河北省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析

1、绝密启用前河北省2019年高考理科数学试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （5 分）已知集合 M=x|4VXV 2 , N = x|x2-x-6<0,则 MAN=（）A. x|- 4<x< 3B. x|- 4&

2、lt;x< - 2 C. x|- 2<x<2 D. x|2< xv 32. （5分）设复数z满足|z-i|=1, z在复平面内对应的点为（x, y）,则（）A. （x+1） 2+y2= 1B. （x- 1） 2+y2= 1C.0+（y1）2=1D. x2+ （y+1） 2= 13. （5 分）已知 a= log20.2, b=20.2, c= 0.20.3,贝U （）A. avbvcB . av cv bC. cvav bD. bvcv a4. （5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是二（近工0.618,称为黄金分割比例），著名的“

3、断臂维纳斯”便是如此.此外，22最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是返二L.若某人满足上述两2个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是）A . 165cmB . 175cmC. 185cmD. 190cmsinx+x5. （5分）函数f （x）=在-兀，兀的图象大致为（）COSX+ X6.（5分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻一 ”和阴爻“ 一一 ”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是（）511八21A.16B .C. D.1116第3页（共

4、22页）7. （5分）已知非零向量 a, b满足|白|=2|b|,且（3- b） ± b,则为与b的夹角为（）A.5兀D- I.8.（5分）如图是求1的程序框图，图中空白框中应填入（2;C. A = 1+2AD. A=1+ 2AA. A=-B. A=2+-2+AA9. (5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0, as=5,则()A an=2n-5 B . an=3n-10C. Sn= 2n2- 8nD. Sn=n2- 2n210. (5分)已知椭圆C的焦点为F1 (T, 0), F2 (1, 0),过F2的直线与C交于A, B两点.若 AF2|=2|F2B|, |AB|=

5、 |BF1|,则 C 的方程为C.2 X 一+ +2+4y2= 1B.D.( )22工+-=13222工+匚=15411. (5 分)关于函数f (x) = sin|x|+|sinx|有下述四个结论:f （x）是偶函数f （x）在区间（?，兀）单调递增f （x）在-兀，E有4个零点f （ x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A .B.C.D.12. （5分）已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 。的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/ CEF = 90° ,则球。的体积为（）A . 8遍兀B. 4遍兀C. 2遍兀D.正兀

6、二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13. （5分）曲线y=3 （x2+x） ex在点（0, 0）处的切线方程为 .14. （5分）记Sn为等比数列an的前n项和.若ai = , a42=a6,则S5=.315. （5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4: 1获胜的概率是.2216. （5分）已知双曲线 C: -=1 （a>0, b>0）的左、右焦点分别为Fi, F2

7、,过J b上F1的直线与C的两条渐近线分别交于 A, B两点.若F AB, F g?/2$ = 0,则C 的离心率为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12 分）4ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.设（sinB - sinC） 2= sin2A - sinBsinC.(1)求 A；(2)若6a+b=2c,求 sinC.18. （12分）如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=

8、2, Z BAD =60° , E, M, N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点.(1)证明：MN/平面 CDE;(2)求二面角A - MA 1 - N的正弦值.19. （12分）已知抛物线 C： y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程;(2)若彘=3 PB,求 |AB|.20. (12 分)已知函数 f (x) =sinx-ln (1+x), f' (x)为 f (x)的导数.证明：(1) f' (x)在区间(-1, .2L)存在唯一极大值点；2(2) f (x)有且仅有2

9、个零点.21. (12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进 行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药， 另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验. 当 其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和3

10、 一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi (i = 0, 1,，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=0, P8=1, Pi= api 1+bpi+cpi+1(i=1, 2,，7),其中 a = P (X= - 1), b=P (X=0), c= P (X=1).假设 a= 0.5,3= 0.8.(i)证明：Pi+1-Pi (i=0, 1, 2,，7)为等比数列；(ii)求p4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

11、的 第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)1-t2x=7，22. (10分)在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为1+t,t，(t为参数).以坐4t尸21+t2l的极坐标方程为标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2 pcos9+ 遍 psin 011 = 0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.选彳4-5:不等式选讲(10分)23.已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明:(1) +< a2+b2+c2;a b c(2) (a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3A24.第#页（共22页）河北省2019年高考

12、理科数学试卷答案解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.【解答】解：丁 M = x|-4vxv2, N = xX2 x6<0 = x|- 2vxv3,，MnN = x|-2vxv2.故选：C.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题.2 .【分析】由z在复平面内对应的点为（x, y）,可得z= x+yi,然后根据|z- i|= 1即可得解.【解答】解：: z在复平面内对应的点为（x, y）,z= x+yi,z- i = x+ （y 1） i

13、, ''|z"i|=7x2+（y-l）2=l, x2+ （y - 1） 2=1,故选：C.【点评】 本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题.3 .【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得10g20.2V0, 20.2>1, 0<0.20.3< 1,从而得出a, b, c的大小关系.【解答】解：a=log20.2vlog21= 0,b=20.2>20=1,0<0.20.3< 0.20=1,c= 0.2 e（ 0, 1）,a< c< b,故选：B.【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单

14、调性，增函数和减函数的定义，属基础题.4 .【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高.【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26 cm,由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是后一10.618,2可得咽喉至肚脐的长度小于26 -42cm,0,618由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是返工，2可得肚脐至足底的长度小于 里丝叁=110,0.618即有该人的身高小于 110+68 = 178cm,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105 X 0.618= 65cm,即该人的身高大于 65+105= 170cm,故选：B.【点

15、评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题.5【分析】由f (x)的解析式知f (x)为奇函数可排除 A,然后计算f (兀)，判断正负即可 排除B, C.【解答】解： f (x)=皿+1 , xq兀，兀,COS/+ K.f( x) = -sinx-=_ sinx+=_f ，cos(-x)+ z cosz+ y.f (x)为-兀，兀上的奇函数，因此排除 A;又f(7)=口" +兀 _三二。，因此排除B, C;CQS 冗 + 7T1 + TT故选：D.【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题.6 【分析】基本事件总数n=26=64,该重

16、卦恰有3个阳爻包含的基本个数 m=c3cl=20,U W由此能求出该重卦恰有 3个阳爻的概率.【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数 n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数 m= CC20,则该重卦恰有3个阳爻的概率p=9=2Q=旦.n 64 16【点评】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题.7.【分析】由（a-可得（a-b=0,进一步得至ij |a| |fe cos<l, 记二0,然后求出夹角即可.T -*-* - T -2 (a-b)'b = a'b-b=|a| |b 18s< a . b&g

17、t;-b =0，b>lai lb|=jn1=i21n22，<a, b> 0, K,故选：B.【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题.8【分析】 模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得：a=2，k= 1 ；满足条件k< 2,执行循环体，A= , k= 2;2?满足条件k< 2,执行循环体，A=J-, k=3;此时，不满足条件kw 2,退出循环，输出A的值为J-,观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=-r2+A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

18、出正确的结论，是基础题.4ai + 6d=09【分析】 根据题意，设等差数列an的公差为d,则有，求出首项和公差，力+4d= 5然后求出通项公式和前 n项和即可.【解答】解：设等差数列an的公差为d,由Sd=0, a5= 5,得划+6d=。H 二-3a1+4d= 5.an=2ni-5, 3 二n*-4此，故选：A.【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题.10【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=V3, b=加，可得椭圆的方程.【解答】解：|AF2|=2|BF2|,|AB|=3|BF2|,又|AB|=|BF1|,|BF1|=3

19、|BF2|,又|BFi|+|BF2|=2a,|BF2|=。，一3 |AF2|=a, |BFi|=ya,在 RtAF2O 中，cos/ AF2O = -,a4+0)2T.a) 2在BF1F2中，由余弦定理可得 cos/ BF2F1=,2X2Xy2根据 cosZ AF2O+cosZ BF2F1 = 0,可得 工+ 4 m .=0,解得 a 2= 3,a=V3 .a 2ab2 = a2 - c2= 3 1=2.2 2所以椭圆C的方程为：-z+-= 1.3 2故选：B.【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题.11 【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可.第9页（共22页）【

20、解答】 解：f ( x) = sin|x|+|sin (- x) |= sin|x|+|sinx|= f (x)则函数 f (x)是偶函数,故正确，当xC (二, 兀)时，sin|x|= sinx, |sinx|= sinx,2则f (x) = sinx+sinx= 2sinx为减函数，故 错误，当 0WxW 兀时，f (x) = sin|x|+|sinx|= sinx+sinx= 2sinx,由 f (x) = 0得 2sinx= 0 得 x= 0 或 x=兀，由f (x)是偶函数，得在-兀,)上还有一个零点x= - Tt,即函数f (x)在-Tt,另有3个零点，故错误，当sin|x|=1,

21、 |sinx|=1时，f (x)取得最大值 2,故 正确，故正确是，故选：C.【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键.12 .【分析】由题意画出图形， 证明三棱锥P-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球 O的体积.【解答】解：如图，由PA=PB=PC, AABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥 P - ABC为正三棱锥,则顶点P在底面白射影。为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G,贝 UACBG,又 PO± AC, POABG = O,可得 AC,平面 PBG ,贝 U PBXAC,

22、 E, F 分别是 PA, AB 的中点，EF/ PB,又/ CEF=90° ,即 EFXCE, . PBXCE,得 PB，平面 PAC,正三棱锥 P- ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为 D = Vfa2+PB+PC2=V6, 半径为逅，则球O的体积为兀X23故选：D.【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.【分析】对y=3 (x2+x) ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程.【解答】解：= y

23、=3 (x2+x) ex，,y'= 3ex (x2+3x+1),当 x=0 时，y'= 3, .y=3 (x2+x) ex在点(0, 0)处的切线斜率 k= 3,切线方程为：y=3x.故答案为：y=3x.【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题.14【分析】 根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.【解答】解：在等比数列中，由 a42=a6,得q6ai2 = q5ai>0,即 q>0, q= 3,m 121则S5=2=三二1-33故答案为：L"3【点评】本题主要

24、考查等比数列前 n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键.第11页(共22页)15【分析】甲队以4: 1获胜包含的情况有： 前5场比赛中，第一场负，另外 4场全胜，前5场比赛中，第二场负，另外 4场全胜，前5场比赛中，第三场负，另外 4场全胜，前5场比赛中，第四场负，另外 4场全胜，由此能求出甲队以 4: 1获胜的概率.【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,甲队以4: 1获胜包含的情况有:前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜,其概率为:p1 = 0.4X 0.6X0.5X 0.5X0.6

25、=第15页（共22页）0.036,前5场比赛中,第二场负，另外4场全胜,其概率为:P2=0.6X 0.4 X 0.5 X 0.5X0.6 =0.036,前5场比赛中,第三场负，另外4场全胜,其概率为:P3=0.6X 0.6X0.5X 0.5X0.6 =0.054,前5场比赛中,第四场负，另外4场全胜,其概率为:P3=0.6X 0.6X0.5X 0.5X0.6 =0.054,则甲队以4: 1获胜的概率为:p= p1+p2+p3+p4= 0.036+0.036+0.054+0.054 = 0.18.故答案为：0.18.【点评】 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求

26、解能力，是基础题.16.【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1BXOA,写出F1B的方程，与y=K联立a求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解.不=AB,且不？库=0,OALF1B,贝U FiB： v = 2+c)，b联立:y=-(x+c)1,解得b尸一xaB(；t /b -a b -a4 2 则:1.(b2-a2)22V2 2L - - :(b2-a2)2-'整理得：b2=3a2,c2-a2=3a2,即 4a2 = c2,故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力,是中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或

27、演算步骤。 第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17【分析】（1）由正弦定理得:（2）由已知及正弦定理可得:b2+ c2-a2= bc,再由余弦定理能求出A.sin （ C-）=避可解得C的值，由两角和的正弦函62数公式即可得解.【解答】解：（1） .ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.设(sinB -sinC) 2= sin2A sinBsin C.贝U sin2B+sin2C 2sinBsinC= sin2A sinBsinC,由正弦定理得：b2+c2-a2 = bc,. .cosA=b2 + c

28、2y2=_ = L 2bc 2bc 2一 n- 0<A< Tt, A A=.3(2) V2a+b= 2c, A=,3sin由正弦定理得 V2sinA+sinB=2s inC, 2兀 、-C)=2sinC1,:i解得 sin（C-2L）=返，c-2L=2L, c=兀 J 626446sinC = sin（" + "）=sincos+cossin- = 2Z_+=4 6464622224【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.【分析】（1）过N作NHXAD,证明NM / BH,再证明BH / DE,可得NM /

29、 DE,再由线面平行的判定可得 MN/平面CiDE;（2）以D为坐标原点，以垂直于 DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DDi所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AiMN与平面MAAi的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A - MA i -N的正弦值.【解答】（i）证明：如图，过 N作NHXAD,则NH / AAi,且，2.又MB/AAi, MB = XiA ,，四边形 NMBH为平行四边形，贝U NM / BH , 产1由NH / AAi, N为Aid中点，得H为AD中点，而E为BC中点,BE/ DH ,BE = DH,则四边形 BEDH为平行四边形，则 BH/

30、DE,NM / DE,. NM?平面ClDE, DE?平面 CiDE,MN /平面ClDE;（2）解：以D为坐标原点，以垂直于 DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DDi所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则 N （立，-i, 2）, M （如,i, 2）, Ai （加，-i, 4）,221 2）,-W设平面Ai MN的一个法向量为 品（工,由3iD"NM=-x+yy=0/西耳二黑，取 x=代，得坨二, -1, 2z=0-1），又平面MAAi的一个法向量为7；=（1, 0, Q），cosv 卬,n>= m由A,Y二面角A- MA1 - N的正弦值为 HL5【点评】本题考查直

31、线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.19【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得.xi = 3,（2）若AP= 3 P B,则yi=-3y2, ? xi = - 3x2+4t,再结合韦达定理可解得t= i,x2=-,再用弦长公式可得.3【解答】解：（1）设直线l的方程为y=（2X-t）,将其代入抛物线y2=3x得:X2Q（1+3）2x+12 = 0, 4设 A （xi, y" , B（X2, y2）,2则 xi + x2=7= 2t+ 一, ，xix2= t ，93.4 3, 一由抛物线的定义可得:|AF|+|BF|= xi

32、+x2+p= 2t+= 4,解得 t =12，O £直线l的方程为y=x-（2）若屈=3绿，则yi = 3y2, （x1 一 t） = - 3x（X2 t）,化间得 xi =-W±13x2+4t,由解得t=i,xi = 3, x2 = -, v11AB尸周营7号【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题.20【分析】(1) f (x)的定义域为(-1, +8),求出原函数的导函数，进一步求导，得到f (x)在(-1,二)上为减函数，结合 f (0) =1, f (=)=-1+-V22 Q6产-1+1=0,由零点存在定理可知，函数 f (x)在(-1,)上存在唯一得零点 X0,

33、2结合单调性可得，f (x)在(-1, X0)上单调递增，在(X0, JL)上单调递减，可得2f (x)在区间(-1, ?)存在唯一极大值点；(2)由(1)知，当 xC ( 1, 0)时，f (x) <0, f (x)单调递减；当 xC (0, xo)时，f'(x)>0, f(x)单调递增；由于f' (x)在(x0,)上单调递减，且f'(x0)2>0, f () <0,可得函数f (x)在(xO,)上存在唯一零点 x1，结合单调性22可知，当xC (x0,刈)时，f (x)单调递增；当xe (如，)时，f (x)单调递减.当12xC (?,兀)时

34、，f (x)单调递减，再由f (2) >0, f (兀)< 0.然后列x, f' (x) 与f (x)的变化情况表得答案.【解答】证明：(1) f (x)的定义域为(-1, +8),f' ( x) = cosx1+x'f" (x) =- sinx+,(1+x)2i9兀一令 g (x) = sinx+,贝U g' ( x) = cosx-0 在(1, )恒成(1+x)2(1+x)32.f (x)在(-1,)上为减函数，2ji1又f" (0) =1, f" () =- 1+ 彳 V- 1 + 1 = 0,由零点存在定理可知，

35、2中函数f (x)在(-1, JL)上存在唯一的零点 x0,结合单调性可得，f (x)在(-1, 2x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减，可得 f' (x)在区间(-1,)存在唯一极大值点；22(2)由(1)知，当 xC ( 1,0)时，f'(x)单调递增，f(x)vf'(0)=0, f(x)单调递减；当 xC (0,X0)时，f'(x)单调递增，f'(x)>f'( 0)= 0, f(x)单调递增;f (冲)>0, f () = <0,9兀上 H)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，2(x) >f' (x1)=

36、 0, f (x)单调递增；f' ( x) V f' ( x1) = 0, f (x)单调递减.于是 f' ( x) =cosx- 1 V 0, f (x)单调由于f' (x)在(x0,)上单调递减，且2由零点存在定理可知，函数 f (x)在(x0,当xC (x0, xi)时，f' ( x)单调递减，f'当xe (工，2L)时，f，(x)单调递减，打 2jii当 xC (,兀)时, cosxv0, 一V0,21+x1+x递减，ITITQ 7其中 f ()=1 - In (1+)> 1 - In (1+lA) = 1 - ln2.6>1

37、 - lne=0,222f(7t) = - ln (1+兀)< In3V0.于是可得下表:x(T,0)0(0, x1)x1(兀"2)n2( 卜“ )兀f' (x)-0+0-f (x)单调递减0单调递增0单调递减K 0单调递减小于0结合单调性可知，函数 f (x)在(-1,上有且只有一个零点 0,心由函数零点存在性定理可知，f (x)在(JL,兀)上有且只有一个零点 x2,2当 xq% +0°)时，f (x) =sinxln (1+x) < 1 - In (1+兀)<1 ln3v0,因此函数 f (x)在Tt, +°°)上无零点.

38、综上，f (x)有且仅有2个零点.【点评】 本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大.21.【分析】(1)由题意可得X的所有可能取值为-1, 0, 1,再由相互独立试验的概率求P(X= - 1), P (X = 0) , P (X=1)的值，则 X的分布列可求；第19页(共22页)(2) 由 a= 0.5, 3= 0.8 结合(1)求得 a, b, c 的值，代入 pi = api 1+bpi+cpi+1,得至 1(Pi+1Pi)= 4(pi-pi-i),由Pi-po=pi*0,可得Pi+1Pi(i =

39、 0,1, 2,，7)为公比为4,首项为P1的等比数列;（ii）由（i）可得,n项和与p8= 1,得概率，结合“=0.5,P8=（P8-P7）+（P7-P6）+（P1-P0）+P0,利用等比数列的前P1 = ,进一步求得P4=-. P4表示最终认为甲药更有效的3= 0.8,可得在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为 0.8时，认为甲药更有效的概率为4 一 257,0.Q039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.【解答】（1）解：X的所有可能取值为-1, 0, 1.P(X= - 1) = (1 a) 3 P(X = 0) = a + ( 1 - a) (1 3), P( X= 1)

40、 = a (1 3), X的分布列为：X-101P(1 - a) 3a + (1- a) (1- 3)a ( 1 一份（2） 证明：a= 0.5, 3= 0.8,由（1）得，a=0.4, b= 0.5, c= 0.1 .因此 pi = 0.4pi 1+0.5pi+0.1 pi+1 （i=1, 2,，7）,故 0.1 （ Pi+1 Pi） = 0.4 （ Pi - Pi 1）,即（Pi+1 Pi） = 4 （Pi Pi -1）,又P1-P0=P1W0,pi+1-pi （i = 0, 1, 2,，7）为公比为 4,首项为 p1 的等比数列；（ii）解：由（i）可得，,、,/、.，、,当（1才）4。

41、_P8= （ P8 P7）+（P7 P6）+,+ （PL P0）+P0=二一-P -1-431- p8= 1 , p1 =7，48'1-P4=（P4-P3）+（P3-P2）+（P2-P1）+（P1 - P0）+P0=-P1=257-p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4与看勺0,0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.【点评】 本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变第19页（共22页）量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键.综合性较强

42、，有一定的难度.（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选彳4-4 :坐标系与参数方程（10分）22【分析】（1）把曲线C的参数方程变形， 平方相加可得普通方程，把*= pcosQ, y= psin 0代入2 pcos卅psin。+11= 0,可得直线l的直角坐标方程；（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；法二、写出与直线l平行的直线方程为正0,与曲线C联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于 0求得m,转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值.f 5（2 “,1+t2小 1+/y 2t两式平方