复变函数积分方法总结

1、复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新 形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型， 也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iy i 2=-1 , x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z) 。 arg z= 0? 0?W为主值- 仁 0?0兀， Arg=argz+2k兀。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcos 0 ,y=rsin 0, 故 z= rcos 0+i rsin 0; 利用欧拉公式 ei e=cos 0+isin 0O z=reie。

2、1 .定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点 为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为 A=zo,zi,，zk-i, z% ，zn=B,在每个弧段 zk-i zk(k=12sn)上任 取一点并作和式 S=( (z k-z k-1 )=? ?zk 记？ zk= zk- zk-1 ,弧段zk-1 zk的长度 =L?S(k=1,2门)，当 0时，不论对c的 分发即4的取法如何，S有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：一上 C一 f? zk设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为

3、逆时针方向)例题：计算积分，其中C表示a到b的任一曲线。(1)解：当C为闭合曲线时， =0. f(z)=1 S n=(Zk-Zk-i)=b-a=b =b-a,即 =b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分 存在，设4=Zk-i,则Ei=() (z k-z k-1)有可设4=zk,则12 2=() (z k-z k-i)因为S的极限存在，且应与1及2极限相等。所以S n= ( Ei+E2)=b2-a2=b2-a21.2 定义衍生i:参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入得：=-vdy + i+ udy再设 z(t)=x(t)+iy(t)

4、 (t )参数方程书写：z=zo+(zi-z0)t (04W1); z=z0+rei0 (00x)例题1:积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程z= (3+i ) t=(3+i)=6+例题2：沿曲线y=x2计算解： 参数方程或z=t+it 2(0 1)=()=(1+i)+ 2i =-+i1.3 定义彳泞生2重要积分结果：z=z(o+ re i0 (0 0 兀)由参数法可得：=d 0=d 0例题1: 例题2:解： =0解 =2 d2 .柯西积分定理法：2.2 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析, 则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.3 定理2：当f为单连通B内的解析函数

5、是积分与路线无关，仅 由积分路线的起点z0与终点zi来确定。2.4 闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与 c是d内两条正向简单闭曲线，c在c的内部，且以复合闭路r=c+c所围成的多连通区域G全含于D则有:=+=0:即=推论：=例题： C为包含0和1的正向简单曲线。解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线Ci和C2。=+= - -= 一 +- + 一 +-=0+2 d+2 兀 i+0=4 d2.5 原函数法（牛顿莱布尼茨公式）：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起 点Zo与终点Zi有关,即=这里的Z1和Zo积分的上下限。当下限

6、Zo固定，让上限Zi在B内变动，则积分 口 在B内确定了 一个单值函数F(z),即F(z尸 t之所以有若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数， 且 =f(z).根据定理 2.2 和 2.4 可得 =F(z 1) - F(z 0). 例题：求解： 函数zcosz在全平面内解析=zsinz -=isin i+cosz=isin i+cos i-1=i+-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注 意复变适合此方法的条件。2.6 柯西积分公式法：设B为以单连通区域，。位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在 %不解析，所以在B内沿围绕为的闭

7、曲线C的积分 一 一般不为 零。 取z0位中心，以0为半径的正向圆周=位积分曲线由于f(z)的连续性，所以=2 兀if(z 0)2.6.1 定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单 闭曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，有：f(z 0)=例题：1)2)解：=2 兀 isin z|z=0=0 解:二2Tti| z=-i2.7 解析函数的高阶与数：解析函数的导数仍是解析函数，它的 n阶导数为f (zo)=- dz(n=1,2 )其中C为f(z)的解析区域D内围绕z。的任一条正向简单闭曲线，而 它的内部全含于D.例题： C: =1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2 布

8、(e Z) | z二一=一3 .解析函数与调和函数：定义：(1)调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：一+一二。，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv 为解 析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确(2)共钝调和函数：u(x , y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数 v(x,y)称为u(x,y)的共钝调和 函数。若v是u的共钝调和函数，则-u是v的共钝调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和 函数；且虚部为实部的共钝调和函数。3.2 求解方法：(1)偏积分法：若

9、已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=，两边对 y 积分得 v二 .再由= 又彳导+=- ,/AfTn = dx + Cv= + dx + C同理可由 v(x,y) 求u(x,y).3.3 不定积分法：|因为 =U+i V x= Ux-iU y= Vy+iVx所以 f(z尸+c f(z)=+c3.4 线积分法：若已知实部 u=u(x,y), 利用 C-R 方程可得的dv=dx+dy=-dx+故虚部为该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设U=x2-y 2+xy为调和函数，试求其共钝函数v(x,y)级解析函数 f(z)=u(x,y)+iv

10、(x,y)解：利用C-R条件=2x+y=-2y+x =2 =-2所以满足拉普拉斯方程，有=2y-x =2x+y所以 v=+=2xy- +=2x+=2x+y=y =+cv(x,y)=2xy-+cf(z尸u(x,y)+iv(x,y)=-(2-i)+iC4.留数求积分：留数定义：设Z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0 ,我们把f(z)在Z0处的洛朗展开式中负一次哥项系数c-1称为 f(z)在 zo处的留数，记为 Resf(z),z 0即 Resf(z),z o=c -1或者 Resf(z),z 0= C 为 04.1 留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点ziz2

11、zn,=2 %i其中zk表示函数的孤立奇点4.2 孤立奇点：定义：如果函数 在z0不解析，但在z0某个去心邻域0V 内 解析，则称z为的孤立奇点。例如-、一都是以z=0为孤立奇点函数以z=-1、z=2为孤立奇点 ( )在孤立奇点z=z的去心邻域内，函数 可展开为洛朗级数=()洛朗级数中负哥项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z) 在z处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z的类型：4.2.1 可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负哥项，即对一切 n0有cn=0,则称z。是f(z)的可去 奇点因为没有负事项，即c-n=0,(n=1,2.)故c-i=0

12、。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点，一般对函数求积分一般为零=2 d=0。判断可去奇点方法：(1)函数在某个去心邻域0V 内解析，则Z0是的可去奇点的充要条件是存在极限()=Co,其中Co是一复常数；在的假设下，Zo是f(Z)可去奇点的充要条件 是：存在rw ,使得f(z)在0 r内有界4.2.2 极点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展 开式中只有有限个负哥项，即有正整数mi c-m 0,而当n-m时c-n=0则称Z0是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是：f(z)= +C0+c(z-z 0)n+m+( ) ( )+C0(z-z 0) n + 这里 C-m 0, 于是在 0

13、 有 f(z) = +( ) ( )+C0+Ci(z-z 0)n+m+C0(z-z 0) n + = .*一个在0解析，同时，则z。是f(z)的m级极点。判断定理：(1) f(z)在z0的去心邻域0解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。(2) z0是f(z)的m级 极点的充要条件是=.4.2.3 本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负哥项，则称z0是f(z)的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极4.3 函数在极点的留数：准则一：若Z0为一级极点，则Resf(z),z 0=准则二：做z。为m级极点，则

14、Resf(z),z 0= (z-z o)f(z)准则三：设f(z)= ,P(z)以及Q(z)都在z。解析,如果P(z。) 0,Q(z。),则z0是f(z)的一级极点，而且：Resf(z),z 0=4.4 无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R + 内解析，C为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值称为f(z)在z二处的留数，记作Resf(z),=如果f(z),在R +内的洛朗展开式为f(z),=则有 Resf(z), =-c -14.4.1 如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为zi, z2,，zn,则f(z)在各

15、奇点的留数总和为零即+Resf(z), =0;4.4.2 Resf，=-Resf( ),0例题：求下列Resf(z), 的值(1) f(z尸 一f(z尸 解：(1)在扩充复平面上有奇点：1,，而1为f(z)的一级极点且 Resf(z),1=一= eResf(z),-1=-: Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0 得. Resf(z), =-Resf(z),1+Resf(z),-1二-()=-sh1(2)由公式 Resf(z), =-Resf( -) ,0,而一f(-尸以z=0为可去奇点，所以Resf(z), = -Resf( -) 一,0=04.5用留数定理计算积分：4.5.1 形如d的定积分计算；其中为cos与 的有理函数。故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识-欧拉公式，令 z= ,dz=izd =i d d = sin=()= cos则d =其中f(z)=- 然后又留数定理求的积分值为2 7d其中zk (k=1,2,- n)为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。4.5.2 形如的