大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

1、大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分），请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为程为_ 2， 3， 5 和4， 1，3 ，则该球面的方2、函数u数为ln( xy 2z2 ) 在点a(1,0,1) 处沿点 a 指向点b (3,2, 2)方向的方向导3、曲面zx2y2 与平面 2 x4 yz0 平行的切平面方程为4、lim(1cos( x2y2 )sin xy22( x, y )(0,0)(x2y2 )2 exy2 z5、设二元函数 zxy2x3y ，则 x y二、选择填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道

2、小题 3 分）。以下每道题有四个答案， 其中只有一个答案是正确的， 请选出合适的答案填在空中， 多选无效。1、旋转曲面 x2y 2z21 是（）（ a） xoz坐标面上的双曲线绕 ox 轴旋转而成；（ b） xoy 坐标面上的双曲线绕 oz轴旋转而成；（ c） xoy 坐标面上的椭圆绕 oz轴旋转而成；（ d） xoz坐标面上的椭圆绕 ox轴旋转而成2、微分方程 yy2 x cos x3x 2 的一个特解应具有形式 （）其中 a1 ,b1 , a2 , b2 , d1 , d 2 ,d 3 都是待定常数 .(a).x( a1 xb1 ) cosxx(a2 xb2 ) sin xd x2 ;1(

3、b).x( a1 xb1) cos xx( a2 xb2 ) sin xd1 xd2 xd 3 ;2(c).x( a1xb1 )( a2cos xb2 sin x)d1 xd 2 xd3 ;(d).x( a1 xb1 )(cos xsin x)d x 2d 2 xd 33 、 已知直线l : x2y122z1与平面: x2 y2z4 , 则 （）(a).l 在内;(b).l 与 不相交;(c).l 与正交;(d).l 与 斜交.4 、下列说法正确的是（）rrrr(a) 两向量 a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数，使得 ba ；(b) 二元函数 zf x , y2 z的两个二阶偏导数2x,

4、z 在区域 d 内连续，则在该22y2区域内两个二阶混合偏导必相等；(c) 二元函数 zf x , y的两个偏导数在点x0 , y0处连续是函数在该点可微的充分条件；(d) 二元函数 z的必要条件 .f x , y 的两个偏导数在点x0 , y0处连续是函数在该点可微25、设 zf (2xy, x2y), 且 fc （2即函数具有连续的二阶连续偏导数） ，则zx y（）(a)2 f 112 f 223 f 12 ;(b)2 f 11f 22(c)2 f 11f 225 f12 ;(d)2 f 112 f 22三、计算题（本大题共29 分）1、（本题 13 分） 计算下列微分方程的通解。(1)

5、（ 6 分） y1xy 2xy2(2) （ 7 分） y3y2 yxe2x3 f12 ;f12 .2、（ 本题 8 分） 设 zuv 2t cosu ， uet ， vlnt ，求全导数dz 。dt3、（本题 8 分） 求函数 fx, ye2x xy 22 y 的极值。四、应用题 （本题 8 分）1 、 某工厂生产两种型号的 机床，其产 量分 别为 x 台和 y 台， 成本函数为c( x,y)x 22 y 2xy （ 万元），若市场调查分析，共需两种机床 8 台，求如何安排生产使其总成本最少最小成本为多少五、综合题（本大题共 21 分）yz11、（ 本题 10 分） 已知直线 l1 ： bcx

6、0平面方程 x z1， l2 ： acy 0， 求过l1 且平行于l 2 的2 、 （ 本 题11分 ） 设 函 数f (x, y, z)ln xln y3lnz 在 球 面x2y2z25r2 ( x0, y0, z0) 上求一点，使函数f (x, y, z) 取到最大值六、证明题（本题共 12 分）1、设函数 uxk fz , xy， 其中 k 是常数 ， 函数 f 具有连续的一阶偏导数试x证明: xuyuzuxyzkxk fz ,yxx第二学期高等数学期中考试试卷答案22一、 填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）21. 、x32 、 1 2y1z1213、2 x

7、4、05、 2 y4 yz3 x2 ；50 二、选择填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）1（ a）2（ b）3（ c）4（ c）5（ a）三、计算题（本大题共 29 分）1、（ 1） 解：将原微分方程进行分离变量，得：dy1y2(1x) dx上式两端积分得dyarctan y(1x)dxxxc21y222即 ：arctan yxx2c 其中 c 为任意常数（ 2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r 23r20, 特征根为 r11,r22, 于是，该齐次方程的通解为yc1xc e2x , 因2 是特征方程的单2根， 故 可 设题 设方 程 的 特 解： y*x(

8、b0 xb1 )e2 x .代 入题 设方 程, 得2b0 xb12b0x, 比较等式两端同次幂的系数 , 得 b01,b11,2于是，求得题没方程的一个特解y*x( 1 x 21)e2 x .从而，所求题设方程的通解为yc1exc2e2 xx(1 x21)e2x .2、解：zuuv 2ut cosuv2t sin u ，zuv2vvt cosu2uv ，zcosu t依复合函数求导法则，全导数为dzzdtuv 2duzdtvt sin u etdvzdtt12uvtdt dtcosu 1ln 2 tt sin et et2 et tln tcosetfx, ye2 x 2 x2 y 24 y

9、10x3、解：解方程组，得驻点1 , 1。由于f y x, ye 2x 2 y202af xxx, y2x4ex2y2 y1 ， bf xy xy4e2 xy1 ，cf yyx, y2e2 x在 点 1 ,21 处，a2e0 ，b0 ，c2e，acb 24e 2 ，所以函数在点1 , 12处取得极小值，极小值为f1 ,1e 。22四、应用题 （本题 8 分）1、解：即求成本函数 c x,y 在条件 xy8 下的最小值构造辅助函数f x,yx22 y 2xy(xy8)解方程组fx2xy0fyx4 y0fxy80解得7, x5, y3这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5 台和 3

10、 台时，总成本最小，最小成本为：c(5,3)522325328 （ 万）五、综合题（本大题共 21 分）1、 解：直线 l1 与l 2 的方向向量分别为s10，1 ， 1 bc1， 0， 00， 1 ，1，cb2s1 ， 0，1 ac0， 1， 01 ， 0， 1，ca作ns1s21 ，1 ，1，cabcc2取直线l1 上的一点p1 0， 0， c，则过点p1 且以 n1 ，1 ，cabc1为法向c2量的平面 xayz10 ，bc就是过l1且平行于l 2 的平面方程2、解：设球面上点为 (x, y, z) 令 l( x, y, z,)ln xln y3ln z( x2y2z25 r2 ) ，l12 x0,l12y0, l12z0, lx2y2z25r20xyzxy3 z由前三个式子得 x22y2z，代入最后式子得xyr, z3r 由题意得f ( x,y, z)3在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点( r, r,3r) 就是最大值点，最大值为f ( r, r,3r)ln(33r5) 六、证明题（本题共 12 分） 1、证明：u xkxkkxk 1 fz ,x1fz ,yxxy xzxkxk fz ,y1xxf2zy1,xxz x2yxkx