构造法求数列通项公式(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构 造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学 们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等 方法，将递推公式变形成为/5 + D-/()=A (其中A为常数) 形式，根据等差数列的定义知/(“)是等差数列，根据等差数列 的通项公式，先求出/()的通项公式，再根据/()与明,从而求 出明的通项公式。例1在数列中，"用二三'(eN+),求数列为通2%+3项公式.解析-由 4+1= +3 得，an+l，n=3 Hn+j-3

2、两边同除以 n+1 an 得，表一今一，设卜二。则bn+bnT，根据等差数列的定义知，数列%是首相b】=2,公差df的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2+： (n-1).,.数列通项公式为分=岛评析：本例通过变形，将递推公式变形成为上=4形 册式，应用等差数列的通项公式，先求出L的通项公式，从而求出明的通项公式。例2在数列%中，Sn是其前n项和，且5口力0,阳=1,缘=削(11>2),求 3 与 %。解析：当n>2时，%=Sn-Sn 代入/=於得，Sn-Sn产於, 变形整理得SnS产Sa两边除以SnSn.1得，为£ =2 , 5 是首相为1,公差为2的等差数列.

3、J = l+2 (n-1) 2n-l,Sn 5 (n 2),n1 也适合，l-Sn=妾T(n'l)当n>2时，%=Sn£产霜一击=曷启,n=l不满足此式， _ = 1 %= -2“>24fr-8n+3 "一乙评析：本例将所给条件变形成/5 + 1)-/5) = A,先求出/() 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等 方法，将递推公式变形成为f (n+1) =Af (n)(其中A为非零常 数)形式，根据等比数列的定义知/是等比数列，根据等比数 列的通项公式，先求

4、出/,()的通项公式，再根据/()与从而 求出明的通项公式。例3在数列an中，a产2, an=an.12(n>2),求数列aj通 项公式。解析：a尸2,2)>0,两边同时取对数得,lgan=21g an-l 黑=2, 根据等比数列的定义知，数列IgaJ是首相 为lg2,公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得 Igan=2n-1lg2=lg22-' 数列通项公式为4=221评析：本例通过两边取对数，变形成loga“ =21og/_形式，构 造等比数列log%,先求出bg4的通项公式，从而求出明的 通项公式。例4在数列%中，a产1, an+1=4an+3n+l,求数列“

5、通项公式。解析：设 ki+A (n+1) +B=4 (%+An+B), (A、B 为待定 系数)，展开得an+1=4an+3An+3B-A ,与已知比较系数得 , 3A = 3A = 1'38 4 = 1-8 =去.%*+ (n+1) +j=4 (an+n+j),根据等比数列的定义知， 数列/+n+D是首项为h公比为q=3的等比数列， an+n+< X3用.数列通项公式为%=告X3n-'-n4评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5在数列%中，a尸1 , %.a二¥ ,求数列4通 项公式。解析：,.,&+1氏=平/. anan.i=4 n-J两式相除得

6、台二4 ,二御,&3, a5与22,打，&6 是首相分别为西，&2 ,公比都是4的等比数列，又%=1, /+叱=4" , *- a24练习：1.已知数列%满足4用=)勺，求明3 H + 1解:由条件知也= 一,分别令 = 123,伽一1),代入上式得5一1) a.t /7 + 1个等式累乘之，即2.23 3解:由条件知3分别令 = 123,代入上式得(“ I)4 +1个等式累乘之，即ci)出 a.an1 2 3九一1an1 = X X X X=-=% a2 。34-12 3 4naxnF 2.2又 工，明 丁 332.数列aj满足m=1,(心2),求数列为的通

7、项公式。解：由 W. 二;a”-i+l (a>2)得凡一2=；(4_12),而当一2二1-2-1,二.数列3一2是以:为公比，一1为首项的等比数列久一2二一(；)”T ，凡=2 (i) ”T3 .数列%中，/ = 1必=2,3"”+2 = 2%+ + an,求数列%的通项公式。21解：由 3%_2 = 2%川 + %得 %一2 = 7 4+1 + Q %，设 4+2 - k-="(勺+1 - kan) 比较系数得攵+ /?=：，-攵力=：,解得攵=1,力=-；或k =-;，力=1 若取攵=1，力=一，则有%+2-%+1 =-9*一。“) 4"+1 - 4是以

8、-;为公比，以% -%=2-1 = 1为首项的等比数列【最新整理，下载后即可编辑】由逐差法可得 an =-) + (4_ 一。_2)+ +(% - )+ %?1+ 1 = -严 +1 =(-!产+(-l)«-3+-+(-l)2+(-i) + l + l7_34-44 .设各项均为正数的数列%的前n项和为S，对于任意正整数n,都有等式：+叫=45”成立，求%的通项an. 解：。；+ 2% = 4S. =>+ %* = 4s“t ,二一 “3 + 2"" 一 2az = 4(S“ 一 S”_|) = 44 (“”+61)(。-1-2) = 0 , .4+“_尸。

9、，.%-4,1=2.即%是以 2 为公差的等差数列,且+2勾=4% =% =2.aH = 2 + 2(-1) = 2(1)通过分解常数，可转化为特殊数列m+阴的形式求解。一 般地，形如a,.二p a“ +q (21, 夕于()型的递推式均可通过待 定系数法对常数9分解法：设ag+k=p(an+k)与原式比较系数 可得必一k%即乂=一,从而得等比数列4以。，一1(2)通过分解系数，可转化为特殊数列斯-册的形式求解。这 种方法适用于，2 = P，k +网”型的递推式，通过对系数P的分解， 可得等比数列% -%_:设%+2 - 3+1 =力(。2 -3),比较系数得 h + k = p-hk = q ,可解得力,攵。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结 论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产 生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条 件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.(1)构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数 列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的 构造方法.(