数模竞赛中部分几何物理问题解析课件

1、数模竞赛中部分几何物理问题解析数模竞赛中部分几何物理问题解析谭劲英谭劲英14/07/181. CUMCM-1995A： 一个飞行管理问题一个飞行管理问题 2. CUMCM-2000D： 空洞探测空洞探测3. CUMCM-2010A： 储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定CUMCM-1995A：一个飞行管理问题：一个飞行管理问题 在约在约10000m高空的某边长高空的某边长160km的正方形区域内，经常有的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架

2、欲进入该区由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并域的飞机到达边界区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架算如何调整各架(包括新进入的包括新进入的)飞机飞行的方向角，以避免碰撞。飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：现假设条件如下： 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km； 2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；度；

3、3)所有飞机飞行速度均为每小时为所有飞机飞行速度均为每小时为800km； 4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在离应在 60km以上；以上； 5)最多考虑最多考虑6架飞机；架飞机； 6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过方向角误差不超过0.01度度)，要求，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。飞机飞行方向角调整的幅度尽量

4、小。 设该区域设该区域4个顶点坐标为个顶点坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为：记录数据为： 飞机编号飞机编号 横坐标横坐标x 纵坐标纵坐标y 方向角方向角(度度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入新进入 0 0 52注：方向角指飞行方向与注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。轴正向的夹角。初始位置：初始位置： 时刻时刻t飞机的位置：飞机的位置：两架飞机的距离（平方）：两架飞机的距离（平方）：两架飞机不碰撞的条件两架飞机不碰撞的条件222)

5、()()(tjttjtijyyxxtrii ,sin,cos00iitiitivtyyvtxxi 064)()(2 trtfijij（0 t Tij） Ti为第为第i架飞机飞出区域的时刻：架飞机飞出区域的时刻：不碰撞条件：不碰撞条件：000),(iiiyx iii 0不必考虑在区域外的碰撞！不必考虑在区域外的碰撞！两架飞机都在区域中的时间：两架飞机都在区域中的时间：),min(jiijTTT 00000000000000000000tan,223tan,23,sin,tan,23tan,2,cos,tan,2tan,20,sin,tan,223tan,20,cosiiiiiiiiiiiiiii

6、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixDyorxyifvyxyorxyDifvxxyDorxDyDifvyDxDyorxDyDifvxDT 具体来看，第具体来看，第i架飞机在区域内的时间：架飞机在区域内的时间：飞机飞出区域的时刻飞机飞出区域的时刻0 i.)(2ijijijijijczbztf 整理：整理： fij(t)的最小值的最小值 (- bij2 / 4 + cij ) ；此时；此时其中：其中： .2sin4*jiijijvbt 不碰撞条件的等价表述不碰撞条件的等价表述 最后，优化模型为最后，优化模型为 0*ijt若fij(t) 大于等于肯定成立大于等于肯定成立ijijTt

7、 *若fij(t) 大于等于等价于大于等于等价于0)(ijijTfijijTt *0若fij(t) 大于等于等价于大于等于等价于0)(*ijtfij, 042ijijcb000),(iiiyxiii0.61iiMin其他目标：其他目标：调整后的方向角：调整后的方向角： 总的调整量最小：总的调整量最小： |max6,.,1iiMin最大调整量最小：最大调整量最小： 初始位置与方向角：初始位置与方向角： 山体隧道坝体等的某些内部结构可用弹性波测量山体隧道坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。简化问题可叙述为，一块均匀介质构成的矩来确定。简化问题可叙述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空

8、气的空洞。形平板内有一些充满空气的空洞。 在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在他们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波他们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间。根据弹性由每个波源到达对边上每个接收器的时间。根据弹性波在介质和在空气中不同的传播速度来确定板内空洞波在介质和在空气中不同的传播速度来确定板内空洞的位置。的位置。CUMCM-2000D：空洞探测：空洞探测具体问题：具体问题： 一块一块 240(米米)240(米米) 的平板的平板ABCD： 在在AB 边等距地设置边等距地设置 7 个波源个波源P

9、i (i=1,7)，在，在 CD 边等距地设置边等距地设置7个接收器个接收器Qj (j=1,7)，记录由，记录由 Pi 发出的弹性波到达发出的弹性波到达 Qj 的时间的时间 tij(秒秒) ； 在在AD 边等距地设置边等距地设置 7 个波源个波源Ri (i=1,7)，在，在 BC 边等距地设置边等距地设置7个接收器个接收器Sj (j=1,7)，记录由，记录由 Ri 发出的弹性波到达发出的弹性波到达 Sj 的时间的时间 ij(秒秒)。 已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880(米米/秒秒)和和320(米米/秒秒)，且弹性波沿板边缘的传播，且弹性波沿

10、板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。速度与在介质中的传播速度相同。CBADP2Q4R3S6TP=(tij)tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7P1 .0611 .0895 .1996 .2032 .4181 .4923 .5646P2 .0989 .0592 .4413 .4318 .4770 .5242 .3805P3 .3052 .4131 .0598 .4153 .4156 .3563 .1919P4 .3221 .4453 .4040 .0738 .1789 .0740 .2122P5 .3490 .4529 .2263 .1917 .0839 .1768 .1810

11、P6 .3807 .3177 .2364 .3064 .2217 .0939 .1031P7 .4311 .3397 .3566 .1954 .0760 .0688 .1042TR=(ij)ij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7R1 .0645 .0602 .0813 .3516 .3867 .4314 .5721R2 .0753 .0700 .2852 .4341 .3491 .4800 .4980R3 .3456 .3205 .0974 .4093 .4240 .4540 .3112R4 .3655 .3289 .4247 .1007 .3249 .2134 .1017R5 .31

12、65 .2509 .3214 .3256 .0904 .1874 .2130R6 .2749 .3891 .5895 .3016 .2058 .0841 .0706R7 .4434 .4919 .3904 .0786 .0709 .0914 .0583要求：要求：(1) 确定该平面内空洞的位置。确定该平面内空洞的位置。(2) 只根据只根据Pi发出的弹性波到达发出的弹性波到达Qj的时间的时间tij 能确定能确定空洞的位置吗？讨论在同样能够确定空洞位置空洞的位置吗？讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接收器的方法。的前提下，减少波源和接收器的方法。分析：分析： 弹性波沿平板边缘的理论传播

13、时间：弹性波沿平板边缘的理论传播时间： t=240/2880=0.0833(秒秒) 弹性波沿平板边缘的实际传播时间：弹性波沿平板边缘的实际传播时间： t11=.0611, t77=.1042, 11=.0645, 77=.0583 题目中已假设题目中已假设“弹性波沿板边缘的传播速度与弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同在介质中的传播速度相同”。观测数据的最大绝对。观测数据的最大绝对误差为误差为d=0.025秒。可以认为，秒。可以认为，0.025*320 = 8 (米）米）以下的空洞是探测不出的。以下的空洞是探测不出的。假设假设1. 观测数据有测量误差。观测数据除测量误差外是可观测数

14、据有测量误差。观测数据除测量误差外是可靠的。靠的。2. 波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反射、折射以及干涉等现象。射、折射以及干涉等现象。3. 空气密度和介质密度都均匀。空气密度和介质密度都均匀。4. “弹性波弹性波”在传播过程中没有能量损失。其波速仅与在传播过程中没有能量损失。其波速仅与介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。弹性波介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。5. 假设平板可划分化为网格，空洞定位于每个网格单假设平板可划分化为网格，空洞定

15、位于每个网格单元内，空洞大小大致相同。元内，空洞大小大致相同。波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 (k,l) ; 521 20,; 71 1 ,40kjikjikjikjikbijkl，且且或或如如果果或或如如果果记波源记波源Pi与接收器与接收器Qj 决定的决定的波线与每个单元（波线与每个单元（k，l）的）的交线长度为交线长度为bijkl i=j 时，时，123456654321PiQj 决定的直线方程：决定的直线方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情况以外的情况单元单元(k,l)左边缘直线方程左边缘直线方程 x = 40(k-1)波线与单元波线与单

16、元 (k,l) 左边缘对应交点的左边缘对应交点的 y 坐标为坐标为 y1ijkl = 240(k-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k-i)/(j-i) l (k,l)波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 PiQj 决定的直线方程：决定的直线方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情况以外的情况单元单元(k,l)右边缘直线方程右边缘直线方程 x = 40k波线与单元波线与单元(k,l)右边缘对应交点的右边缘对应交点的y坐标为坐标为 y2ijkl = 240(k+1-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k+1-i)/(j-i) l (k,l)波

17、线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 PiQj 决定的直线方程：决定的直线方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情况以外的情况单元单元(k,l)下边缘直线方程下边缘直线方程 y = 40(l-1)波线与单元波线与单元(k,l)下边缘对应交点的下边缘对应交点的y坐标为坐标为 y3ijkl = 40(l-1)， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)(l-1) 6 (k,l)波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 PiQj 决定的直线方程：决定的直线方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情况以外的情况单元单元(k,l)上边

18、缘直线方程上边缘直线方程 y = 40l波线与单元波线与单元(k,l)上边缘对应交点的上边缘对应交点的y坐标为坐标为 y4ijkl = 40l， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)l 6 (k,l)波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 交线在交线在y轴的投影长度轴的投影长度(交点条件最多只有交点条件最多只有2个成立个成立)i=j 以外的情况以外的情况dyijkl= max(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) - min(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形关系由相似三角形关系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,

19、l)bijklEFGbijkl = aij dyijkl / 240 )(624024022jiaiji=j 也成立也成立波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 由对称性，由对称性，RiSj与单元与单元(k,l)的交线长度的交线长度ci,j,k,l= bj,i,l,7-k波线与网格交线长度的计算波线与网格交线长度的计算 参量、变量：参量、变量：xkl：单元：单元(k,l)是否为空洞是否为空洞(1：是；：是；0：否：否)aij：波源：波源 Pi与接收器与接收器 Qj，或，或 Ri与与Sj 之间的距离之间的距离Pij：经过介质的长度：经过介质的长度, qij经过空气的长度经过空气的长度t

20、ij (同样同样 ij): 传播时间观测值传播时间观测值优化模型（拟合回归）优化模型（拟合回归） 71k,lklijklijijijijxbaqap 71k,lklijklijxbq若没有误差：若没有误差：tij =pij /v1+qij/v2271171/vxbvxbatk,lklijklk,lklijklijij 同理：同理：271171/vxcvxcak,lklijklk,lklijklijij 模型：模型：22711712271171/min vxcvxcavxbvxbatk,lklijklk,lklijklijijk,lklijklk,lklijklijij 优化模型（拟合回归）优化

21、模型（拟合回归）计算结果计算结果空洞空洞X( P2, Q2) 1X( P2, Q3) 1X( P2, Q5) 1X( P3, Q2) 1X( P3, Q3) 1X( P3, Q4) 1X( P4, Q4) 1X( P5, Q3) 1 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的且一般都有与之配套的“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采用流，采用流量计和油位计来测量进量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储

22、油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。CUMCM-2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定：储油罐的变位识别与罐容表标定 图图1 1是一种典型的储油罐尺寸及

23、形状示意图，其是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。主体为圆柱体，两端为球冠体。 图图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图。是其罐体纵向倾斜变位的示意图。 图图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为体无变位和倾斜

24、角为 的纵向变位两种情况做了实的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。4.1（2）对于图）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 ）之间）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进的

25、一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实出油过程中的实际检测数据（附件际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件附件1 1：小椭圆储油罐的实验数据（略）：小椭圆储油罐的实验数据（略）附件附件2 2：实际储油罐的检测数据（略）：实际储油罐的检测数据（略）问题分析问题分析 该问题是来自于

26、加油站设备研究生产企业的一该问题是来自于加油站设备研究生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：个实际课题，问题由两大部分组成： 第一部分：为了了解罐体变位对罐容表的影响，第一部分：为了了解罐体变位对罐容表的影响，对于小椭圆形储油罐（实验罐），在已知变位参数对于小椭圆形储油罐（实验罐），在已知变位参数的情况下，检测出油位高度与油量的对应数值，要的情况下，检测出油位高度与油量的对应数值，要求建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容求建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表。表。 这一部分属于这一部分属于“正问题正问题”。 具体而言，第一部分有以下几个问题要完成。具体而言，第一部分有以下几

27、个问题要完成。 （1）对于小椭圆形实验罐，要给出它在无变位情）对于小椭圆形实验罐，要给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。 （2）对于小椭圆形实验罐，要给出它在纵向倾斜）对于小椭圆形实验罐，要给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。 这里需要考虑罐体两端有油这里需要考虑罐体两端有油/无油的不同情况。无油的不同情况。 （3 3）对于（对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量的模型，将变位参数下油位高度与储油量的模型，将变位参数 代

28、入代入计算，得出修正后的油位高度间隔为计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm1cm的罐容表标定的罐容表标定值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。4.1 第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方法的可靠性。法的可靠性。 这一部分属于这一部分属于“反问题反问题”。 （4 4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油）对

29、于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量量V与油位高度与油位高度h及纵向倾斜角度及纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 之间的关系模型，即之间的关系模型，即 的关系模型。的关系模型。( , , )VFh 具体而言，第二部分有以下几个问题要完成。具体而言，第二部分有以下几个问题要完成。 这一问要根据油位高度分别考虑两端有油或一端有这一问要根据油位高度分别考虑两端有油或一端有油的情况，同时考虑偏转情况，所以，具体的解析表达油的情况，同时考虑偏转情况，所以，具体的解析表达式可能会比较复杂。式可能会比较复杂。 由于实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某由于实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某

30、一油位高度的储油量准确值未知。因此，不能由（一油位高度的储油量准确值未知。因此，不能由（4 4）求出的表达式解出求出的表达式解出 和和 。 （5 5）根据附件）根据附件2 2的检测数据，估计实际储油罐的纵的检测数据，估计实际储油罐的纵向倾斜角度向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 。 所以，这一问要给出估计参数所以，这一问要给出估计参数 和和 的准则，然的准则，然后再进行估计。后再进行估计。 （6 6）根据（）根据（4 4）得到模型）得到模型 和参数估和参数估计值计值 和和 ，给出罐体变位后油位高度，给出罐体变位后油位高度h间隔为间隔为10cm10cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。( ,

31、 , )VFh （7 7）利用附件）利用附件2 2的实际检测数据，分析检验模型的的实际检测数据，分析检验模型的正确性和方法的可靠性。正确性和方法的可靠性。解题思路解题思路 （1 1）对于）对于小椭圆形实验罐，给出它在无变位情形小椭圆形实验罐，给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。下油位高度与储油量的计算公式（模型）。xyOhab 利用积分可以计算出油位高度为利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面时实验罐的截面面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：2( )() 2arcsin2ahbV habhbbhhabLbb 其中其中a，

32、b，L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，和罐体长度，h为油位高度。为油位高度。 这个计算公式也可以从相关文献中查到。这个计算公式也可以从相关文献中查到。 将实验罐的实际参数代入计算，容易得到实验罐无将实验罐的实际参数代入计算，容易得到实验罐无变位情形的正常罐容表。变位情形的正常罐容表。 （2 2）对于小椭圆形实验罐，给出它在纵向倾斜变对于小椭圆形实验罐，给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。 油面下降到油面下降到区时，油浮显示油位高度总是区时，油浮显示油位高度总是0 0，不随实际油，不

33、随实际油量的变化而变化，无需要考虑油面在量的变化而变化，无需要考虑油面在I I区内油量的计算公式。区内油量的计算公式。 同理，当油位高度上升到同理，当油位高度上升到区时，由于油浮显示油位高度总区时，由于油浮显示油位高度总是是2 2b，也无需考虑油面在，也无需考虑油面在区内的油量计算公式。区内的油量计算公式。2b 因而，只需讨论油面分别处于因而，只需讨论油面分别处于、三个区域三个区域内时，储油量与油位高度、油罐纵向倾角的关系表达式。内时，储油量与油位高度、油罐纵向倾角的关系表达式。 当油面分别处于当油面分别处于、三个区域内，计算储油三个区域内，计算储油量的截面面积沿量的截面面积沿x轴积分，可分别

34、得到当轴积分，可分别得到当h处于不同高度处于不同高度时储油量的计算公式：时储油量的计算公式： 2tan2222tan222tan2222arcsin,0tantan2( , )arcsin,()tan2tantan2arcsin,0tan2h a lah a lh aL la hLabzaz azadzhLlaabzaVhz azadzLlhalaazaL abz azadzhLla tanl 其中，其中，l为探针到左侧面的距离。为探针到左侧面的距离。 （3 3）将变位参数将变位参数 代入上述公式代入上述公式计算，得出计算，得出修正后的油位高度间隔为修正后的油位高度间隔为10cm10cm的罐容

35、表标定值。的罐容表标定值。4.1罐体变位后高度间隔为罐体变位后高度间隔为10cm10cm的罐容表标定值的罐容表标定值油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量101070.1370.1350501371.881371.8890903072.433072.432020281.86281.8660601798.521798.521001003450.723450.723030595.25595.2570702232.502232.501101103776.643776.644040965.66965.6680802661.422661.4212

36、01204012.754012.75 进一步，与正常的标定值比较分析可知，实验罐在纵向倾进一步，与正常的标定值比较分析可知，实验罐在纵向倾斜变位情形，实际油量与原标定值的最大误差在斜变位情形，实际油量与原标定值的最大误差在257L以上，平以上，平均误差达均误差达190L以上，平均相对误差达到以上，平均相对误差达到30%以上以上。 （4 4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量量V与油位高度与油位高度h及纵向倾斜角度及纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 之间的关系模型，即之间的关系模型，即 。( , , )VFh 由于本问较复杂，需要分情况建立

37、模型，可以先考由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考虑只发生纵向变位的情况。虑只发生纵向变位的情况。其中其中 球冠球冠的体积表达式为：的体积表达式为：其中其中 球冠球冠III的体积表达式为：的体积表达式为：其中其中 圆柱体圆柱体II的体积表达式为：的体积表达式为： 在不考虑罐体横向变位的情况下（即在不考虑罐体横向变位的情况下（即 ），储油），储油罐的体积与辅助变量罐的体积与辅助变量 的关系表达式为：的关系表达式为：01H 在不考虑横向变位的情况下（即在不考虑横向变位的情况下（即 ），储油罐的），储油罐的油位高油位高 与辅助变量与辅助变量 的关系表达式为：的关系表达式为：01H11110,

38、0tan,tan,tan2tan2 ,2tan2()tanHmhHmmHrmbrmHrmn纵h纵 根据以上根据以上 与与 的转换关系，就可以得到罐体内的转换关系，就可以得到罐体内油量与油位高油量与油位高 及纵向倾斜角及纵向倾斜角 的关系表达式的关系表达式1H( ,)Vh纵h纵h纵 进一步，考虑罐体在产生纵向变位的基础上，又产进一步，考虑罐体在产生纵向变位的基础上，又产生了横向变位，此时罐体的位置如下图：生了横向变位，此时罐体的位置如下图： 由于罐体只产生纵向变位时油位高度由于罐体只产生纵向变位时油位高度 与储油量与储油量 的对应关系已得到，再根据上面推导出的的对应关系已得到，再根据上面推导出的

39、 与与同时发生纵向和横向变位时油位高同时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般，就可以求出一般情况下，即罐体同时产生情况下，即罐体同时产生纵向和纵向和横向变位的油位高横向变位的油位高h与与储油量储油量V之间的关系模型之间的关系模型 。( ,)Vh纵h纵h纵( , , )VFh 未产生横向变位时油位高未产生横向变位时油位高 与产生横向变位后油位与产生横向变位后油位高高h之间满足如下关系：之间满足如下关系：h纵0,0(1 cos),(1 cos)(1 cos),cos2 ,(1 cos)2hrrhhrrhrrrhr纵纵纵纵 （5 5）根据附件）根据附件2 2的检测数据，估计实际储油罐的纵的检

40、测数据，估计实际储油罐的纵向倾斜角度向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 。 根据附件根据附件2 2数据可以得到不同时刻的出油量数据可以得到不同时刻的出油量 ，同时可以计算对应的油位改变量同时可以计算对应的油位改变量 。iV1iiihhh 这一问就可以归结为求解非线性最小二乘问题：这一问就可以归结为求解非线性最小二乘问题： 根据前一问的模型表达式根据前一问的模型表达式 ，可以得，可以得到理论上储油量的改变量到理论上储油量的改变量 。( , , )VFh 1( , ,)( , ,)iiiVFhFh 或或21min ( , )()niiiSVV 21min ( , )niiiiiVVShh 2

41、.1 ,4.3 利用附件利用附件2 2的部分数据（例如前半部分），借助软的部分数据（例如前半部分），借助软件和各种数值方法可以估计出实际储油罐的纵向倾斜角件和各种数值方法可以估计出实际储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。度和横向偏转角度。 事实上，储油量对横向偏转变位角不敏感。如果经事实上，储油量对横向偏转变位角不敏感。如果经分析说明了这一点，这一问也可以直接考虑纵向变位的分析说明了这一点，这一问也可以直接考虑纵向变位的单参数估计问题。单参数估计问题。 具体的估计值依所用的计算方法不同而有差别，一具体的估计值依所用的计算方法不同而有差别，一般地，般地， （6 6）根据模型）根据模型 和前一问得到的参数和前一问得到的参数估计值估计值 和和 ，就可以给出罐体变位后的罐容表标定，就可以给出罐体变位后的罐容表标定值。值。( , , )VFh h1020304050607080