分式方程的概念解法及应用

1、学习好资料 欢迎下载 分式方程的概念，解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 分式方程的概念以及解法； 分式方程产生增根的原因； 分式方程的应用题。 重点难点： 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想， 用分式方程解决实际问题， 能从实际问题中抽象出数量 关系 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析 学习策略： 经历“实际问题分式方程整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有

2、目的性和针对性。 知识回顾复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一） 什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解 （二） 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质用式子表示 是： A A M A A M （其中 M 是不等于 0 的整式） B B M , B M B 学习好资料 欢迎下载 （三） 等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为 0），所得的结果仍是等式。 （四） 解下列方程：（ 1） 93x 5x5； y 1 y 2 （2） y 2 2 5

3、知识要点预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源 ID ： #tbjx5#233542 要点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫 分式方程。 要点诠释： （ 1）分式方程的三个重要特征：是 ；含有 ；分母里含 有 。 （ 2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于 x 的方程 1 2 x 和 3 7 都是 方程，而关于 x 的

4、 x x 2 2 x 1 方程 1 x 2 x 和 x 1 d 都是 方程。 a b c 要点二：分式方程的解法 （一） 解分式方程的其本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二） 解分式方程的一般方法和步骤 （ 1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母， 把原方程化为整式方程。 （ 2）解这个 方程。 （ 3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注： 分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 学习好资料 欢

5、迎下载 但增根不适合原方程，可使原方程的 （三） 增根的产生的原因： 为零。 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着 不为零的条件。 当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范 围 了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那 么就会出现增根。 要点三：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是 ，它与学习一元一次方程时列方程解应用题 的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤： （ 1） 题意

6、； （2）设 ； （ 3）根据题意找 关系，列出分式方程； 4）解分式方程，并验根； 5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案 要点四：常见的实际问题中等量关系 （一）工程问题 （1）工作量 工作时间， _ ， 工作效率 工作时间 工作量 ； _ 工作效率 2）完成某项任务的各工作量的和总工作量1 （二）营销问题 （ 1）商品利润商品 一商品 ； （ 2）商品利润率 _ ； 100% _ （ 3）商品销售额商品销售价商品销售量； （ 4 ）商品的销售利润（销售价一成本价） （三）行程问题 （ 1 ）路程 _ ，_ 路程 ； 时间， 速度 速度 时间 （ 2 ）在航行问题中，其中

7、数量关系是： 学习好资料 欢迎下载 顺水速度 水流速度，逆水速度静水速度 ； （ 3）航空问题类似于航行问题 经典例题 - 自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源 ID ：#jdlt0#233542 类型一：分式方程的定义 例 1 下列各式中，是分式方程的是（ ） A x y 5 B x 2 2 y z C 1 D. y 0 5 3 x x 5 思路点拨： 要逐个检查是否符合分式方程的三个特征： A x y 5 因为方程里没有 ，所以 分式方程； B x 2 2y z 虽然有分母，但是分母

8、里没有 5 3 ，所以 分式方程； C 1 没有 ，所以不是 ， 它只是一个 答案 ： 总结升华： 举一反三： 【变式】方程 x ；D y 0 具备分式方程的三个特征， 是 。 x 5 x 3 x 2 中， x 为未知量， a， b 为已知数，且 a b ，则这个方程 a b （ ） A 分式方程 B 一元一次方程 C 二元一次方程 D 三元一次方程 答案： 类型二：分式方程解的概念 例 2 请选择一组 a, b 的值，写出一个关于 x 的形如 a b 的分式方程，使它的解 x 2 是 x 0 这样的分式方程可以是 . 思路点拨： 分式方程是 中含有 的 ，能够使分式方程 成立的未知数的值叫分

9、式方程的 . 学习好资料 欢迎下载 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式】在 x 0, x 1, x 1 中，哪个是分式方程 x3 x 的解，为什么？ x 0 1 解析： 类型三：分式方程的解法 例 3解方程 1 x 1 2 x 2 2 x 思路点拨： 在解分式方程的时候，要把分式方程变为 方程。原方程的两边都 要乘 ，方程等号右边的常数 -2 也必须乘 。在找最简公 分母的时候有时需要先把分式方程变形。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式】解方程： （ 1） 3 4 ， （2） 10 5 2. x 1 x 2x 1 1 2x 解析： 学习好资料 欢迎下载 类型四：增根的应用 例 4 当

10、 m 为何值时，方程 x 2x x m 会产生增根（ ） x 3 3 A 2 B1 C 3 D3 思路点拨： 分式方程 x 2x m ，去分母得 ，将增根 x 3 x 3 代入，得 m 。所以，当 时，原分式方程会产生增根。 答案： 总结升华： 举一反三： 【变式】 .若方程 x 3 m 无解，则 m 。 x 2 2 x 解： 类型五：分式方程的应用 （一）营销类应用性问题 例 5 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合 后，其平均价比原甲种原料每 0.5kg 少 3 元，比乙种原料每 0.5kg 多 1 元，问混合 后的单价每 0.5kg 是多少元

11、？ 思路点拨 ：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、 平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式 解析： 学习好资料 欢迎下载 总结升华： 举一反三 ： 【变式】 A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格 有变化，但两位采购员的购货方式不同其中，采购员 A 每次购买 1000 千克，购 贷员 B 每次用去 800 元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？ 答案： （二）工程类应用性问题 例 6某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共 8700 元， 乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队工程

12、费共 9500 元，甲、丙两队 合做 5 天完成全部工程的 2 ，厂家需付甲、丙两队工程费共 5500 元 3 1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ 2）若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由 思路点拨 ：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于 工期，一般情况下把整个工作量看成 ，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所 需时间分别为 x 天， y 天， z 天，可列出分式方程组 解析 ： 学习好资料 欢迎下载 总结升华： 举一反三： 【变式 1】某工程需在规定日期内完成， 若由甲队去做， 恰好如期完成； 若由乙队

13、去做，要超过规定日期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰 好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 答案： 【变式 2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错， 2640 名学生的成绩 数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致 . 已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完 .问这两位教 师每分钟各能输入多少名学生的成绩？ 答案： （三）行程中的应用性问题 例 7甲、乙两地相距 828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达 快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h

14、， 比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度 思路点拨 ：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是：路程速度 时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系解析 ： 学习好资料 欢迎下载 总结升华： 举一反三 ： 【变式 1】一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给 带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍 行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学 校出发到追上队伍用了多少时间？ 答案： 【变式 2】农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，

15、40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度 答案： 【变式 3】轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等， 已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度 答案： 学习好资料 欢迎下载 三、总结与测评 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们 巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。 总结规律和方法强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。 相关内容请参看网校资源 ID ： #tbjx13#233542 （一） 一般地，解分式方程时，去分母后所得

16、整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入 最简公分母，如果最简公分母的值不为 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解 （二） 列方程（组）解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校 测评系统 和模拟考试系统 进行相关知识点的 测试。 知识点： 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 测评系统 分数： 模拟考试系统 分数： 如果你的分数在 80 分以下，请进入网校资源 ID ： #cgcp0#233542，做基础达标部分的练习，如果你的分数在 80 分以上， 你可以进行能力提升题目的测试。 自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。 我的收获 学习好资料 欢迎下载 习题整理 题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题 好题 错题 注： 本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。 网 校重 要 资源 知识导学：分式方程的概念，