12 3 69k 2 6k2当且仅当9k2 =； k2,即卜=±(3时等号成立.当k = 0时，aB=J3,综上所述AB max =2. max二当AB最大时， AOB面积取最大值S = 1父AB x.2 max 22219.设Fi、F2分别是椭圆+y2 =1的左、右焦点.4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PFi PF2的最大值和最小值；(H)设过定点M (

43、0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B,且/ AOB为锐角(其中。为 坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.19.解：(I)解法一：易知 a = 2,b=1,c = V3所以E(而0 )下2(6。卜 设P(x,y),则因为xw-2,2,故当x = 0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1能有最小值-2当x = =2,即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a=2,b=1,c = 73,所以 F1(出,0 )下2(百0),设 P(x,y),则=1k*+6：+丫2 +（x出）+y2 12= x2 +y2 -3 （以下同解法(H )显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l :

44、 y = kx-2,A(x1,y2 ),B(x2,y2 ),fy=kx-221、联立x2,消去y ,整理得：.k? +- * +4kx + 3 = 0二+ y2=1I 4；l44k34 x2 = - , x1 x2 ; T2 I2 Ik -k -44或k.2,.212由 A =（4k ） -4. k+ M3=4k -3>0得:4又 00 :二 A0B ；90° = cos A0B 0 = OA OB 0二 OA OB =x1x2 y1y2 023k2-8k2-k2 1又 y1y2 = kK 2 kx2 2 = k x1x2 2kxi x24 = 4 =-k2k2 1k2 144

45、40- +0- 0 0 ,即 k2 父4-2 < k < 2k2 1 k2 144故由、得-2 S4或13K 22220.设椭圆>+4=1(a >b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2, A是椭圆上的一点，AF2 _L FR , a b1原点O到直线AF1的距离为1 OF1 .31(I )证明 a =72b ；(n)求tw(0, b)使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M(x°, y°)处的切线交椭圆 于 Qi, Q2 两点，则 OQi IOQ2 .20. (I)证法一：由题设 AF2 _LFiF2 及 Fi(y0) , F2C0),

46、不妨设点 A(c, y),其中22y>0,由于点A在椭圆上，有斗十多=1, a b2,22a-l =12. 2a b. b2b b2、解彳3y = ,从而得到A C,b-,直线AF2的方程为y =b22ac(x +c),整理得,22b x -2acy + b c = 0 .1由题设，原点O到直线庆巳的距离为1OF1 ,即 3c _b2c3 b4 4a2 c2将c2 =a2-b2代入原式并化简得a2=2b2, IP a =>/2b .b2 )证法二：同证法一，得到点 A的坐标为c, < a J过点。作OB -L AF1 ,垂足为H ,易知zXRBC s、f1f2A ,故 、_1

47、由椭圆定义得 AF1 +AF2 =2a,又BO =-OF1 ,所以 131 _|F2Al _ Ml3 jFA _2a _|F2Al， ,2,2_解彳3F2A =a ,而F2A =匕，得 ,即a=T2b .2a a 2(H)解法一：圆x2+y2 =t2上的任意点M(x0, y0)处的切线方程为X0x + y0y = t2.当tw(0, b)时，圆x2 + y2 =t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A处的切线必交椭圆于两个不同的点Qi和Q2,因此点Qi(xi, yi) , Q2(X2, y?)的坐标是方程组的解.%当y°/0时，由式得x°x y0y =t22_ 2_ 2x

48、2y =2b代入式，得x2-24 2城t -x0x1y0J(2x2 y2)x2 -4t2x0x 2t4 -2b22y0 =0 ，于是 x1 , x2 =? x 2 ，2x0 V。xx22t4-2b2y22x2 y2,42 2t -2b %c 2 r2x0 V。若 OQ1 .L OQ2 ,则42 22t4 -2b2y222222x0V。2x0v。4_22_4_222t4 -2b2x2 3t4 -2b2(x2 yo)!=2x0 y0所以，3t4 -2b2(£+y2) =0 .由$+y(2=t2,得3t4-2b2t2 = 0 .在区间(0, b)内此方程的解为t凡.当y0 =0时，必有x0

49、 #0 ,同理求得在区间(0, b)内的解为t =6b .36另一方面，当t= b时，可推出x1x2+y1y2=0,从而OQ1，OQ2.3综上所述，t=b0, b)使得所述命题成立.221.如图，直线y=kx+b与椭圆上+ y-6.2'6,2.6T ,2:6y=x +或丫= x -或 y = -x 十, 或 y = -x - 2222222222.如图，中心在原点。的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为：x = 12.(1)求椭圆的方程； =1交于A, B两点，记AAOB的面积为S.4(I)求在k=0, 0<b<1的条件下，S的最大值；(II )当 AB =2 ,S=1时，求直线AB的方程.21. ( I )解：设点A的坐标为(xi, b),点B的坐标为(X2, b)，2由x-+b2 =1,解得4为,2所以 S =；bJx1 x2, =2bLk/1 -b2 < b2 +1 b2 =1 .当且仅当b=也时，S取到最大值1.2y=kx b,1(H)解：由 <x