河南省南阳市2019届高三数学上学期期末考试试题理科数学试卷

1、河南省南阳市2019届高三数学上学期期末考试试题理科第I卷(共60分)、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知：如图，集合 U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(A eU (AI B)I C B eu(BIC)IA C . AI eu (B C)D. eu(AUB)I C2 .已知1 i是关于x的方程ax2 bx0 ( a, b R )的一个根，则a bA. -1 B3.已知双曲线C的一条渐近线的方程是:且该双曲线 C经过点(J2,2),则双曲线c的方程是(22A,江L714222y x7142x d一 1 D422 y

2、dx 144.已知：f(x) a sin xbcosx , g(x)2sin(1,若函数f (x)和g(x)有完全相同的对称轴，则不等式 g(x)2的解集是A.(k ,k)(k z)62(2k6，2k一 )(k2z)C.(2k ,2k-)(k z)6(k ,k一)(k 6z)5.已知各项均为正数的等比数列an ,a3 a5若 f(x) x(xa1)(x a2)(x a?),f'(0)A.82 B.-1286.已知:y2x13 ,则目标函数2x 3yA.zmaxC.zmax7.A.Xix28.2y7,7,zmin zmaxz无最小值sinx zmax11311三1 sin xeX2. X

3、ix2x1x2如图，网格纸上小正方形的边长为外接球的表面积SA. 104149.执行如图的程序框图，若输出音上=上+1A. 2014 B , 2015zmin7z无最小值f(xi) f(x2),则下列结论必成立的2Xi2x21,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的212则a的值可以为(.2016D .201710.我们把顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形 。其作法如下：作一个正方形 ABCD ;A,柴11.已知抛物线y22 px ( p0）,过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点A在第一象限）S OAB3tan 2AOB,则p的值是（）以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，

4、交AD延长线于F;以D为圆心，以DF长为半径作e D ；以A为圆心，以 AD长为半径作e A交e D于G ,则 ADG为黄金三角形。根据上述作法，可以求出 cos36 （）.5 1A. 2 B12.已知:0,若方程mlnxA. 141 2 x23mx0有唯一的实数解，则 m二、填空题（每题满分13. 1.0284第n卷（共90分)20分，将答案填在答题纸上）（小数点后保留三位小数）r14,已知向量a小是的夹角的大15.已知：sin3cos 一 ,贝U cos22cos2的取值范围是16.在四边形 ABCD中， ABC 90 ,AB BC J2, ACD为等边三角形,则ABC的外接圆与 ACD的

5、内切圆的公共弦长三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.*17.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an 2Sn 1 （n N ）.（1）求数列an的通项公式;若bn (2n 1) an,求数列bn的前n项和Tn.18 .如图1,在平行四边形 ABB1A中， ABB1 60 , AB 4, AA1 2, C、C1分另ij为AB、ABi的中点，现把平行四边形 ABB1A11沿C G折起如图2所示，连接BC、B1A、BA.(1)求证：AB1 CC1；(2)若AB1 厌,求二面角C AB A的正弦值.图19 .为评估设备 M生产某种零件的性能，从设备 M生产零

6、件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表:直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65,标准差 2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为)0.6826 .以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率)： p(p( 2 X2 ) 0.9544 . p( 3 X3 ) 0.9974.评判规则为:若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个,则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁

7、.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品从设备M的生产流水线上随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 Y的数学期望EY；从样本中随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 Z的数学期望EZ.2x20.平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C : a24 1 ( a b 0)的左焦点为F ,离心 b22率为 ,过点F且垂直于长轴的弦长为2(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点A, B分别是椭圆的左、 右顶点,若过点P 2,0的直线与椭圆相交于不同两点求证： AFM BFN ；求 MNF面积的最大值.21 .已知函数f(x) (ax3b)exln x,且函数f(x)的图象在点(

8、1, e)处的切线与直线x (2e 1) y1 0垂直.(1)求 a,b;(2)求证：当x (0,1)时,f(x)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4 :坐标系与参数方程1 tcos(t为参数)，在极坐标系(与直2 tsin角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆 C的方程为 6sin(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求|PA| |PB|的最小值.23.选修4-5 :不等式选讲|x b|的最小值为2.已知 a 0 , b 0 ,函数 f (x) |x a|(1)

9、求a b的值;(2)证明：a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立.答案一、选择题1-5:CADBB 6-10:CDBCB 11、12: AB二、填空题3 3.13. 1.17214. 12015.1612 2,三、解答题17 .解：（1）当 n 1 时，a1 2s 1 2al 1,解得 a11 .当 n 2 时，an 2Sn 1, an1 2Sn 1 1,两式相减得an an 1 2an,化简得anan 1，所以数列 an是首项为-1 ,公比为-1的等比数歹U,可得an（2）由（1）得bn2n 1当n为偶数时，bn1 bn 2, Tn n 2 n；2当n为奇数时，n 1为偶数，Tn Tn 1

10、 bn 1 n 1 2n 1所以数列bn的前n项和Tn1 n n .18 .证明：（1）取CC1的中点O ,连接OA , OB1 , AC1 ,.在平行四边形 ABBA 中， ABB 60 , AB 4, AA1 2,C、C1分别为AB、AB1的中点,ACC1, BCC1为正三角形,则 AO CC1, OB1CC1,又.AO OB1O,CC1平面 OAB1, AB 平面 OABAB1CC1;(2) ABBi 60 , AB 4, AA 2, C、G 分别为 AB、ABi 的中点,AC 2, OA OB1 V3, AB1 J6 ,则 OA2 OB12 AB12,则三角形AOB为直角三角形，则 A

11、O OB,以O为原点，以OC , OB ,OA为x, y,z轴建立空间直角坐标系,则 C 1,0,0 , B1 0,73,0 , C11,0,0 , A 0,0,73 ,则 CCi( 2,0,0) uuur则 AA1 CC1( 2,0,0) , AB1uuurAC设平面ABiC的法向量为n (x, y,z),n ABin AC3y 3z 0x 3z 0令 z i,则 y i, x 33 ,则 n(V3,i,i),工mm AA2x 0设平面ABA的法向量为 m (x, y, z),则 .m ABi3y . 3z 0令 z i,则 x 0 , y i,即 m(0,i,i)，则 cos m,n5二面

12、角C AB A的正弦值是i9.解：(i) p( Xp(62.8 X 67.2) 0.8 0.6826,p(2X2 )p(60.6X69.4)0.940.9544 ,p(3X3 )p(58.4X71.6)0.980.9974因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；(2)易知样本中次品共6件，可估计设备 M生产零件的次品率为 0.06 .63是 EY 2 -100 256由题意可知YB(2,-),于Z012pC2C94CC100C6c94 GooC2C6C100由题意可知Z的分布列为：C62故EZC241C6C94褊"CT32520.解:1)由题意可得e可得b2,即有 a2b

13、2又 a2 b2_2c ，所以100所以椭圆的标准方程为(2)当kMN 0时，显然AFMBFN 0 ,满足题意;当 kMN 0时，设 M(x,y1)，N(x2,y2),直线 MN 方程为 x my 2,代入椭圆方程，整理得(m2 2)y2 4my 2 0,则 16m2 8(m2 2) 8m2 16 0,所以 m2 2.y1丫24mm2 2y型2m2 2则 kMFkNF旦；4x1 1x21yimyi 1y2my2 12myiy2 (yi y)(myi1)(my2 1)c 2 4m2 m Im 2 m 2 0(my1 1)(my2 1)则 kMF kNF 0 ，即 AFM BFN ;S MNF S

14、 PNF S PMF | PF | | y1 y2 |21 彳，8m2 1622-1 5：2 m 2 m2 2 _44m2 2当且仅当tm2 2J-,即m2 6 .(此时适合0的条件)取得等号.m2 22则MNF面积的最大值是.41;21 .解析：(1)因为 f (1) e ,故(a b)e e ,故 a b依题意,f'(1) 2e 1；又 f'(x) ex(ax3 3ax2 b)1 In x2，x故 f'(1) e(4a b) 12e 1,故 4a b 2,联立解得a 1, b 2;(2)由(1)得 f (x)要证f (x)2 ,即证令 g(x) (2 x3)ex,(

15、x3 2)exIn x(x) 2g'(x)ex(x3 3x2 2)In xx3 x(2 x )e ；In xxex(x 1)( x2 2x 2)令 g'(x) 0,g（x）在（0, 1 百）上单调增加,（1石,1）在单调减少。而 g(0) 2, g(1) e,当 x (0, 1 J3)时，g(x) g(0) 2当 x ( 1 j3,1)时，g(x) g e故当 x (0,1)时，g(x) 2;一 In x 一一.In x而当x (0,1)时，吗 0 ,故函数 (x) 2 叮 2 xx所以，当 x (0,1)时，(x) g(x)，即 f (x)2.22 .解：(1)由 6sin

16、得 2 6 sin ,化为直角坐标方程为 x2 (y 3)2 9(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2 2(cos sin )t 7 0 (*)由 4(sin cos )2 28 0,故可设上是方程(*)的两根，t1 t22(sin cos )L t27又直线过点P(1,2),故结合t的几何意义得：|PA| |PB| |t1| |t2|t1 t2| .(t1 t2)2 4媒2.32 4sin2 2,7| PA | |PB|的最小值为2M.23 .解：(1) .a 0, b 0 ,. f (x) | x a | | x b| |(x a) (x b) | |a b | a bf(x)

17、min a b.由题设条件知f (x)min 2 ,a b 2 .证明：(2) ; a b 2 ,而 a b 2 JOB，故 ab 1.假设a2 a 2与b2 b 2同时成立.即(a 2)(a 1) 0 与(b 2)(b 1) 0 同时成立，1 a 0 , b 0 ,贝U a 1 , b 1, 1- ab 1 ,这与 ab 1 矛盾, 22从而a a 2与b b 2不可能同时成立.2017秋期终高三数学试题（理）及答案、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分.在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合 题目要求的.A ?u(A B) C B 、？u(B1、已知：如图，集合 U为全集，则图中阴

18、影部分表示的集合是C) AC A ?u(B C)D 、?u(A B) C解析：略2、已知1 i是关于x的方程 ax2 bx 2 0 (a,b R)的一个根，则a bA、1 B 、1 C 、3 D 、3解析：实系数的一元二次方程虚根成对(互为共轲复数)易得：a 1,b23、已知双曲线C的一条渐近线的方程是：yC的方程是c 22c 22“2xy2yx.A.1B.- 171471422解析：由题可设双曲线的方程为：y 4x2x,且该双曲线 C经过点(J2,2),则双曲线222x2ydC . y1 D.x144,将点("2,2)代入，可得 4,整理即可2得双曲线的方程为x2 y-144、已知

19、：f(x) asinx bcosx，g(x)海?嘉若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴，则不等式 g(x) 2的解集是A.(k -,k-)(kz)B. (2k-,2k-)(kz)6262C. (2k ,2k)(k z) D . (k ,k)(k z)66解析：由题意知，函数 f(x)和g(x)的周期是一样的，故 1 ,不等式g(x) 2 ,即.，、1sin(x ),解之得：x (2k,2k)(k z)32625、已知各项均为正数的等比数列an,a3a52,若f(x) x(xa1)(xa2)(xa7),则 f'(0)=A. 8”B.8J2 C . i28128解析：令f (x) x

20、 g(x),其中g(x)(xai)(xa2)(x则 f'(x)g(x) x g'(x),故 f'(0)g(0)aia?a3a7%7,由a3 a52可得,a4 y12 ,故 f'(0)8,26、已知:y x i 2x y 3 , 2y x 6则目标函数z2x 3yA.zmax7,zminB.zmaxii3zminC.zmax7,z无最小值D.zmaxii,z无取小值3解析:如图:A(0,3),(),C(4,5)，显然Zmax7、设i sinx esin x,xi、 x2，且f(X) f(x2),则下列结论必成立的A.xi>x2B.x1+x2 >0C.2

21、2xi V x2 D. xi > x2解析:f(x) f(f(x)是偶函数,而当x 0,万时,f'(x)i sin x cosx ecosxi sinx/ i sinx i sin x.e cosx (e e ) 0,即f(x)在0,-是单调增加的.由f(x)f(x2),可得 f(|xi|) f(| x2 |),即有 |xi| ,即 xi2x228、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=21A. 10 B.乜 C故R AG,1 HA2414S 4 R2414方法二：只考虑三棱锥 EABC的外接球即可，而此三棱锥的侧棱EB与

22、底面ABC是垂直的，故其外接球的半径:r VEB一±4!（其中r是三角形 ABC外接圆的半径）9、执行如图的程序框图，若输出 S的值是2,则a的值可以为A. 2014 B. 2015 c. 2016 D . 20171解析： S 2, k 0; S 1 , k 1; S 1,k 2； 2 S 2, k 3；故a必为3的整数倍。10、我们把顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下:作一个正方形 ABCD ；以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F ；以D为圆心，以DF长为半彳5作。D ；以A为圆心，以 AD长为半彳5作。A交。D于G ,则 ADG为黄金三角形。

23、根据上述作法，可以求出cos36A. qB.4,5 14,5.3 仁 ,53 D .解析：不妨假设AD2,11、已知抛物线y2A在第一象限）A. 2B. 3C. 4解析：SOAB则DG V5 1 ,故cos36 虫42 px ( pc3,S OAB- tan20）,过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点AOB ，则p的值是31 一3tan AOB 1|OA| |OB|sin AOB，即 OA OB 3 ,不妨设22A(x, y1),B(X2,y2)，则 X1X2 丫1丫23,即有(%丫2)24p2y1y23,又因为 yy2故：p 212、已知:1 2m 0 ,右万程mlnx - x 2m

24、x 0有唯一的实数解，则 mA. 1 B.41c. 3d.24解析：方法一：验证，当时,f(x)2Inx与g(x) x x在点(1,0)处有共同的切线、.、一一. 一 In x方法二：将方程整理得3x1 一x, 2m设 f (x)In x .1 一1,则由题息，直线y xtex2m函数f(x)的一条切线，不妨设切点为(X0, y°),则有:11 lnx0丁22mx01y0 x0，解N得：x0 1, y0 1 , m2mIn xy。一 1x。二、填空题：13、1.028 (小数点后保留三位小数)。答案：1.172解析：1.028 (1 0.02)8 1 C8 0.02 C； 0.022

25、 C83 0.023 . 1.17214、已知向量a= (1,2) , b=( 2, 4) , | c| =乖，若(a+b) c=5,则a与c的夹角的大小是.答案：120°解析：由条件知 | a| =乖，I b| = 245, a+ b= ( 1, - 2) ,|a+ b| =t5, ''' (a+ b) , c=2,V5x 75 - cos 0 =|,其中 0 为 a+ b与 c 的夹角，0 =60° .a+b=a,a+b与a方向相反，a与c的夹角为120°15、已知：sin cos3,贝U cos2 cos2的取值氾围是23 3 2,2

26、cos2cos 2由sincos故cossin解析:1 2sin2c 22 cos3 /日 一信,cos23.sin 23一 2sin21 1 231 2(sin cos )(cos sin ) 3(cos,易得sincos2 cos2百1，3 3 2,2sin )16、在四边形 ABCD中， ABC 90 , AB BC J2, ACD为等边三角形，则 ABC的外接圆与 ACD的内切圆的公共弦长=.【答案】1解析：解析法：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，利用解析法即可得。作图法：可以看出的公共弦即ACD的中位线。三、解答题：17、(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn

27、,且满足an 2Sn 1 (n N ).(1)求数列an的通项公式；(2)若bn (2n 1) an,求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当冗=工时，ar 2S1-il- 2ar + 1,解得由=-1.当m 一三2时，an = 25几+ 1, j工=25_t + 1 ,两式相减得值也一 an_1 = 2a，化简得j = 一6_i,所以数列4J是首项为一工，公比为一土的等比数列，可得% = (-1J 1. 6分由(1)得儿=(2花-1) ” (一1当也为偶数时，除_1+九=2,三X2 = 口;当也为奇数时，n 1为偶数,7 = F2 - b =(7i + l)-(2n+l) = n所以数列限的前

28、舞项和4 =(1】 12分18、(本小题满分12分)如图1,在平行四边形 ABRA中，ABB 60 , AB 4, AA1 2, C、C1分别为AB、AB1的中点，现把平行四边形 ABBA1沿C G折起如图2所示，连接BC、B1A、B1A .(1)求证：AB1 CC1；(2)若AB1 疾,求二面角C AB1 A的正弦值.证明：(1)取CC1的中点O,连接OA, OB1, AC,在平行四边形 ABBA 中， ABB1 60 , AB 4 , AA 2, C、C1 分别为 AB、AB的中点， ACC1, BCC1为正三角形，则 AO CC-OB1 CG,又.AO OB1 O,CC1 平面 OAB,

29、 AB1 平面 0ABiAB1 CC1 ； 4 分(2) ABB 60 , AB 4, AA 2, C、G 分别为 AB、AB1的中点,AC 2 , OA OB1 第, AB1J6,则 OA2OB12AB12,则三角形AOB1为直角三角形，则 AO OB1,以O为原点，以OC , OB, OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,贝U C (1, 0, 0) , Bl (0,V3 , 0) , C ( 1, 0, 0),A (0, 0, Q)(2,0,0)则 AA CCi ( 2,0,0),AB；=(0,屈,73)AC= (1, 0,<3 ),设平面ABC的法向量为n(x,y, z),则 n

30、AB13y 3zn AC x 3z 0U,3,1,1),设平面ABA的法向量为m (x, y,z),则m AA1m AB12x 0.3y . 3z1,即 m (0,1,1),10分12分二二面角C AB A的正弦值是"I，.519、(本小题满分12分)为评估设备 M生产某种零件的性能，从设备 M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65,标准差 2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备

31、加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ,并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率)： p( X ) 0.6826 .p( 2 X2 ) 09544 . p( 3 X3 ) 0.9974 .评判规则为:若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品从设备M的生产流水线上随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 Y的数学期望EY;从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ.解析：(1) p( X)p(62.8 X 67.2)

32、0.8 0.6826,p( 2 Xp(60.6 X 69.4) 0.94 0.9544 ,p( 3 Xp(58.4 X 71.6) 0.98 0.9974因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙;(2)易知样本中次品共 6件，可估计设备 M生产零件的次品率为 0.06 .-663由题意可知 Y B(2,上)，于是EY 2 8分100100 25由题意可知Z的分布列为：Z012pC94- 1 - 1C6c94C：歹 C100"C C100C100EZC6c；4%32512分20、(本小题满分12分)1 ( a b 0 )的左焦点为F,离心率为土2平面直角坐标系xoy中，已知椭

33、圆C : 2- a b ,2过点F且垂直于长轴的弦长为J2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A, B分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P(-2, 0)的直线与椭圆相交于不同两点求证： AFM2b2求MNF面积的最大值.c解：（1）由题息可得e 一aa2 b2c2,所以a 版,2 1；2所以椭圆的标准方程为y2（2）当kMN 0时，显然 AFM BFN 0,满足题意;当 kMN 。时，设 M (xi,yi) , N(X2,y2),直线 MN 方程为 x my 2 ,代入椭圆方程，整理得,22.(m 2)y 4my0,则16m2 8(m22) 8m2 16 0所以2.4myy2yy22 m2-2

34、 m2,则kMFkNFy1x11y2X2 1y1my1 1y2my2 12my1y2 (y1 y2) (my1 1)(my2 1)2m2m2 2(myi 1)(my2 1)4mm-2 0.则kMFkNF 0,即 AFMBFNS MNFCC11cL 一S PNFS PMF 2 | PF | | y1y2|218m2 16m2 224m2 242八当且仅当（此时适合> 0的条件）取得, ，即 m 6 .m2 2tx2则MNF面积的最大值是421、(本小题满分12分)已知函数f(x) (ax3 b)ex 胆，且函数f(x)的图象在点(1, e)处的切线与直线 xx (2e 1)y 1 0 垂直.(1)求 a,b;(2)求证：当 x (0,1)时，f (x)2 .解析：(1)因为f(1)e ,故(a b)e1;依题意,f '(1) 2e 1；又 f'(x) ex(ax3 3ax2 b)1 ln x2，x故 f'(1) e(4a b) 12e 1 ,故 4a b 2,联立解得a 1, b 2; 4分(2)由(1)得 f (x) (x3 2)ex nx, x要证f(x)2,即证2 叱 (2