新高考数学新创题型之8.解析几何(含精析)

1、公众号：高中资料共享免费分享5000G学习资料高考数学新高考创新题型之&解析几何（含精析）一、选择题。1 .如图，已知椭圆G： + y2=l ,双曲线c,：£=1 （a>0, b>0）,若以Q的长轴为直 11cr b1径的圆与C：的一条渐近线交于A, B两点，且a与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则G的离心率为（）A、5 B、VT7 C、仃 D、砰52 .如图所示，已知双曲线二-二=1（>/2>0）的右焦点为尸，过尸的直线/交双曲线的渐 6r近线于A、B两点,且直线/的倾斜角是渐近线04倾斜角的2倍，若衣=2而，则该双曲线的离心率为（）3 .已知在平

2、面直角坐标系xoy中，圆C的方程为丁 + 丁=一2），+ 3,直线/过点（1,0）且与直线xy + l = O垂直.若直线/与圆。交于A、3两点,则048的而积为（4 .方程如+生产=。与如2+肥2 =1 (帆网0)的曲线在同一坐标系中的示意图可能是( )二、填空题,5 .圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆 22的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示，椭圆C:三十专 = 1(4人0)可以被认为由圆/ + y2 = cr作纵向压缩变换或由圆/ + ),2 = b2作横向拉伸变换得到的。依据上述论述我 们可以推出椭圆C的面积公式为.6 .若月(孙 在椭

3、圆二+二=l(a60)外，则过兄作椭圆的两条切线的切点为儿A, cr tr则切点弦月月所在直线方程是号+常 =1.那么对于双曲线则有如下命题：若月(%, 先)在22双曲线二一二=l(a>0, 6>0)外，则过其作双曲线的两条切线的切点为A，2,则切点弦 cr ZrH月所在的直线方程是.7.我们把离心率e =土！的双曲线二二=1(>0/>0)称为黄金双曲线.如图是双曲2cr b线,_* = 1(" > 0力> 0,c =的图象，给出以下几个说法：双曲线d 一二_=1是黄金双曲线；V5 + 1若/=",则该双曲线是黄金双曲线：若石，鸟为左右焦

4、点，4瓜2为左右顶点，BI (0, b), B2 (0)-8)且N"斗4 =900, 则该双曲线是黄金双曲线：若MN经过右焦点F?且6尼，NMOV = 90°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.8.若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x) 2kx +b和g(x)Wkx+b,则称直线1： y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x', <b(x)=2eln x(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识,推断h(x)与小(x)间的隔离 直线方程为.229 .设A,3分别为椭圆：二+

5、二=1(“>>0)的左右顶点，尸为右焦点，/为在点8处的 cr切线，P为上异于的一点,直线AP交/于。，M为80中点，有如下结论:平分ZPFB ，PM与椭圆r相切；0M平分NFPD ;使得PM = BM的点P不存在.其中 正确结论的序号是.10 .以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、8为两个定点，k为非零常数，'PA-PB=k ,则动点夕的轨迹为双曲线：过定圆C上一定点A作圆的动点弦A8, O1 , 为坐标原点，若0尸=一（04 + 08）,则动点P的轨迹为圆：设。是A48C的一内角，旦 27sin + cos = ,则x2 sin-y2 cos = 1表示焦点在x轴上的双

6、曲线；已知两定点片（1,0）,乃（1,0）和一动点P,若1。611。工1=/（"。），则点P的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题°2?11 .如图，在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C:，+V = l，设R&o，'o）是椭圆。上的任一点，从原点。向圆R： （x-/y+（y-%）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.（1）若直线。尸，。互相垂直，求圆R的方程：（2）若直线0尸，。的斜率存在，并记为占，k2,求证：2, + 1 = 0：（3）试问。尸+。2是否为定值？若是，求出该值：若不是，说明理由.12 .已知双曲线。：

7、,一a=1（。0力0）,巴，尼分别是它的左、右焦点，A（l，°）是其左顶点，且双曲线的离心率为6 = 2 .设过右焦点F,的直线/与双曲线C的右支交于尸、。两 点，其中点位于第一象限内.(1)求双曲线的方程：(2)若直线ARA2分别与直线x交于M、N两点，求证：MK_LNE；(3)是否存在常数4,使得=恒成立？若存在，求出2的值，若不存在，请说明理由。13 .如图，椭圆二十二=1 (.>/2>0)的左焦点为尸，过点尸的直线交椭圆于A,8两 cr b-点. 14日的最大值是“，怛日的最小值是机，满足(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段A5的中点为G, A3的垂直平分线与x轴

8、和y轴分别交于DE两点，。是坐标原点.记AGH>的而枳为5,。瓦)的面积为S), 求1251工的取值范札sj + 邑-14 .已知椭圆C ：二十二=1(“>>0)过点41.二),其焦距为2. cr2(I )求椭圆G的方程：22(II)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1 + % =则椭圆在其上一点cr o4%,九)处的切线方程为士单+也2=1,试运用该性质解决以下问题： a- b-(i)如图(1),点8为G在第一象限中的任意一点，过B作G的切线/，/分别与X轴和y轴的正半轴交于C,。两点，求AOCD面积的最小值； 22(ii)如图(2),过椭圆G： +二=1上任意一点尸作G

9、的两条切线PM和PN,切点 -82分别为M,N.当点P在椭圆C?上运动时，是否存在定圆恒与直线A/N相切？若存在，求出 圆的方程：若不存在，请说明理由.1. C【解折】由已如，|0A|=a=7H设。人所在渐近线的方程为y=蚊（k>0）,于是A点坐标可表示为A（X0, k%Hx0>0）于是、耳产却三方I ,即A（）,进而AB的一个三分点坐标为（ 詈 愣）3a十月,3d1记11,该点在椭圆孰上,有现沪十白曜二1，即黑昙=1，得卜=2119（1+M）9（1 十妙）,即2=2,于是3=业+7=6。,所以离心率8=2=仆，选C 4a2. B【解折】双曲线鸟4 = 1。>以0）的海近线方

10、程为J=±纥, a ba二直线1的倾斜角是渐近线0A倾斜角的2倍,，直线1的方程为y =，* c),CT _b-与 y = ±x联立，可得 v = 二叱，.或y =一:一"、, a3a2 -b? ' a2+b2-AF = 2FB, .*y = 2.( %, a2+b23a2-b2/. a = f3b , /. c=2b, e = = v.故选：B. a 33. A【解析】,圆C的方程为i+y2=-2y + 3,即/+(y + l)2=4,，圆C的圆心为。(0,1),半径为2.直线/过点（1,0）且与直线x-y+l = O垂直直线/:x + y l = 0.

11、圆心C到直线/的距离d =1°一二"=J5.5/2，直线/被圆C截得的弦长|A8| = 2*?-d? = 2>/42 = 2立，又;坐标原点。到AB的距离为/ = "A =, y/22A SOAB 的面积为 S =，|AB| x j=Jx 2 JJx 坐=1. 2224. A22【解析】原方程可化为产=一"X,：+=1：当7/异号且相0时，为77 J_m n焦点在X，由正半轴上的抛物为焦点在x轴上的改懒或选I页a、B不符合；当巩典导 号旦 。冽时，为焦点在X轴正半轴上的抛物线，为焦点在y轴上的双曲选项 人将3、B不符合；当小审同号目加 龙 。时，为

12、焦点在X轴负半轴上的抛物效，为焦点在y轴上的椭圆，选项D不符合；当加/同短且0 胡 ,时，为焦点在X轴负半 轴上的抛物线，无轨迹.5. zzab【解析】圆的面积公式为班"椭圆长半轴、短半轴长分别为故可推出椭圆的面积公 式为Gb.6必力。_1.6. 下一万 7 .【解析】对于椭圆3+1=1,切点弦产足所在直线方程驾+售=13.a ba if7.类比，双曲线切点弦产所在的亘线方程为W抄0_aVb2=c2-a2=ac,整理得/-1 = 0解得”=匕,所以双曲线是黄金双曲线：对于 2耳=? +,四= +/,"42 =( + c)2 ,由勾股定理得，+a2=1 + c）2,整理得2

13、=“c由可知。=匕9所以双曲线是黄金双曲线: 2对于由于F,（c,O）,把x = c代入双曲线方程得二一二=1,解得,，=±2, NF, cr lrab2由对称关系知ACWE为等腰直角三角形，.。=a，即=ac,由可知6 =匕走所以-a2双曲线是黄金双曲线.8. y=2>/e xe【解析】容易观察到h（x）和小（工）有公共点（4，e）,又（x五尸20,即一226x-e,所以猜想h（x）和4>（x）间的隔离直线为y=2j?x-e,下面只需证明2elnxW2j?x - e恒成2ye（4e-x）立即可，构造函数入（x）=2elnx2五x+e,由于入'（x）= （x>

14、;0）,即函数入（x）在区间（0, JZ）上递增，在（右，+8）上递减，故人（x）W入（右）=0,即2elnx-2后x+eWO,得2eln xW2Cx-e,故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y = 2 W x9. ®【解析】设0“0，%），则的方程为：），=一（X + 4）,令工=。得 与十。0 cH（4）.X。+ a X。+ a对，尸尸的方程为：'=一（入一。）即丁0工一（/一。）'一%。= 0,所以点M到直线PF的a+c-hk/2 -cx01商面7；) + 4(.%-41 /、I1）通（花一。）7/1_ 凡+上_仅板+（/一。）2/+4:% h J/_ Lf

15、 :轨 y/| _ %飞十。百一不）+府一9/+双 飞十。亚（-阿氏+起 莅也好石 与十°即点M到FF到匪禽等于M到TO的距离,所以FM平分4FB ,成立；对,直线PB的斜率为每广£=吗=坐聋=一黎，将三+M=ig>b>0）求导得 %及 _ _。,0。 a b与+粤=仇v=岸,所以过点P的切线的斜率为k=一注（也可用A = 0求。a ya y0得现戋的斜率），所以确图在点？处的切线即为PM, ©成立；对，延长耳?与直线1交于点尸由椭圆的光学性质知，NM抄= 4?0 = "P叔于是PM平分4V打）若PA上PB,则PM为&ABOP的斜边中

16、线，PM = BM ,这样的P有4个，故不成立.10. 【解析】对于，由双曲线的定义可知，动点尸的轨迹为双曲线的一支，所以不正确：对于，由P = ±（OA+OB）,可知点P为弦AB的中点，连结CP,则有CPLA5即2CP上PA,而A,C均为定点，所以P点的轨迹是以AC为直径的圆，所以正确：对于,749120由sin8 + cos8 =一两边平方可得l + 2sin6cos6 = ,所以2sin6cos6 =，因为813169169是AABC的一个内角，可判断夕为钝角，所以sinCcos。且sin-cos = 71 -2sincos = 1 + -=,联立C c 7 sin 6 +co

17、s 6 = 13n A C 17 sin -cos = 13sin 0 = 2213，从而方程Fsine-y2cose = i为£ = 表示COS0 = -1312 5焦点在y轴上的椭圆，所以错误：对于，设动点P(x,y),则由IP耳lIP工l=a2(aH0)可得+1)2 + / . _以+ 9 = a2,将p(_x, y)代入等式左边可得 (-x+l+C-y)2 (-x-l+C-y)2 = yj(x-l)2 + y2 yj(x+)2 + y2 =a2,所以动点尸 的轨迹关于原点对称，即正确；综上可知，真命题的序号是.11. (1) (x±2V2)'+(y±

18、;2>/2)- =8： (2) 24生+1 = 0； (3)定值为 36.【解析】(1)因为直线0尸，。互相垂直，且和圆R相切，所以|。用=扬 =4：再结合 点R在椭圆。上，得到关于的方程组进行求解：(2)设出OP,OQ的直线方程，利用 直线与圆相切，得到勺，原与与，%的关系；再根据(，)")在椭圆上，得出关系，整理即可:(3)分别联立两直线与椭圆的方程，得出P,。的关系，借助24自+1 = 0进行证明.试题解析：(1)由圆R的方程知，圆R的半径的半径， = 2点，因为直线OP, O0互相垂直，且和圆R相切，所以|。国=扬=4,即k2 + >，02=16,又点R在椭圆C上

19、，所以工+至=1,联立，解得“> =工2?'24 12b0=±2>/2.所以所求圆R的方程为(x ±+卜± 2&=8.(2)因为直线OP： y = 3, OQt y = k2x ,与圆R相切，所以族"%=272，化简得3 - 8)6-2%匕+ >，； -8 =。同理(焉-8)攵：-2xoyok2 +)，； _ 8 = 0,所以人,攵2是方程(片一8)公_ 2xoyQk + y： -8 = 0的两个不相等的实数根，k/k? =-4ac -h-yjb2 -4ac c -82aci 玉;-8因为点/?（%,%）在椭圆C上，所以

20、E +亚=1,即），：=12 上尺, 2 122所以"2=官=g即2g+。.（3） 0P?+。2是定值，定值为36,理由如下:法一： 当直线OP,。不落在坐标轴上时，设尸（占,凹）,。（,乃）,rrML -A-.联y = k、x,x2 v2 解得+ = 1124 12v2 一)1 一24 + 2k224婷1 + 21、，2,24(1+ 2) 一皿 侬 22 24(1+ V)，1加以内+凹= 二'同理，得大2 +丁2 = 1 ,2 '由%#2=-51 + ZK11 + ZK Z所以 OP2+ OQ1 = Xj2 +)； + x22 + y2224(1 +。24(1+ V

21、)= +；-1 + 2-1 + 2k.2.24(1 + - ) + 2k；24(1+ (一卜)22 k,36 +72k.”+H=7- = 361+2(一41 + 2攵2K（ii）当直线O只OQ落在坐标轴上时，显然有OP2 + OQ2= 36,综上：OP2+OQ2 =36.法二：（i）当直线O?O。不落在坐标轴上时，设尸（为,凹）,。（.，为），因为2攵#2 + 1 = 0,所以生包X62+ 1 =。,即寸式=；x：¥，因为尸。2。（&，为）在椭圆C上，所以24 12a； y；+ 24 12=1=1所以（12，x；）（i2-lx；）= _Lx；¥，整理得%；+考=24

22、, 22所以。尸2+。2=36.='12-，才+'12-止=12, 2 U I 2 J（ii）当直线。PQC落在坐标轴上时,显然有。产+。2 = 36,综上：OP2 + OQ1 = 36.12. （1） /一=1；（2）见解析；（3）存在，Q2,理由祥见解析.【解析】1）由已知首先得到°三"再由离心率为2可求得c的值，最后利用双曲线中基 本量的关系0十方=U求出b值,从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线Z的 方程为：”=学+2,与双曲方程联立，消去兀得到关于 ）的一个一元二次方程；再设 乎（玛，出卜色（9，为），则由韦达定理就可用,的式子表示出总+

23、）%总内，再用点P,Q 的坐标表示出直线AP及AQ的方程，再令就可写出WM, N的坐标，进而就可写出 向星何，丽的坐标，再计算:得也.丽=0,即证明得班，叫j（3）先取直线 的科率不存在的特列情形，研究出对应的”的值，然后再对料率存在的情形给予一般性的证 明：不难获得衣2,从而假设存在展2使得功不二九夕世恒成立，然后证明tan /PF、A = tan 2/PAF,即可.试题解析：（1）由题可知：。=1C/<? = = 2:.c = 2a,x2_/ ：./+=/.b = .双曲线C的方程为： 3（2）设直线，的方程为：x=ty + 2,另设：尸（西切）、g（x2,j2）2尸一x -T-1=

24、>（3/2-l）j2+12（y+9 = 0.x=（y + 2-12/.必+%=月7必二月又直线AP的方程为y=；、(x + l),代入工二？P_3 M2'23+1）1），9yM9322（+1）同理，直线AQ的方程为=代入x = => N 23%3 /. MF.=-23%2（ + 1）,2（± + 1）1 =1= =1=3T4 4（xi+1）（x2 + 1） 4 4（佻+3乂优+3）4 4 内仍+攵（弘+%）+99x33厂一1J、9 r -12/4 r x5+ 3/xs+ 93广一 13r-l.MF. ± NF、(3)当直线/的方程为=2时，解得尸(2,3

25、).易知此时24此尸为等腰直角三角形，其中NAF,尸=工，ZP4F. =-, KP ZAF,P = 2ZPAF.,也即：几二2 -2 一 4-下证：ZAF.P = 2ZPAF,对直线/存在斜率的情形也成立. 一2x上-2 tan ZPAF72A/m x +1 2y(毛 + 1)tan 2ZPAF,=；-=一察一 =!r =I-l-tan2ZPAF2 -丁 i ( y, X (+1)2-2/. tan2ZPAF.一2y(a+ 1)_2%(/+1)(x,+1)2-3(x12-1) -2(x,+1)(x1-2)yX 2/. tan ZAF2P = -kPF天一2=tan 2ZPAF1结合正切函数在(

26、0,£U(二/上的图像可知，NA居尸=2NPAF, I 2J (2，c 1913. (1) « = = ： (2) (0,一).a 241【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结3合，根据椭圆的性质，得到M=a+c,/w = a-G代入已知”加=一。2中,得到。=勿，计 4算出椭圆的离心率：第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到凡+七和凡占，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范同 试题解析：(D设E(c,0)(

27、c>0),则根据椭圆性质得"=4 + C,2 = 4-C,而 M ? =二所以有 a? 一匹2 =_/,即 / =二，4 = 2(7, 44C 1因此椭圆的离心率为e =.a 2(2)由(1)可知 = 2c, b = JU =瓜,椭圆的方程为二+二=1.4厂 3厂根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y =攵(x + c),y = A(x + c)并设 A(x, %), B(x2 , y2)则由 <f y2 _消去y并整理得,47+37 = 1(4 攵 2 +3)x2 +Sck2x + 4k2c2-12c2 =0“8c二，/-、 6ck从 ifu 1X1+X2 =- J-,片 + y2 =k(x1+x2+ 2c) = ?QK + 34K + J所以G（/展）3ck因为OG_LA8,所以一4+3一.攵=一1, x =一_Ack2 .4K+3- 5mf由必/%)与必/XEOD相似，所以4c/ ck2