浅谈数学开放题及其教学设计

1、浅谈数学开放题及其教学设计48广州市番禺区新造职中广东广州杨慧君【摘 要】 素质教育的核心是培养学生的创新能力,而学生的创新能力往往是在解决数学问题的过程中培养起来的,数学开放题正是为了培养学生的能力。因此加强对数学开放题的研究就显得意义深远。 本文试图对数学开放题的教育价值、特征、 含义、 分类和教学设计作一论述，以期抛砖引玉。【关键词】数学开放题教学设计一、数学开放题的教育价值、特征和分类大量的研究表明，数学开放题的教育价值在于培养学生对数学的积极态度，在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建，在于能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程而不管他是属于何种程度和水平，在于能使学生

2、经历知识再创造的过程，有助于学生创新意识和探索能力的养成。数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能。由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心， “问题是数学的心脏” ，问题解决是数学教学的核心，这正是数学题重要性的表现。现行中学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究数学开放题并运用于数学教学具有特别重要的现实意义。从上面我们可以看到研究数学开放题的重要性，正所谓“知己知彼，百战不殆”。所以我们就要对开放题有个充分了解才行，那究竟开放题又是怎样的一种题型？

3、关于开放题的含义，还没有统一的界定。一般认为：条件不充分或结论不唯一的题目，称为开放题。弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。其实开放题是相对传统的封闭题而言的。（一）数学开放题的特征数学开放题一般具有以下特征：（1） 所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。（2） 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多角度进行思考和探索。（3） 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。（4） 常常通过实际问题的提出

4、，主体必须用数学语言将其数学化，也是建立数学模型。（5） 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。（6） 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。但是开放题是相对封闭题来而言的，在我们清楚开放题的特征后，为了让大家更清楚地区分开放题和封闭题，请看下面两个简单的数学问题。问题1:数列2, 4, 8成等比数列。问题2:试写出公比3为的等比数列。明显可以发现问题1的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题 2的答案不是 唯一的，我们称它为开放题。所以我们可以看出一个题目是否开放，与该题目本身结构 有关。(二)数学开放

5、题的分类对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素(条件、依据、方法、结论) 出发，定性地可分成四类，如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果 寻求的答案是依据或方法则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放 题；如果数学的条件、解题策略或结论都要求解答者自行设定与寻找，则称为综合开放 题。对开放题的分类讨论，有助于理解问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题 是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有 利于有利于考试评分的可操作性与公平性。为了让大家更清楚地区分开放题的各种类 型，下面我们住逐一来看下面开放题的四种类型的题目。1、

6、条件开放题这种类型的题目是给定结论来反探满足结论的条件， 而满足结论的条件并不唯一， 这类题常以基本知识为背景加以设计而成。例1、(2002年全国高考文科题)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：(1)焦点在Y轴上；(2)焦点在X轴上；(3)抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;(4)抛物线的通径长为5;(5)由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2, 1)。能使这抛物线方程为y2 10x的条件是。这题是探索条件型答案不唯一的开放题，但很常见，对每一层次的学生都能找到答案，因此大部分同学都会跃跃欲试。2、策略开放题这类题要求学生依据题目提供的题设信息，寻找切合实际的多种途径解决问题。

7、具 体表现为一题多变、一题多解、引中推广等，从而使学生接受挑战，进入发现、创造的 角色，具有较强的素质要求。1例2:已知x 0 ,函数y x ,是否存在最值？若存在，请求出最值，若不存在， x请说明原因。学生很快能想到运用基本不等式，求得最小值为2.(此题满足运用基本不等式的条件“一正二定三相等”)如果把“ X 0”改为“ x 2”，此题又该如何求解？因为条件修改后已不满足运用基本不等式的第三个条件，x不能取到不等式等号成立的值，那又该从哪入手？于是引出第二种解法：运用函数的单调性。函数 y=x+ 1在(0, 1)上是减函数，在1,+ oo) x上是增函数，在x=2时取得最小值。1 一一.如果

8、把题目改为已知x1 ,求函数y=x+ 的取小值。x- 1这时，应想到拆项法，x=(x-1)+1,x-10,再考虑运用基本不等式，当且仅当x-1=1时等号成立，即x=2时，函数y取得最小值，最小值为3。通过引导学生对问题特征的差异和隐含关系等进行具体的分析，作出问题的联想, 用不同的策略去处理和解决问题，培养学生思维的广泛性，深刻性，灵活性，独特性, 从而培养学生的创造性思维。3、结论性开放题这种类型的题目是在给定条件下探索结论的多样性 ，基本解法是：根据命题的条件及所学的知识进行探索，常用分类讨论、等价转换、数形结合、试验等方法。例3、某住宅小区内有一块空地，物业管理部门根据小区实际情况，设计

9、出如图的 娱乐场所：AB, BG CDL DE AH ED AC=a,BC=b其中 ABC为人们的活动场地， AEBffi CD助小花园。问：若ABCSCBDf目似，四边形AEDCM什么四边形？为什么? 解：当ABSCDBM,四边形AED矩形. ABS ACDB ./ CBDh ACB / CBD廿 BCD=90 / BCD廿 ACB=90.E=/ D=/ ACD=90 四边形AEDCft矩形当 ABS BDCM, 四边形AEDCft直角梯形或矩形vZ E=/ D=90AE/ CD.ABS ABDC里吗即CDBC ACvZ CBDh BAE丁 / BAE力 CABb2.b-,则 /CBDW C

10、AB a RtAAEB RtAABCAEAB2.2a bAB 门口,即AEAC2. 2. 2若 a b-,则a2 2b2,即a v2b. a a 当a 72b时，即AEw CD时四边形AEDE直角梯形 当a 72b时，即AE=CD寸四边形AEDC巨形这类题目我们常常以答案个数的多少去衡量题目开放度的大小。4、综合性开放题对于这类问题，由于主体思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策 略，得到各种不同的精确的或近似的、繁冗的或简练的、可推广的或难以推广的结论。 这样的问题的条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性。例4（1999年全国高考试题（文、理）第18题）a、B是两个不同的平面，m

11、i n是平面a及B之外的两条不同直线，给出四个 论断：mil n,a, B,n，B,mla,以其中三个论断作为条件，余下一个 论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。该题是条件开放结论也开放。四个论断都作为条件，剩余一个则是结论，条件和结 论都不是固定的，而是可变的，解答该题时考生需要去思考、分析、尝试、 猜想、论证， 极具挑战性、探索性。例5、上海市出租车现行收费标准为：3公里以下（含3公里）收起步费10元，3 公里以上至10公里（含10公里）部分每公里收费2元，10公里以上部分每公里收费3 元。如果小王所乘的公里数分别是6公里，15公里，那么他所需付出的出租车费用 分别是多少？（为解题方便

12、，途中等候费忽略不计。）这是一个从生活实际出发的应用题，它将“书本世界”与学生的“生活世界、经验 世界”相互沟通，计算虽极其简单，但却需要根据不同情况分别求出所需费用。如果对此应用题进一步增加设问：如果小王所乘的公里数为x,那么他所需付出的出租车费用是多少？如果小王从甲地乘出租车到乙地有 18公里，而他有两种乘车方案，方案一：从甲地乘一辆出租车到达乙地；方案二：先从甲地上车，行驶到10公里处下车，再换乘另一辆出租车到达乙地，分两次付费。试问：小王选择哪一种乘车方案省钱？甲、乙、丙三人合乘一辆出租车，并商定车费要合理分担。如果甲在全程三分之 一处下车，乙在全程三分之二处下车，内一人坐到终点，全程

13、共计车费48元。你认为他们如何分摊车费比较合理？那么上述应用题通过引用开放性设计后，就变成了一个综合性开放题，使得原本就 有一定价值的实际问题更具有现实意义和可发展性。上面几个例子，可以体会到数学开放题的优势：一方面，数学开放题的教学可以提 高学生解决实际问题的能力；另一方面，在解决问题的过程中，学生会自己找出解决问 题的新办法或策略，有时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，达到创 造性地解决问题的效果，最终培养学生的创新能力和创造思维。二、数学开放题的教学设计研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。让开放题进入数

14、学教学课堂，让学生解决开放题，是实现开放题教育价值的重要途径，一般来说，数学题的教学，有下面几个环节。2、 呈现问题无论是条件性、策略性开放题，还是结论性、综合性开放性题，教师可以根据教学的需要，把握好时机，合理、适时的呈现各类开放题。如：在“线面垂直和面面垂直的判定和性质”复习课中，教师可出示前面的“例4”。这个问题的开放度比较大，又具有一定的层次性，尽管学生之间的能力有差异，但每个学生都能“做得出”，满足了各种层次学生的要求，再通过寻找规律，能使学生更进一步理解“垂直关系”的含义和有关解题方法，有利于达到复习目标。2、研究问题一般地，研究解决开放题的方法大致有：学生个别学习、小组讨论学习，

15、班内组际交流学习和教师讲解等几种形式。例如，在研究“例2”时，教师首先让每个学生根据自己的能力积极参与，独立完成这个题目，并鼓励学生充分利用开放题的多样性，找出多种答案。由于该开放题的开放度比较大，所以每个学生都或多或少能获得几个答案。这大大激发了学生的学习热情，每个学生在学习中都有一定的成就感，增强了学习数学的自信心。接着进行小组交流，通过组内讨论，不同层次的学生集思广益，互通启迪，缩小了差异。这样，借助于这个开放题的教学过程。既为学生提供了充分发展个性的机会，又充分畅通了学生之间交流信息的渠道，有利于促进学生的思维活动。3、小结问题对开放题进行小结。可以采用学生代表发言小结，也可以教师进行

16、总结性发言。小结是诱发学生产生顿悟，使认知结构产生质的飞跃的重要的步骤。同时可以帮助学生去伪存真，纠正学生思维的偏差。小结除了罗列一些可能的答案外，更重要是要归纳规律和提出有关问题之间的联系。如能再适当提问，可以增加问题的开放度，又可以促进学生进一步思考、探索， 把问题向课外延伸，使理论与实际紧密结合，做到 “言尽意不尽”，真正达到教育的目的。数学开放题的教学要注意以下几点：(1) 教师对于有关的问题，事先要作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的发生的情况。(2) 课堂上要让学生自己去动手做，让学生充分的通过自己的思考，互相交流，互相启发找出答案。(3) 启发要得当，要善于从学生正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。(4) 开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻找更高水平更一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家的财富。(5) 教师是开放题教学的鼓励者。要时刻当好学生的参谋，不断地启发、鼓励学生大胆地探索，要了学生的心理，掌握学生的认知结构，充分发挥学生的主动性和和积极性。让学生能品尝“胜利的果实”。同时教师要善于对学生开放题的解答进行评价。要学会观察、分析、归纳各种结论的正确性，并善于用简练的语言抓住重点，总结规律，并能对具体问题有独到的见解。(6) 开放题和封闭