856高等代数考研真题答案09

1、2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：856科目名称：高等代数一.（20 分）证明下列命题：(1).（10 分）设d ( x),f (x),g( x)都是数域P上的多项式。如果d( x) | f(x)，d ( x) | g( x)，且d( x)为f ( x)与g( x)的一个组合，证明：d( x)是f ( x)与g (x)的一个最大公因式。(2).（ 10分 ）f ( x)是 数 域F上次 数大 于 零的 多项 式，cF ,c0f ( x c)f ( x).证明： (1). 由题意，存在多项式u( x), v(x), 使d( x)u(x) f ( x)果h( x)

2、| f ( x)，h( x) | g( x), 那么h( x) | d( x).（8 分）又由于d ( x) |f ( x)，d ( x) | g( x),以d( x)是f (x)与g(x)的一个最大公因式。（10 分）(2). 如果f ( x c)f ( x), 那么f (0)f (c)f (2 c)考虑g( x)f ( x)f (0). （ 6 分）显然，g ( x)f ( x), 并且g ( nc)0, n 1,2,g ( x)有无限多个根，这是不可能的。 （10 分）253 4二.（15 分）已知行列式 D987 6157 3470 3的代数余子式。25 3411 11解：考虑行列式

3、C5 7，按它的第二行展开。 （51347 03二行外均相同，故 CA21A22A23A24，（10分）而计算可得第 1 页（共 6 页）25 3 41111C72 . 所以 A21A22A23A2472 .（15 分）15734703a + bab1a + baban + 1- bn+ 1三. （20 分）证明n阶行列式1a + bO=.OOaba - b1a + b解：当n =1结论显然成立。假设结论对n - 1阶行列式成立。（2 分）对n阶行列式，将第一列拆成两项。第二项按第一行展开。第一项的第一列乘b加到第二列，第 2 列乘b加到第 3 列，第 n-1列乘b加到第 n 列。然后用归纳假

4、设。aab1a + babDn=1a + b O+OOab1a + ba0a + b1a01a + b O1aO=+ bOOOO01aanbDn 1anbanbnan 1aba四（15 分）已知 V1是 x1x2xn证明： PnV1V2。证： (a1, a2, an) V , 令a1(a1a2n我们有 (a1, a2, an)(a1a, a2a,第 2 页（共 6 页）而且 (a1a, a2a,ana)V1,( a, a, , a)V2. 因此 PnV1V2. （ 7 分）如果 (b1, b2,bn) V1V2, 那么 b1b2bn0 , 且 b1b2从而 b1b2bn0. （12 分）因此

5、V1V20 . 总之， PnV1V2（15分）五. （10 分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为(1,2,3).解：考虑以(1,2,3)为解的方程 k1x1k2x2k3x30 ，那么 k11 k22 k330.（3 分）把它看成 k1,k2, k3的方程。得到基础解系( 2,1,0),(3,0,1). （7 分）由此得到方程组2x1x203x1x30它以(1,2,3)为基础解系。（10 分）六. （20 分）设实二次型 f ( X )x12x222x322x1x32tx2x3，求当t是何整数时二次型f ( X )是正定的，并求一个线性替换YTX将二次型f ( X )化为标准形。1

6、01解：此二次型的矩阵为：A0 1t，若要f为正定的，则要求其各级顺序主子1t2式都大于零，（ 5 分）即10101t1 t20 , (t0 )（8 分）1t2因 t 为整数，故t0（10 分）；当t0时f ( X )x12x222x322x1x3，（12 分）x1x32x22x32作线性替换：第 3 页（共 6 页）y1x1x3x1y1y3y2x2，即x2y2，则其为非退化的线性替换，（16 分）y3x3x3y3则经过此线性替换后可得到二次型的标准型：fy12y22y32。（20 分）七. （20 分）设V是数域P上的 n 维线性空间。(1) （ 10 分）设 VV1V2，已知1,r是 V1

7、中的线性无关向量组；1,s是V2中的线性无关向量组。证明1,r,1,s是V的线性无关向量组。(2) （ 10 分）设A是V的线性变换。证明：A是单射的充分必要条件是它是满射。证明： (1)由于 VV1V2，V1V20.（2 分）设a1 1arrb1 1那么 a11arrb11bssV1V20 （4 分）因此 a11arr0,b11bss0。（6分）由已知1,向量组；1,s是V2中的线性无关向量组， 得a1ar所以1,r,1,s是V的线性无关向量组。（10 分）(2) 已知dim ker A + dim Im A = n，（4 分）所以A是单射当且仅当ker A0dimker A0dimIm A

8、 = nIm AV当且仅当A是满射 . 所以A是单射的充分必要条件是它是满射。 （ 10 分）八. （10分）设数域P上的 3711. 求线性变换s2611521解：线性变换s2- 5s + s-1在基a1, a2, a3下的矩阵为第 4 页（共 6 页）7112711711161 15 611611（4 分）52 1521521488 73555110417 63055121（8 分）285 42510579114421000（10 分）414211a1九. （15 分） 设矩阵A1a1,1， 已知线性方程组AX有解但不a112唯一，试求： (1) a 的值； (2)正交矩阵Q，使 QTAQ 为对角矩阵，其中 QT表示Q的转置（求Q和 QTAQ ）。解： (1) 对线性方程组AX的增广矩阵作初等行变换骣a1 麋骣1a1 1 11?1 - a0A = 1 a 11 ?0 a1?-+?a 1 1 - 2?0(a1)(a2)a?02桫桫因为线性方程组AX有解但不唯一，所以秩 r (A) = r (A) 3 ，故a = - 2.112(2) 现在A121的特征方程为E21113,23,30 .对应的特征向量分别为：1(