卡尔曼滤波器简介

1、汇报人：长安大学 余洪凯卡尔曼滤波器简介1、Kalman Filter的起源：卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 2、Kalman Filter的应用：飞跃：卡尔曼滤波器对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波

2、器。他的广泛应用已经超过30年，包括导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等,尤其是在自动或辅助导航系统。近年来更被应用于计算机视觉领域，例如人脸识别，运动物体跟踪等等。 3、Kalman Filter的思想：基本思想：卡尔曼滤波器提供了一种有效的以最小均方误差来估算系统状态计算递归方法。若有一组强而合理的假设，给出系统的历史测量值，则可以建立最大化这些早前测量值的后验概率的系统状态模型。并且无需存储很长的早前测量历史，我们也可以最大化后验概率，即重复更新系统状态模型，并只为下一次更新保存模型。这样就大大地简化了这个方法的计算机实现。Li113、Kalman Filt

3、er的思想：卡尔曼滤波器的两个重要假设：1.被建模的系统是线性的：K时刻的系统状态可以用某个矩阵与K-1时刻的系统状态的乘积表示。2.影响测量的噪声属于高斯分布的白噪声：噪声与时间不相关，且只用均值和协方差（也就是噪声完全由一阶距和二阶距描述）就可以准确地为幅值建模。 这些假设实际上可以运用在非常广泛的普通环境中。4、Kalman Filter的数学基础：假设你想知道某一个横向运动物体的X坐标，你将会得到两个大概的测量值x1和x2。但这两个测量值都不是很准，即存在高斯不确定性，存在均值与标准差。我们希望在同时给出这两个测量条件下出现某一x值的概率密度与p12(x)=p1(x)*p2(x)成比例

4、：121222()()( )exp22x xx xp x4、Kalman Filter的数学基础：高斯分布在平均值处取得最大值，也就是说导数为0的点是高斯分布的均值。121211221212121222( ) 0 xdpxxxxp xdx 1212()0px2112121212222222xxx 4、Kalman Filter的数学基础：上面我们得到了新的均值是两个测量值的加权组合。我们把 代入 的表达式整理，得到：12x12( )px121222222 这说明：两个高斯测量相结合等价于一个高斯测量（其均值与不确定性是可以计算的）。这个性质的意思是，当有M个高斯测量时，可以先合并前两个，再讲前

5、两个合并的结果与第三个合并计算，以此类推。4、Kalman Filter的数学基础：我们假设x1是时刻1的测量值， x2是时刻2的测量值。X2是时刻2的预测值。211212122222222Xxx 1121122222()Xxxx 4、Kalman Filter的数学基础：我们成功计算出了预测值，那么这个预测值的协方差也可以表示出来：121222222 112222221 4、Kalman Filter的数学基础：由此，我们可以得到递归循环迭代公式：其中K就是大名鼎鼎的卡尔曼增益。1212()X x Kx x 112222K 1221K 5、Kalman Filter的一个小例子假设我们要研究

6、的对象是一个房间的温度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。5、Kalman Filter的一个小例子假设时刻1的你凭感觉估算温度是23度，估算偏差是5度。然后，你从温度计那里得到了时刻2的测试值是25度，温度计的测试偏差是4度。那么实际值是多少呢？K2=52/(52+42)，所以K=0.78 那么时刻2的卡尔曼预测值：23+K*(25-23)

7、=24.56度 所以我们可以看出由于温度计的协方差比较小，那么我们的预测值也就更偏向与温度计。5、Kalman Filter的一个小例子那么时刻3的预测值怎么算呢？我们先算出时刻2那个预测值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-K)*52)0.5=2.35。 那么就可以迭代了，假设时刻3温度计测量值是26度。那么此时的 K2=2.352/(2.352+42)，所以K=0.25 那么时刻3的卡尔曼预测值：24.56+K*(26-24.56)=24.92度以后时刻的温度值以此类推，慢慢迭代。5、Kalman Filter的一个小例子就是这样，卡尔曼滤波器不断把协方差递归，从而进行估值预测。而且他

8、只保留上一个时刻的协方差，而且可以根据不同时刻的测量值进而改变自己的估算值。如果在现在计算机中实现，程序简单，计算也十分快速。以上只是卡尔曼滤波器的数学基础，下面我们介绍卡尔曼滤波器算法。6、卡尔曼滤波器算法 我们先要引入一个离散控制过程的系统 ：X ( k ) = A X ( k - 1 ) + B U ( k ) + W ( k ) 系统的测量值：Z(k)=HX(k)+V(k) X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示系统和测量

9、的噪声，均值为0，协方差分别是Q,R。）。6、卡尔曼滤波器算法 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在的状态：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) （1） 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。6、卡尔曼滤波器算法 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1) A+Q （2）式(2

10、)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式 当 中 的 前 两 个 ， 也 就 是 对 系 统 的 预 测 。6、卡尔曼滤波器算法 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+K(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其中K为卡尔曼增益(Kalman Gain)：K(k)= P(k|k-1) H/ (H P(k|k-1) H+ R) (4)6、卡尔曼滤波器算法 到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)=（I-K(k) H）P(k|k-1) (5)卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易实现计算机编程以上就是卡