实变函数论课后答案解析第四章

1、* *实变函数论课后答案第四章 1第四章第一节习题1. 证明： e 上的两个简单函数的和与乘积都还是e 上的简单函数nmnmi证明：设fcie (x) ， gdifi (x) ，这里ei i1 互不相交，fii 1i 1i 1互不相交令k ijeifj ， 1in,1jmaijcid j ， 1in,1jmnmnm则易知fgcie(x)d jf( x)(cid j )ef ( x)ijiji 1j 1i 1 j 1先注意：若mkk i，k i 互不相交， 则k ( x)mik ( x)（ mi 1i 1可为无穷大）（ xk ， i 使xki ，ik ( x)1k ( x) ，xk ,k ( x

2、)0 ， 且 i ， xki 则k i ( x)0 ）mmmmiijijijij且 e( e(f )(e(f )c )(ef)(e(f ) c)j 1j 1j 1j 1e (x)m( x)mm( x)ef ( x)m(x)i( ef)(e(f )c )j 1i( e(f ) c )ijijijj 1j 1j 1同理：nf (x)ef ( x)m(x)jijf(e )ci 1jii 1nmifgcie ( x)jdjf ( x)i 1j 1nmmnci (i 1j 1eifj( x)me (f(x)ijji)cd j (j 1i 1eif j( x)mf (e )c( x)j 1i 1nmnmi

3、 1 j(ci1d j )eifj(x)cii 1em(f )c( x)d jj 1fm(e ) c( x)ijjij 1i 1这显然还是一个简单函数，因为若(i,j )( k,l ) ，则( eifj )(ekfl )mm( e(f ) c)( e(f ) c )，（ ik ）ijkjj 1j 1jiklmm( f(e ) c)( f(e ) c)，（ jk ）i 1i 1mm( e(f ) c)( f(e )c )，（ i, k ）ijkij 1i 1( ef)( emijij(f ) c)，j 1显然，e ( x)f ( x)ef (x) ，iiiiiiij事实上，xeifj ，e (

4、x)f (x)1e ( x)f ( x)若 xeifj ,xei 或xfi则 e ( x)f (x)0ef (x)iiijnmnmfg(cie( x)(djf( x)ci d je( x)f (x)ijiji 1j 1i 1 j 1nmci d jejf ( x)ii 1 j 1当(i , j )( k,l ) 时( eif j )( ekfl )(eifk )(e jfl )则 fg 也是简单函数ar1，显然af ( x)naciei ( x) 仍为简单函数i 12. 证明当f ( x) 既是e1 上又是e2 上的非负可测函数时，f ( x) 也是e1e2上的非负可测函数证明：显然f ( x

5、)0 于e1 ，且f ( x)0 于e2 表明f ( x)0 于 e1e2又 ar1 ， e1e2 x |f (x)ae1x | f ( x)ae2x | f ( x)a由于 f 在e1 ，e2 上分别可测， e1x| f (x)a 和e2x | f ( x)a均 为 可 测 集 ， 从 而 由p61推 论2，e1 x |f (x)ae2x | f ( x)ae1e2x | f ( x)a为 可 测 集 ， 再 由p101th1 知 f 在 e13. 设 me，e2 上可测或直接用 p104th4 的证明方法 .f ( x) 是e 上几乎处处有限的非负可测函数，证明对0 ，都有闭集fe ，使m

6、( ef )，而在 f 上f (x) 是有界的证明：令 e0e x |f (x)0， ee x |f (x)e，由条件 f 在 e 上几 乎 处 处 有 限 ， me0. 由f ( x)可 测 于 e上 知 ，e0e x |f ( x)0e x |f (x)0是可测集（ p103th2,p64th4可测集的交仍可测） 令ee x;0f ( x)， akex;1kf ( x)k，则akex;f (x)kex; 1f (x)可测， ea ，且kakak 1kk 1由 p64th5m(e)limkmak，而 me，则m(e )故0 ，k0使 0m( e )mak，而 ak02e 故m( eak )0

7、20k0由 e0 ， a可测， 闭集 f1ak，m( akf1)， 闭集 f08e0 使00m( e0f0)8令ff1f0 ，则 f 为闭集，且在 f 上 0f (x)k0由于 ef， efee0efe( e0ef )又e0efe0ef0f(e0f0 )(ef1)而ef1(eak )( akf1) ，故00m( ef )mem( e0ef0f )0m( e0f0)m( ef1)0m( eak )8m( akf1)82842证毕.04. 设f n ( x)是可测集合 e 上的非负可测函数序列，证明：如果对任意0，都有me x |n 1f n( x)，则必有 limfn (x)0a.e于 en又问

8、这一命题的逆命题是否成立？证明：fn (x) 非负可测，令 e0e x | limnfn (x)0则由 ch1. §1 习题 8 的证明方法：（ p11, 见前面的习题解答）x | f ( x)0e0ex |1fm (x)k 1 n1 m nk（一般，ex | limf n( x)f ( x)ex |fm (x)1f ( x) |）nk 1 n1 m nk在本题的假设下，我们需证m( ee0 )0由 demorgan 公式c11ee0ex |fm (x)eex | f m ( x)k 1 n1 m nkk 1 n 1 m nk（ fm (x) 可测，故ex |f m( x)1为可测集

9、）k故而 m(ee0 )mex | fm ( x)k 1n 1 m n1k所以我们只用证k, mex | fm ( x)1k0n 1 mnk,nnmex | f ( x)m1kmex | f ( x)m1kex | f ( x)mn 1 m nm nm n1k由于me x | f ( x)n，故 limex | f(x)1k0n 1nmm nmex | f ( x)m1klimnex | f (x)m1k0n 1 m nm n故m( ee0 )0 得证，即 lim f n( x)n0a.e 于 e逆命题一般不成立e x | f n( x)的必要条件是n 1nlim e x | f n( x)0

10、当 me时， f n ( x)f ( x) 不能推出 f n( x)f ( x) 于e（ 0, n1 于 r1 ，但0, n不1 于 r1 ）当 me时， fn (x)f (x)a.e于 e ， f n( x)f ( x) 于e但不能保证e x | fn ( x)n 1设 me， f ( x) 在 e 上 非负 可 测 ， 证 明对 于 任 意 y ，ye x | f ( x)y都是可测的，进而证明使mey0 的 y 最多有可数5e多个证明：因为f ( x) 在e 上可测， p103,th2yr1, e x | f( x)y都是可测集，从而e x |f (x)ye x | f( x)ye x

11、|f (x)y 也是可测集显然，e x | me0yyk1e x | me1 k下证： kn ， e x| mey1 要么是空集，要么是有限集k1事实上， 若 k0使e x | mey 为无限集， 则由 p18,th1, 存在可k0数集y1, y2, yn,1e x | mey k0ij由于 yiy j 时eyey，ie ye ，i 1mem(ie yi )1meyii 11矛盾i 1 k06. 证明：如果f ( x) 是rn 上的连续函数， 则f ( x) 在rn 任何可测子集e 上都可测 .证 明 ：ar1， 则 从f ( x) 是rn 上 的 连 续 函 数 ， 我 们 易 知af x

12、| xrn,f (x)a 是开集.事实上若x0fa ，f ( x0)a则从 fc( rn )，0 使xb(x0,) ，f ( x)f (x0)(af( x0 )a则b( x0 ,)fa ，故fa 是开集，从而可测 .而e 可测，故 e x |f ( x)a fae 作为两个可测集的交也可测，这说明 f ( x) 在e 上可测（ p103,th2 ）.7. 设f ( x) 是r1可测集 e 上的单调函数，证明f ( x) 在 e 上可测.证明：不妨设f ( x)在 e 上单调不减，即x1, x2e ，若 x1x2 ，则f ( x1)f (x2)ar1 ，我们来证明 e x |f (x)a 是可测

13、集，这样由本节定理 2 知 f (x) 可测于 e （ p103 ）.a若ar1 使得 e x |f ( x)a，则显然ea 可测若ar1 使得ea，此时若令 y0sup ea ，则要么y0，要么 y0（1） 若 y0， 则 m ,mymea ， 故xe,m x 使xy mxea ，由 f ( x)在 e 上单调不减，我们有f ( x)f ( ym )a ，即eeae ，x从而 eae 为可测集（2） 若 y0，则要么 y0e ，要么 y0e若 y0e ，则f ( y0 )a ，此时 xe(, y0) ，yxea , xyxy0， 由f (x)单 调 不 减 于 e知 ，f ( x)f ( y

14、x )a故e(, y0 )ea ，而 y0ea ，从而有e(,y0eae(, y0 ，故 eae(,y0为可测集.若 y0e ，而f ( y0 )a ， y0ea ，则 x(, y0 )e ，yxea , xyxy0 xyxy0 ，f ( x)f ( yx )a则(, y0)eea(, y0)e即ea(, y0)e 为可测集 .若 y0e ，则 y0ea ，同样可证 eae(, y0)e 可测.若 f ( x) 单调不增，则f ( x)在 e 上单调不减，从而可测，故(f ( x)f (x)在e 上可测.8. 证明rn 中可测子集 e 上的函数f (x) 可测的充要条件是存在 e 上的一串简单

15、函数m ( x) 使f (x)limmm (x)（ xe ）证明：（ 1） e 上的简单函数是可测的；设 ( x)micie( x) 为 e 上的简单函数，meei , ei 互不相交， eii 1i 1为e 的可测子集， 易知，i ,e (x)是可测的（f (x) 可测f 是可测集）i故由 p104th5 ， ciei ( x) 可测，micie ( x)i 1可测，由此， 若 存在 e 上 的一 串简 单函数m (x) ，f ( x)limmm (x)（ xe ） 则从m (x)可测，且 limm (x) p107 推论 2，f ( x) 在 e 上可测m（2 ）若f ( x) 可测，则由

16、 p107th7 ， f, f都是非负可测的，故由定义存在简单函数列n ( x) ，n (x)，（ n1,2,）， n( x)f( x) ，n ( x)f( x)（ xe ）显然，n ( x) 也是简单函数， 由本节第一题，n ( x)n ( x)n ( x) 仍为简单函数，且12n( x)f (x)（ xe ）.证毕.9. 证明：当f1 (x) 是erp ，f2 ( y) 是erq中的可测函数，且f1(x)f 2( y) 在ee1e2 上几乎处处有意义时，f1 (x)f 2( y) 是e 上的可测函数.p证明：（ 1）若erp ， frq 分别是rp ， rq 中的可测集，则函数ar1 ，f

17、 ( x, y)e ( x)f ( y) 是 rrq 上的可测函数，事实上，若a0 ，则 ( x, y)rprq |f ( x, y)arprq 是可测集若a1 ，则 ( x, y)rprq |f (x, y)a是可测集若 0a1，则 (x, y)rprq| f (x, y)aef 是可测集（ p72th1 ）(1) 推出 (2):cr1 , erp 可测, frq 可测，则c e ( x)f ( y)在rprq 上可测.现在来证明本题结论：f1(x) 在e1上可测， 故由本节第 8 题结论， 存在e 上的简单函数列( x)mna(n )( n) ( x) ，mnee( n)，1niei1ii

18、 1i 1ije( n)e( n )（当ij ）使 得 n (x)f1( x) ，xe1同样，从f 2 在e2 上可测知，存在e2 上的简单函数列n ( y) ，使n ( y)f2 ( y) 于e2 上.从上述（ 1 ）（ 2 ）知，n ( x)( y) 在rprq 上可测，且nn ( x)n ( y)f1( x) f 2( y) 于 e1e2 上12由上 p107 推论 2 知f (x) f( y) 在rprq 上可测.证法二（更简单）将f1 (x) ，f 2( y) 看成 (x, y) 的函数121112ar1， ee( x, y) | f(x)ae( x, y) |f ( x)ae111

19、12从 f (x) 在e 上可测知， e(x, y) |f ( x)a 为rp 中的可测集， e 可测，故e( x, y) |f ( x)ae 为rprq 中的可测集，故 ee(x, y) |f ( x)a112121为rprq 中的可测集，则f1( x) 作为ee1e2 上的函数是可测的同理，f2 ( y) 在e 上也可测， p104th5得f1 (x)f 2( y) 在e 上也可测.10 证明：如果f ( x) 是定义于rn 上的可测子集 e 上的函数，则f (x)1在e 上可测的充要条件是对r1中 borel 集合 b ， f1( b)e x |f ( x)b都是 e 的可测子集，如果f

20、 ( x) 还是连续的，则 f( b) 还是 borel 集（提示：用b1 表示r1 中那些使f1( b) 是 e 上的可测子集的 b 所构成的集111合族，比较b 和r1 中的 borel 集合类 b ）.证明：记 b1br | f(b) 是e上的可测子集，我们来证明b1 是一个 -代数1） ）b1 ： f1()显然是 e 的可测子集2） ） 若 ab1 ， f1( a) 是e 的可测子集，则f 1( ac )f 1(r1a)f1(r1)f1( a)ef 1( a)也是 e 的可1测子集（ p61 推论 1）则 acbi3） ） 若 aib1 ，（ i1,2,）则 i ， f1( a )是e

21、 的可测子集，iif 1 (a )f 1 ( a ) 也是 e的可测子集，故abi1i 1i 1i 1故 b1 是一个 - 代数现在，若 f : er1 是一可测函数，则1f(a,b)e x | af(x)be x |f (x)be x | af(x)是为可测集（则(a, b)e x |b1f (x)b ， e x | af ( x) 都是可测集（ p60th2 ）1故b1 包含所有的 r 上的开集（由一维开集的构造） ，从而包含所有的 borel 集，这就证明了borel 集， f1(b) 是e 的可测子集1反过来，若borel 集， f(b) 是 e 的可测子集，则由于ar1 ，(, a)

22、 为开集，故是 borel 集知 f1 (,a)e x |f (x)a 为可测集， 故f 是e 上的可测函数 .令b22ab , acbr1 | fb2 ；1(b)为borel集，则一样： （ 1 ）b2 ；（ 2 ）（3 ）a1, a2 ,b2 ,aii 1b2 ，故b2 也是一个 - 代数若 f 连续，则 (a, b)（ a,br1） f1(a, b) 是开集（相对于e ）,从而是 borel 集，故 (a,b)b2 ，从而b2 包含所有的 borel 集，1故 borel 集 b ， f(b) 同样为 borel 集若 f : rnrn 的同胚，则 f 将borel 集映为可测集11 设

23、f (x) 是e 上的可测函数，g ( y) 是r1 上的连续函数， 证明： gf ( x)是e 上的可测函数（注意：如果f (x) 在rn 上连续，g ( y) 在r1上可测，g f( x) 未必可测，特别是f ( x) ， g ( y) 都可测时，g f ( x) 未必可测）r证明： a1 ，从 g 连续知， 1) 显然为r1 上的开集，由r1 上g( a,的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造）， 至多可数个互不相交的开区间i n 使 gmn1 (a,)in 1（ m 有限或）mm而 f1 保持集合关系不变，即f 1 (ni n )11f( i n )n

24、 1，而 f 可测，1故 f(imn) 可测，故 f1(i n) 可测，从而有n 1e x | g( f (x)a(gf )1(a,)f 1 (g1( a,)f1(mmi n)f 1( i )nn 1n 1可测，故 gf (x) 是 e 上的可测函数存在反例：实分析中的反例 ，可测函数 f 和连续函数 g 构成不可测的复合函数 fg设e 是0,1 中具有正测度的 cantor 集，令( x)m(0, x(0,1e )（无处稠密完备集m(0,1e)p70, 习题 1 ）则 是由0,1 到0,1 上的一个同胚映射， p54 习题 3 的证明过程中（见周民强书 p84 ），已知，若 m* e，ea,

25、b ，m* (0, xe) 是 a, b上的连续函数故 从 0,1e0,1 知 ，( x)m(0, x(0,1e )是 连 续 函 数 ：m(0,1e)0,10,1(0)0,(1)1 且 是严格递增的因e 是完备集，故 e 是自密闭集， 0,1e 是相对开集（或ec 是开集），0,1e0,1ec ， 0,1ec 是开集x, y0,1 ， yx( y)( x) m(0,y(0,1e )m(0,x(0,1e)1 m(0,1e)1 m(0,1m( x,e)y(0,1e )1 m(0,1m( x, y)(0,1)e)e )注意： e 是无处稠密 集， 故 z(x, y)， 使 ze ， z(0,1)e ，z( x, y)(0,1)e)由于 (x, y)(0,1)e) 为开集，故0 ，使(z, z)(x, y)(0,1e)则 m( x, y)(0,1)e)m(z, z)20故 ( y)( x) ，即 ( y) 严格单调，从而 0,1 到0,1 上的一个同胚映射设 (0,1)e 这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，(0,1)e(k ,k ) ，从而m(0,1e)m(0,1)e)(kk ) ，又因为k 1k 1(k )(k )m(0,k (0,1e