空洞探测数学建模论文

1、题目空洞探测分析与研究摘要近年来预测未知地域的空洞原来越受到人们的关注,通过探测空洞位置来指导工程实践,本文就是通过解决未知地方的空洞位置,来给相关人员一些指导。通过题目所给的条件可知,可以把空洞探测简化为测定一块均匀介质构成的平板,通过探测平板内部的空洞位置近似实际地域的空洞位置。问题简化为把一块平板分成36个方格,通过探测在每个方格中是否有空洞存在。问题一可以根据题目中的数据与标准时间的差值来确定某条波线经过的方格是否有空洞存在,可以画出每条实际测量时间与理论时间差值小于或等于测量误差的波线,则没有波线经过的方格视为空洞存在的地方,可以建立0-1模型,再没有波线经过空格记为0,在有波线经过

2、的空格记为1,建立0-1模型。用数据可以明显看出哪些地方有空洞的存在,这种模型的建立视为问题简化,明显看出空洞存在的位置,如下图所示空洞位置。问题二要解出只在一组对边波线存在的情况下是否可以确定空洞的位置,解决这个问题同样可以采取几何排除法方法,通过在这种方法下测定的空洞位置与问题一中测定的空洞位置比较。通过比较可知在只有一组对边波线存在的情况下测定结果与问题一结果相差太远,所以可以得出只有一组对边波线是无法正确测定空洞位置。此外,解决这一问题还有另一解释,如果只有AB边波时只能测定出沿AB方向的空洞坐标,无法测出垂直AB边的坐标,最终无法确定空洞存在的位置。解决问题二中在不影响测定空洞位置的

3、前提下,适当减少波源和接收点。一个波源或接受源是否能预测出空洞所在位置取决于与它相关的波线的交点分布情况。与其它波线的交点个数及交点位置。去掉一个波源,在其他波源和接受源不变的情况下,求出不重复的交点个数和坐标方差。比较去掉波源前后不重复的交点个数,通过这种模型的建立与求解测出在去掉某些波源或接受点时,波前后交点个数,通过这种方法可以测定可以去掉第4个波源。虽然第1个波源交点数较多,但是Y 方差很小,如果去除第1个波源后交点分布很不均匀,所以不去除。这种通过计算方差的方法可通过数据观测出应当去除的地方。关键词:几何排除法方差0-1模型一、问题重述近年来探测物体内部空洞问题愈来愈受到人们的关注。

4、通过探测空洞可以了解物体内部的结构,从而对工程实践提供依据。为工程建设提供理论依据。根据对题目的理解与分析可以解决出空洞的位置从本题可知探测山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定,可以把问题简化为测定一块均匀介质内的空洞位置,一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞,在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源,在它们的对边对等地安放同样多的接收器,记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间,根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度,来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题:一块240(米×240(米的平板(如图,在一边等距地设置7个波源(1,7i P i =

5、,对边对等地安放7个接收器(1,7j Q j =,记录由i P 发出的弹性波到达j Q 的时间ij t (秒;在另一组对边同样等距地设置7个波源(1,7i R i =,另一边对等距安放7个接收器(1,7j S j =,记录由i R 发出的弹性波到达S j 的时间ij (秒。题目中可知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880(米/秒和320(米/秒,且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。需要根据题意的要求接出问题一找出空洞的位置。问题二中通过对问题一的解决推断出只有一组对边的波传播时间是否能确定空洞的位置。然后根据前面的问题解决在确定准确找到空洞位置的前提下是否可以适当减少波源

6、和接收器数量。这样可以减少探测空洞的成本 二、模型假设1、假设所有探测均在同一平面上进行,所谓空洞即平面上一个区域。2、假设对弹性波传播的测量值存在测量误差。3、假设弹性波在传播过程中互不干扰,不发生干涉。4、假设空气密度和介质密度都均匀。5、假设每个小正方形或者全是介质,或者全是空洞。三、符号说明ij L 从i P 到j Q 的总长度ij n 弹性波从i R 到j S 的理论时间ijl 从i R 到j S 的总长度,X Y 方差ij i P 到j Q 的空洞总长度ab K 第a 横行。第b 纵行的方格iji R 到j S 的空洞总长度ab d 第a 横行。第b 纵行的方格的空洞的长度ijM

7、弹性波从i P 到j Q 的实际时间t 误差测量误差ijm 弹性波从i P 到j Q 的理论时间(,x i j 方格所在位置ij N 弹性波从i R 到j S 的实际时i j PQ i jR S 实际时间与标准时间的差值四、问题分析本题中通过根据题目中的数据条件来推测出空洞所在位置,在探测空洞时把要探测的部分简化成一块240240的矩形平板,通过在边缘安放一系列的弹性波发射装置,在发射器的对面安放接收器。通过波在矩形平板中传播时间与理论时间的差值来推断出平板内空洞的位置。本题简化为在矩形平板上平均划分为36个方格,探测各个方格内是否有空洞,已知题目中已有两组实测数据。问题一通过对题意的理解与分

8、析可以通过数据计算出在平板中波传播的最短时间,又因为波在空气中传播的速度小于在介质中传播速度,理论上实际测得数据应该大于波传播最短时间,可是从题目中数据可知很多数据小于理论传播时间,从这可知实际测量存在测量误差,找出表格中最短时间与理论最短时间的差值即可推测出最大误差值,处理表格数据,把实际测量时间超过测量误差的看做在这条波线上有空洞存在,这样就可以把实际测量值与理论测量值的差值小于或等于测量误差波在图中画出,通过分析得出,在图中没有波线通过的网格存在空洞,有这种模型的建立与求解简单明了的探测空洞所在的位置。问题二需要解决如果只选择一组对边波传播情况是否可以确定空洞的位置。解决这个问题可以从问

9、题一中找到一些方法,利用解问题一用到的模型来就解决这一问题,从图中可以看出如果只选择一组对边来确定空洞位置,空洞的位置会与两边确定时很不相同,所以在确定空洞位置时不采用只有一组对边时的情况。当然解决这一问题还可以从另外一个角度假如只选择一组对边,假如有些空洞和AB 边平行就只能确定AB 边方向的位置无法确定具体在哪个方格出现空洞,对于第二问的另一问题要求在不影响探测空洞准确位置的前提下尽量减少波的发射和接收点的数量讨论在同样能够确定空洞位置与其它波线的交点个数及交点位置。去掉一个波源,在其他波源和接受源不变的情况下,求出不重复的交点个数和坐标方差。比较去掉波源前后不重复的交点个数,如果两组数据

10、相差不大表明信息量少预测空洞位置不准确,通过方差就可以确定哪些波源和接收器能够去掉。通过对所建模型分析可以了解所建模型的优缺点,分析比较找出使问题更加精确确定空洞位置的方法。五、模型的建立与求解在对题目中的数据进行分析可知在矩形平板上波传播距离最短是240米,从题目中可知波在矩形介质中传播比在空气中传播速度要快,另外假设可知矩形平板边缘没有空洞,则波传播时间最短:t S最小则依题意可知测得的数据都应该比0.0833数值大。但是从题目中数据可以看出很多测得的数据都小于0.0833S 。假设中测量的数据全部正确,则可以推断出数据测得的必有测量误差,测量误差的确定要从观察表格中数据的知。从表格数据中

11、可知最小数据为0.0583S 。则可以推断出测量误差:t 误差根据测量误差的确定可知在测量时可以有0.025S 的范围浮动,也就是说在这个范围内可以把测量数据看做是正确的可以计算:=0.025340=8ml 最小因为有测量误差的存在可以把实际测量数据与理论相差0.025s 的数据视为正确,所以通过计算可得不超过8m 的空洞视为不存在空洞。题目中实际测得的i j PQ 波传播的时间如下表表一:实际测得的i j PQ 波传播时间表二:实际测得的i j R S 波传播时间ij 1S 2S 3S 4S 5根据题目中的数据计算出弹性波在无空洞平板中的理论值表三:弹性波在无空洞平板中传播的理论值j从表中数

12、据分析可得出实际测量值与理论测量值的差值大于误差值时,就可以得出在这条波所经过的网格上有空洞的存在根据上面表格所示的波传播的实际与理论值的时间可以通过计算机编程计算出每条波与理论值的差值,通过这种方法可以看出那条波线经过的网格存在空洞i P -i j j PQ Q t =理论-t i j i j R S R S =理论即可以通过计算得出i j PQ 、i j R S 的差值如下表所示表四:PQ 波测得的时间与标准时间的差值 表五:R S 波实际测量值与理论测量值的差值 根据以上计算出的时间差值可以建立0-1模型来处理表中数据,即是实际测量时间超过测量误差的波线经过的网格记为0,实际测量时间小于

13、或等于测量误差的波线经过的网格记为1,规则表示如下:0,(,1x i j =实测差值大于测量误差,实测差值不大于测量误差这可以根据波i j PQ 列出网格中空洞存在情况同样的方法可以根据表格中的数据列出矩阵表示i j R S 中空洞存在情况11111以上模型的建立与求解确定了空洞在方格中的存在位置表示0的地方就是空洞所在网格中的位置,下面可以根据网格图形直观的看出空洞的具体所在位置。 图一:空洞所在位置如图所示,根据以上图形可以得出在网格中没有线经过的网格是空洞所在的位置。5.2问题二:模型建立与求解问题二中要求的是通过理解和分析是否在只有一组对波的情况下确定空洞的所在PQ这一组对波时判断空洞

14、所在的位置。由假设可知在网格经过位置如题意可知只知道i j的最短距离都是240m则通过对问题一的解决可知,波传播的时间理论测量最短是PQ这一组对波中最短时间是0.0592,依题意可知在空气中波传播的速度要i j小于在介质中传播的速度。测得的实际值应当大于0.0833S。假设中测得的实际时间数据全部正确,由此可知,测量存在误差:误差根据题目中的实际测量数据和理论测量的差值与测量误差的比较,差值不超过测量误差的说明在这条波线所经过的空格中没有空洞存在,依题意可知把实测时间与理论时间的差值不大于测量误差的波线划到图中。空格即为空洞所在位置 从图中可以看出在只选择一组对边的波来探测未知地方空洞时,根据

15、图中表示的网格中没有线经过的地方即是空洞存在的区域。和问题一中探测到的空洞比较可以看出,选择一组对边时测得的空洞要远远多于选择两组对边时空洞数量。所以在实际测量空洞时不会只选择一组对边来探测空洞位置。对于这个问题还有另一种分析的方法,假如有些空洞和AB边近似平行,以题意只有AB边的波的发射点,可以确定是否有空洞存在也同时可以确定在AB方向的位置,但是无法确定在AD方向的位置。最终还是无法确定空洞的具体位置。综上所述只有一组对边的波存在情况下无法确定空洞的具体位置。5.2.2下面对问题二中另一问题进行建模求解。在这个问题中要求在不影响探测空洞准确位置的前提下尽量减少波的发射和接收点的数量讨论在同

16、样能够确定空洞位置的的前提下,减少波源和接收点器的方法。由分析可以得出,一个波源或接受源是否能预测出空洞所在位置取决于与它相关的波线的交点分布情况。由上诉可分为两个方面:与其它波线的交点个数及交点位置。去掉一个波源,在其他波源和接受源不变的情况下,求出不重复的交点个数和坐标方差。比较去掉波源前后不重复的交点个数,如果两组数据相差不大表明信息量少预测空洞位置不准确。而不重复交点的坐标方差表明交点的分散程度,方差小说明离散程度小,交点集中在一个较小的面积内,使得空洞更为集中并且可靠。综上所述,应该选择交点减少量小的并且方差较大的波源去掉。在去掉这一波源的情况下,再用同样的方法去掉其它波源。对于本题

17、:2221/(1(2.(,17X n x x x x xn x n =-+-+-= 2221/(1(2.(,17Y n y y y y yn y n =-+-+-= 不重复交点数根据上述分析得:这里应去掉第4个波源。虽然第1个波源交点数较多,但是Y -方差很小,如果去除第1个波源后交点分布很不均匀,所以不去除。六、模型检验模型的检验:根据题目中所给的关系,弹性波在从i j i j P Q R S 或从的传播路径中会通过均匀介质和空气两种不同的介质,而且因为在介质和空气中的传播速度不同,以及经过的路程也不同,可以得出弹性波传播时间的方程:2880/320/ij ij ijijL M m s m

18、s -+= 1(2880/320/ij ij ijl Nm s m s-+=(2其中, 1(式为从i j P Q 的弹性波传播方程,(2式为i j R S 的弹性波传播方程式中:ij L =(,1,2,3.7i j =(3 ij l =(,1,2,3.7i j =(4 得到直线65R S 和56R S ,算出可以得出在56R S 通过的区域的空洞长度总长约为40米,而且除了25A 以外,1535455565,A A A A A 均有连线通过,可见仅在方格25A 中存在空洞,且洞径25d 约为40米,同理可以得出53d 约为4米,44d 约为36米,类似的,可以得出其他空洞的洞径。设i j PQ

19、 或i j R S 之间的弹性波通过方块区域ab A ,则洞径为ab d 。直线45R S 和54R S :3444(8787/287d d m +=+=直线23P Q 和32PQ :222325(128118/2123d d d m +=+=直线43P Q 和34PQ :323343(119115/2117d d d m +=+=直线25R S 和32R S :2233(7285/278.5d d m +=+=直线17PQ 和17R S :223344(161163/57.3d d d m+=+ 解得的每个空洞大小平均都在40米左右,计算结果都大于测量误差,且所有空洞都与原方法相符,所以结果

20、合理,空洞即22242533343544,A A A A A A A 七、模型的评价与改进模型的优点:通过将0-1矩阵法,结合概率的知识,将本来不规则的空洞先忽略其形状和大小,纯粹地先将其位置判断出来。之后在模型的检验中,根据弹性波在介质和空气中传播速度的不同,估算出空洞的大小。这样分次计算,既可以检验第一步的正确性,又可以进一步计算空洞大小。,模型直观,计算简单。这一建立的01-模型,具有较好的实际可操作性.对于山体、遂洞、坝体等某些内部结构的测定,由弹性波的时间数据,用我们的01-模型来确定,效果较好,有一定的应用价值。模型的缺点:01-矩阵法是将将整个介质划分为36份,范围较大,而且对于

21、跨区域的有些不规则空洞可能无法探测到,存在着较大的局限性。第二步估算的空洞大小也仅是沿弹性波方向上的长度,而无法判断其形状,也就无法进一步判断其大小了在建模时对于误差原因的分析过于主观,忽略了空洞的所有可能的分布情况和不同的接收器系统误差不同。在解决本问题中,对于我们所采用的几何排除模型,虽然方法比较粗糙,但在对问题的求解上比较简单,而且比较易于理解;但还存在的问题是我们得到的结果,虽然在理论上可以解决,但结果还不够精确,存在的误差较大。模型的改进:对误差尽量客观分析,比如对每一个接收器来自7个波源的弹性波作用的时间进行单独的误差分析。然而对于本文建立的模型来说,依然不能改变空洞探测的不确定性

22、,不能确定空洞的具体大小,也不能肯定哪个单位的面积内必有空洞,所以我们可以对模型对如下改进,将各边的六等分改为更多等分,加大其精确度,但由于可测空洞的最小值为8米,因此也不能无限加大,在对其进行求解。八、模型推广该模型主要适用于分辨不同物质的分布,可以应用的范围很广。大,可以勘探地形,寻找矿物,小,则可以鉴定物质密度,探查人体结石。不过随着在模型的物质种类的增加,模型也必须随之复杂化以符合各物质的特性。不仅可以对山体、隧道、坝体等的某些内部结构的测量,也可以运用到对石料,建筑材料等内部结构的测定。九、参考文献 中国数学协会, 数学的实践与认识, 1998 年 朱道远, 数学建模精品案例, 东南

23、大学出版社 ,1999 年 宋来忠,王志明, 数学建模与实验 ，科学出版社, 2005 年 10 十、附录 x=240; for i=1:7 for j=1:7 A(i,j=x*sqrt(62+(i-j2/6 end end disp(A; B=A/2880 A= 240.0000 243.3105 252.9822 268.3282 288.4441 243.3105 240.0000 243.3105 252.9822 268.3282 252.9822 243.3105 240.0000 243.3105 252.9822 268.3282 252.9822 243.3105 240.0

24、000 243.3105 288.4441 268.3282 252.9822 243.3105 240.0000 312.4100 288.4441 268.3282 252.9822 243.3105 339.4113 312.4100 288.4441 268.3282 252.9822 B= 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.1085 0.1179 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.1085 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.

25、0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 312.4100 339.4113 288.4441 312.4100 268.3282 288.4441 252.9822 268.3282 243.3105 252.9822 240.0000 243.3105 243.3105 240.0000 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.1179 0.1085 0.1002 0.0932 0

26、.0878 0.0845 0.0833 C=0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 D=0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 0.3456 0.3205 0.0974