二元一次方程组应用题分类精析

1、 二元一次方程组应用题分类精析 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： （ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表 示其中的两个未知数； 2）找：找出能够表示题意两个相等关系； 3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 一、倍分问题 例 1、甲乙二人，若乙给甲 10 元，则甲所有的钱为乙的 有的钱为乙的 2 倍多 10 元，求甲乙各拥有多少钱？ 解：设甲原来有 X 元，乙原来有 Y 元。 X+10=

2、3 （ Y-10） X-10=2 （Y+10 ） +10 3 倍，若甲给乙 10 元，则甲所 1、一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多提示：设宽为 X 米，长为 Y 米 10 米，它的周长是 132 米，则宽和长分别是多少？ Y-2X=10 2（ X+Y ）=132 2、一批书分给组学生，每人 6 本则少 6 本，每人 5 本则多 5 本，该组共有多少名学生，这 批书共有多少本？ 提示：设有 X 名学生， Y 本书， 6X=Y+6 5X+5=Y X=11 ， Y=60 3、某班学生有 x 人，准备分成 y 个组开展活动，若每个组 则差 5 人 .求全班的人数和所分组数。 7 人，则余 3 人；若每

3、个组 8 人， 提示：设全班有 7 y 3 x x 59 x, 所分组数为 y 组，则 5 x ； 8 8 y y 4、三年级有学生 246 人，其中男生比女生人数的 2 倍少 3 人，求男、女生各有多少人？ 提示：设男生有 X 名，女生有 Y 名 X+Y=246 Y=2X-3 5、甲乙两条绳共长 17 米，如果甲绳子减去五分之一， 乙绳增加 1 米，两条绳子相等， 求甲、 乙两条绳各长多少米？ 提示：设甲绳长 X 米，乙绳长 Y 米，则 X+Y=17 X-1/5X=Y+1 6、已知长江比黄河长 836 千米，黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284 千米，求黄河、 长江各长多少千米

4、？ 提示：设黄河长度为 X 米，长江长度为 Y 米，则 X-Y=836 6Y-5X=1284 7、甲乙两个商店各进洗衣机若干台， 若甲店拨给乙店 12 台，则两店的洗衣机一样多，若乙 店拨给甲店 12 台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的 5 倍还多 6 台，求甲、乙两店各进洗 衣机多少台？ X-2=12+12 5（ Y-12 ）+6=X+12 8、小红和小华各自购买新书若干本，已知小红买的比小华的 2 倍多 6 本，如果小红给小华 9 本，则小华是小红的 2 倍，小红和小华各买新书多少本？ 提示：题中有两个未知数 - 小红买的新书、小华买的新书； 题中有两个相等关系 （ 1）小红买的新书 2X

5、 小华买的新书 =6； （ 2） 2X （小红买的新书 9） =（小华买的新书 +9 ） 解：设小红买新书 X 本，小华买新书 Y 本，根据题意得 X 2Y=6 2X（X9）=Y+9 解得 X=16 ， Y=5 9、把 3 米长的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的 2 倍，长方形的长比正方形的边长长 0。 3 米，求两个图形的面积。 提示：设长方形框的宽为 x，则长为 2x,再设正方形的边长为 y 米，根据题意，得 2(x+2x)+4y=3 2x-y=0.3 解得 x=0.3,y=0.3, 长方面的面积 =0.18 正方形框的面积 =0。 09。 10、有甲、乙两

6、条绳子，其中甲绳长的 3/8 与乙绳长的 1/3 叠合后，全长 238 厘米，求甲乙 两绳长各是多少厘米？ 提示：设甲绳长是 x 厘米，乙绳长是 y 厘米。则 3/8x=1/3y x+(1-1/3)y=238 解得 x=136 y=153. 11、小明春节原有压岁钱若干元， 先用去一部分， 剩余的钱为用去的 2 倍，后来又用掉 1200 元，最后剩下的钱为原有的三分之一，问小明原来有压岁钱多少元？ 提示：设原有 X 元，先用去 Y 元 X-Y=2Y X-Y-1200=1/3X 。解得 X=3600 元。 12、某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见 涂红色

7、油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的 2 倍少 1 人，而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂 红色人数的 3 5，则晚会上男、女生各有几人？ 分析：每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的倍少人， 这里涂蓝 色油彩的人数不是题中所有男生的人数， 而是除自己之外的男生人数， 同理， 女生看到的人 数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。 正解： 设晚会上男生有 x 人，女生有 y 人。 把代入，得 y 3/52(x 1) 1 1，所以 x12 答： 晚会上男生有 12 人，女生有 21 人。 13、某班有学生 49 人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有 17

8、 人，女生有 32 人 二、年龄问题 解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题 的主要特点是： 时间发生变化， 年龄在增长， 但是年龄差始终不变。 年龄问题往往是 “和差”、 “差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。 例 1、父子的年龄差 30 岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍，问今年父亲和儿子各是 多少岁？ 解：设今年父亲的年龄为 X 岁，儿子的为 Y 岁， 则根据（ 1）父子的年龄差 30 岁，可列式得： X-Y=30 ；（ 2）五年后，父亲的年龄是 X+5 岁， 儿子的年龄是 Y+5 岁；由五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍，可

9、列式得： X+5=3 （ Y+5 ） （3）联立两式，得今年父亲的年龄是 40 岁，儿子的年龄是 10 岁。 X-Y=30 X+5=3 （Y+5 ） 例 2：1998 年，甲的年龄是乙的年龄的 乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁 ? 4 倍。 2002 年，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。问甲、 A34 岁， 12 岁 B32 岁， 8 岁 C36 岁， 12 岁 D34 岁， 10 岁 【答案】 D。 解析：抓住年龄问题的关键即年龄差， 1998 年甲的年龄是乙的年龄的 4 倍， 则甲乙的年龄差为 3 倍乙的年龄， 2002 年，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍，此时甲乙的年龄 差为 2 倍乙

10、的年龄，根据年龄差不变可得 3 1998 年乙的年龄 =2 2002 年乙的年龄 3 1998 年乙的年龄 =2 （ 1998 年乙的年龄 +4） 1998 年乙的年龄 =8 岁 则 2000 年乙的年龄为 10 岁 1、 学生问老师： “您今年多少岁了？”老师风趣的说： “我像你这样大的时候，你才出生， 你到我这么大时，我已经 37 岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？ 提示：设老师为 X 岁，学生为 Y 岁，（ 1）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加， “我像 你我样大的时候， ”可以得知老师是 Y 岁，老师由 Y 岁增加到 X 岁，增加了 X-Y 岁；学生 由 1 岁增加到 Y ，增加

11、了 Y-1 岁。增加的年份是相等的量。即： X-Y=Y-1 ；（ 2）老师由 X 岁 到 37 岁时，增长的量是 37-Y ；学生由 Y 岁增加到 X 岁，增长的量是 X-Y ，二者相等。 X-Y=Y-1 37-X=X-Y 解得 X=25 ； Y=13 。 2、甲乙两人在聊天，甲对乙说： 当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。 ”乙 对甲说： “当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁。 ”你能算出他们两人各几岁吗？ 提示：设甲乙他们的岁数分别是 X、 Y（ 1）当我的岁数是你现在的岁时，你才 4 岁，由这 句话得知，当时甲是 Y 岁，乙是 4 岁，甲由 Y 岁到 X 岁，增加了 X-Y

12、，乙增加了 Y-4 ，二 者是相等的；（ 2）乙对甲说： “当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁。 ”这句得知，乙 的岁数由 Y 变为 X，增加了 X-Y ，甲呢由 X 岁变为 61 岁，增加了 61-X 。二者增加的量相等。联立方程可得 X=42 Y=23 3、 现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍， 7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？ 提示：设父亲和儿子的年龄分别为 X 和 Y，现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，由这句话得 X=3Y ，“ 7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，”由这句话得 7 年前父亲的年龄是 X-7 ，儿子的年龄是 Y-

13、7 ，所以得到 X-7=5 （Y-7 ）解得 X=42 ， Y=14 4、兄弟两人 , 弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等 ,3 年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的 3 倍, 则兄弟两人今年的岁数分别是 _.17 岁和 7 岁 提示：设哥哥的年龄为 X，弟弟的年龄为 Y，由弟弟五年后的年龄与哥哥五年前 的年龄相等 ,Y+5=X-5，3 年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的 3 倍, 得（X+3）+（Y+3） =3 （X+3）（ Y+3） 5、今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，问：现在父子 的年龄各是多少岁？ 提示：设今年父亲和儿子的年龄分别为 X

14、 和 Y ，由今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，得 X=5Y ， 15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，（ X+15 ）=2 （ Y+15 ） 解得 X=25 ，Y=5 。 三、数字问题 1、 56 十位上的数字 5 表示 5 个 10 ，个位上的数字 6表示6 个 1， 那么 56 可写成 5X10+6 。 2、（ 1）一个三位数百位上的数字是 a，十位上的数字是 b，个位上的数字是 c。请你表示出 这个三位数： 设百位上的数字为 x，则这个百位数可表示为： 100 x+10 （x+3） +（ x+5 ） （2）已知：一个三位数十位上的数字比百位上的数字大 3，个位上的数字比十位上的数字

15、 大 2。请你表示出这个三位数： 设百位上的数字为 x，则这个三位数可表示为： 100 x+10 （x+3 ） +（x+5 ） （3）若各位上的数字之和不大于 11，求这个三位数。 x+（ x+3） +（ x+5 ） 11 3、 326=32 10 +6=3 100 +26 7321=73 100 +21 1234=12 100 +34 abc 表示一个三位数，则 abc=a100 +bc=ab 10 +c 若 abcd 表示一个四位数，则 abcd=ab 100 +cd 例 1：两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两

16、位数， 也得到一个四位数。 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这个两位 思考：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y， 1、 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数可表示为 100X+Y 2、 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为 100Y+X 解：设在较大的两位数为 x，较小的两位数为 y，则有 x+y=68 (100 x+y) (100y+x)=2178 解得 x=45 y=23 答：这两个两位数分别是 45 和 23 例 2：一个三位数，现将最左边的数字移到最右边， 则比原来的数小 45；又已知百位数字的 9 倍比由十位和个位数字组成

17、的两位数小 3，求原来的三位数。 解：设百位数字为 x，由十位和个位数字组成的两位数为 y， 则原来的三位数为 100 x+y ，对调的三位数为 10y+x ，则 9x=y 3 10y+x=100 x+y 45 x=4 y=39 则原来的三位数为 100 x+y=4 100+39=439 。 另解：设百位数字为 x，十位数字 y，个位数字为 z，则有 9x=10y+z 3 (100 x+10y+z) (100y+10z+x)=45 得 x=4 10y+z=9x+3=39 则原来的三位数是 100 x+10y+z=100 4+39=439 1、 有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5，如果把

18、两个数字的位置对换，那么所得 的新数与原数的和是 143，求这个两位数 分析：本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系： （ 1）个位数字 十 位数字 =5；（2）新数 +原数 =143根据这两个相等关系，可通过设十位数字为 x，个位数字 为 y，列方程组求到十位数字和个位数字，然后确定两位数 解：设这个两位数的十位数字为 x，个位数字为 . y根据题意，得 y x 5, 解这个方程组，得 x 4, y 9. (10y x) (10 x y) 143. 所以这个两位数是 4 10+9=49 2、 有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个 0，则它与这个两位数的 和是

19、146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商 6 余 2，求这个两位数和一位数 . 分析：一位数后面多写一个 0，则这个一位数扩大了 10 倍 , 如果两位数为 x, 一位数为 y, 则根据两位数的和为 146 可得 x+10y=146; 根据被除数 =除数商数 +余数可得 x=6y+2, 由此 可得到方程组 . 通过解方程组确定两位数和一位数 . 解：设这个两位数为 x，这个一位数为 y，根据题意 , 得 x 10 y 46, x 56, x 6 y ，解得 y 9. 2 所以这个两位数为 56, 一位数为 9. 3、有一个两位数， 其值等于十位数字与个位数字之和的 4 倍，其十位数字比个位

20、数字 小 2，求这个两位数 设这个两位数的十位数字为 x，个位数字为 y， 则可列方程组为 10 x y 4( x y), y x 2. x 2, 解这个方程组，得 所以这个两位数为 24 y 4. 4、一个三位数和一个两位数的差为 225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数， 也得到一个五位数， 已知前面的五位数比后面的五位数大 225，求这个三位数和两位数 . 设三位数为 x，两位数为 y x y 225 (1000y x) (100 x y) 225 x 250 解得 y 25 这个三位数是 250，两位数为 25 5、如下图，在 3 3 的方格内，

21、填写了一些代数式和数 （1）在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出 x、 y 的值； （2）把满足（ 1）的其它 6 个数填入图的方格内 分析： 本题是一道与表格数字排列有关的信息试题， 根据各行、 各列及对角线上的数字和相 等，可列方程组解决所列的方程组不惟一 解：（ 1）由已知条件可得 2x 3 2 4 y ( 3) ， 2 2x y 4y 4 y ( 3) 2 x 1， 解得 y 1 2）将 x 1， y1 代入表格，所得表格如图所示 6、甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个 0，所得的和是 2342，乙将同一 个加数后面少写了一个 0，所得的和是 65，求原来的两个加数 原来的两个加数分别是 42 和 230 提示：设这两个加数分别是 x、 y，其中 y 是两人同时看错的数，根据题意，得 x 10y 2342, x 1 65. y 10 7、有一个三位数，各数位上的数字之和等于 14 ，个位上的数字比十位上的数字大 4，如果 把百位上的数字与个位上的数字对调，所组成的新数比原数的 3 倍多 98 ，求这个三位数是 多少？ 提示：设百位数字是 x，十位数字是 y，个位数字是 z，根据题意，得 x y z 14, z y 4, 100z 10 y x 3(100 x 10 y z) 98. 这个三位数是 248 8、已知二