数理统计 方差分析1课件

1、1第四章 方差分析 1.单因素方差分析2.双因素方差分析2方差分析方差分析 前面已经讨论两个均值相等的假设检验前面已经讨论两个均值相等的假设检验问题，但在统计分析与决策中，常常遇问题，但在统计分析与决策中，常常遇到两个以上均值是否相等的判断与检验到两个以上均值是否相等的判断与检验问题，这便需要通过方差分析来解决。问题，这便需要通过方差分析来解决。 方差分析是一种实用的统计方法，一般方差分析是一种实用的统计方法，一般按误差来源作平方和分解，再将因素平按误差来源作平方和分解，再将因素平方和、误差平方和、总平方和作比较分方和、误差平方和、总平方和作比较分析。析。31 单因素方差分析单因素方差分析 方

2、差分析的最基本的形式就是单因素分方差分析的最基本的形式就是单因素分析。单因素方差分析可用于检验两个以析。单因素方差分析可用于检验两个以上的总体均值相等的原假设。假定检验上的总体均值相等的原假设。假定检验总体均值是正态分布，总体方差是相等总体均值是正态分布，总体方差是相等的，并且随机样本是相互独立的。的，并且随机样本是相互独立的。41 单因素方差分析问题例例 某公司想对新销售人员进行不同的销某公司想对新销售人员进行不同的销售培训，为了比较它们的有效性，随机售培训，为了比较它们的有效性，随机选择了三组销售人员，每组五人。一组选择了三组销售人员，每组五人。一组接受接受A A课程销售训练，一组接受课程

3、销售训练，一组接受B B课程销课程销售训练，另一组售训练，另一组C C没有参与任何训练。没有参与任何训练。当前两组的训练课程结束时，收集训练当前两组的训练课程结束时，收集训练后两个星期内的各组销售人员的销售记后两个星期内的各组销售人员的销售记录如下：录如下：5方差分析原始数据方差分析原始数据A课程课程B课程课程C(无课程无课程)2058217634492517944333927773020243730672228257812272044168167结论：结论： 从上表可以看出，各组样本数据差从上表可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是异较大，尤其是C C组与组与A A、B B组的均组的均值具有

4、一定的差异。这是否说明教值具有一定的差异。这是否说明教育训练会影响销售业绩呢？当然这育训练会影响销售业绩呢？当然这种差异也许是由于随机因素所造成，种差异也许是由于随机因素所造成，所以需要进行统计检验。所以需要进行统计检验。82 检验模型检验原理检验原理 假定三组数据分别是来自三个相互独立假定三组数据分别是来自三个相互独立的正态总体，且方差相等，观察值是分的正态总体，且方差相等，观察值是分别从总体中随机抽取的样本，则可以通别从总体中随机抽取的样本，则可以通过三个总体均值是否相等的检验，判断过三个总体均值是否相等的检验，判断培训作用效果。培训作用效果。 应用方差分析时要符合两个前提条件：应用方差分

5、析时要符合两个前提条件：一是各个水平的观察数据要能够看作是一是各个水平的观察数据要能够看作是从服从正态分布的总体中随机抽取的样从服从正态分布的总体中随机抽取的样本，二是各组观察数据，是从具有相同本，二是各组观察数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取的。方差的相互独立的总体中抽取的。 9建立假设：建立假设： 原假设：原假设： H0：m m1= = m m2 = = . . = = m mr 备择假设：备择假设： H1：m mi (i=1,2, . . ,r)不完全相等不完全相等10F统计量：统计量：212212)/() 1/(SSrnQrQF=其中其中Q1是组内误差是组内误差(因素平方和因

6、素平方和)；Q2系统误差，被称为组间离差平方系统误差，被称为组间离差平方(误差平方和误差平方和)。使用使用F统计量进行方差分析检验。统计量进行方差分析检验。11判断原理：判断原理： 若若Ho成立，表明没有系统误差，各成立，表明没有系统误差，各总体的样本均值之间的差异是由随总体的样本均值之间的差异是由随机原因产生的，则机原因产生的，则Q1与与Q2的差异不的差异不会太大；若会太大；若Q1显著地大于显著地大于Q2，说明，说明各组均值之间的差异与抽样误差显各组均值之间的差异与抽样误差显著不同，即差异不是由随机原因产著不同，即差异不是由随机原因产生，这种情况下，生，这种情况下，Ho可能不成立。可能不成立

7、。F统计量就是方差分析中判断统计量就是方差分析中判断Ho是是否成立的检验统计量。否成立的检验统计量。123单因素方差分析的统计分析单因素单因素A有有a个水平个水平A1 , A2, . . , Aa ,在水平在水平Ai (i=1,2, . . ,a)下下,进行进行ni次独立试验，次独立试验，试验指标的观察值为：试验指标的观察值为：13统计分析试验次数试验次数因素水平因素水平 12. .niA1x11x12. .x1niA2x21x22. .x2ni. . . . . .Aixi1xi2. .xini. . . . . .Aaxa1xa2. .xani14统计分析在水平在水平Ai (i=1,2,

8、. . ,a)下下 的样本为的样本为Xi1 , Xi2 , . . , Xini ,来自总体来自总体XiN(m mi, 2)线性统计模型为线性统计模型为=相相互互独独立立随随机机误误差差ijijiijiijNnjaix m m, ), 0(, 2 , 1, 2 , 1,215统计分析总平均值总平均值第第i个水平个水平Ai的效应的效应 i = m mi - -m m显然有显然有线性统计模型变为线性统计模型变为=aiiaiiinnnn11,1其其中中m mm m01=aiiin =), 0(2 m mNxijijiij16统计分析方差分析：就是检验线性统计模型中方差分析：就是检验线性统计模型中a个

9、个 总体总体N(m mi, 2)中各中各m mi的相等性的相等性原假设：原假设： H0：m m1= = m m2 = = . . = = m ma对立假设：对立假设：H1：m mi m mj,至少有一对至少有一对i,j假设等价于：假设等价于： H0： 1= = 2 = = . . = = a=0 H1： i 0 0,至少有一个至少有一个i17统计分析1).1).总平方和分解总平方和分解在在水平水平Ai下的样本均值下的样本均值样本数据的总平均值样本数据的总平均值总离差总离差平方和平方和=injijiixnx11=ainjijixnx111=ainjijTixxS11218统计分析 =ainjii

10、jiainjainjiijiainjiijiTiiiixxxxxxxxxxxxS11111122112219统计分析0222111111=ainjiiijiainjiijiainjiijiiiixnxxxxxxxxxxx20统计分析记记则则ST= SA + SE ST称为总变差称为总变差 SA称为因素称为因素Ai效应平方和效应平方和 SE称为误差平方和称为误差平方和=ainjiijEainjiAiixxSxxS11211221统计分析2).2).统计分析统计分析若若H0真，则真，则xijN(m m, 2)1),1() 1(11) 1(222211222112=nSnSnSxxnSSnxxSTT

11、ainjijainjijTii自自由由度度为为 22统计分析=aiiaiiiEiiinjiijiiaiiiainjiijEnSnSnSnxxnSSnxxSii12122222212212112) 1() 1() 1() 1(11) 1( 23统计分析即即=aiaiiiiiainjiAEEEEExnxnxxnxxSanSEanSEanSEanSanSi1122211222222,)()(, 的的自自由由度度为为24统计分析 222222222222,m mm mm mm mm mm m =niniiinniiinniixExDxExExDxExDxExDxENxNxiii25统计分析 2121122221221221221222) 1()(22m m m mm m m m m m m mm m nnnnannannxnExEnxnxnESEaiiiaiiiaiiaiiiaininiaiiiaiiiAi=26统计分析由于由于所以所以在在H0： i=0成立的条件下：成立的条件下：可证可证0,11=aiiiaiinnn =aiiiAnaSE122) 1()( 221,) 1()( =aSEaSEAA1,) 1(22aSaSAA自自由由度度为为 27统计分析记记对于给定的对于给定的 ，查出，