中学代数公式大全

1、目录一、初中代数 2二、高中代数 52.1、函数52.1.1不等式92.1.1 数列112.1.1 三角函数 122.1.1 复数152.2排列、组合 162.3平面几何 182.3.1 直线与角 182.3.2 三角形192.4立体几何 202.4.1 直线与平面 202.4.2 多面体、棱柱、棱锥 232.5解析几何 242.5.1 方程与曲线 242.5.2 直线252.5.3 圆272.5.4 椭圆282.5.5 双曲线282.5抛物线302.6向量部分 312.6.1 空间向量 312.6.2 平面向量 32三、常用公式 333.1常用公式333.2几何图形及计算公式 35四、坐标几

2、何和二维、三维图形 384.1坐标几何 384.2二维图形 404.3三维图形 41初中代数" 严整数自然数)整对零有理亦负整数【实数的分类】实数丿正无理数负无理数无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数【自然数】【质数与合数】【相反数】【绝对值】【倒数】【完全平方数】【方根】【开方】【算术根】【代数式】【代数式的值】表示物体个数的1、2、3、4 等都称为自然数一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除， 那么这个数称为质数。 一个大于1的数，如果除了它本身和 1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为 合数，1既不是质数又不是合数。只有符号不同的两个实

3、数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。若舄实数，则：p(a > 0)|d|= Io(d = 0)- a (a < (从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。如果一个有理数 a的平方等于有理数 b，那么这个有理数 b叫做完全平方数。如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数叫做a的n次方根。求一数的方根的运算叫做开方。正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方

4、、开方)把数或表示数的字母连结所得的式子，叫 做代数式。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。【代数式的分类】代数式严闔 无理式【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有子母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式加法交换亀【有理数的运算律】加法结合律迤+劫+ 2时(0+C)乘注交H律：ab=ba【等式的性质】【乘法公式】完全平方公式心士&)' =a2 ±2ab+b2乘法对加法的分此律：成b+A应+必提取公El式

5、法;应用公式法* (寸+ £)©)臼)=a2 -b2 (a±b)(a2+ab+b = a3±b3 (a±b) =±2ab+b2 十宇相乗法；【因式分解】jt，+(a + £j)x + ab = (x + X1 +白) 求根公式法；含有未知数的等式叫做方程。【方程】方程的解在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。【一元一次方程】一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程它的标准形式是! ax+4-0 (a

6、*0)一元二次方程；皿'+加+ &=0 (a 0)求根公式=x =，占土 ' 芒竺 3 -也c 2 0) 2a根的判别式：± =2 - 4心当血A 0时，有两个不相等的实数根【一元二次方程】当血=0时，有两个相等的实数根当"0时，没有实数根根与系数的关系：i殳斗r匕为一元二次方程： <sx2 +bx + c= 0工0)的两个根，则；b【集合】【集合的分类】二、高中代数2.1、函数任意轨"都有AcFAqB至少有处BbAAc. E指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性隼厶J有限集：念有有限个元素的集合 八口 ：

7、=无限集：含有无限个元素的集合0举法：把集合中的元素一一列举，写在在括号內表示集合的方法 "描述法；把集台中元素的公共属性描述岀来写在大括号内的方法£BB若月二.BcC . 则昶匚C(1)中 u /(/为非空千集) 若必B .BaC .则 Xc C()AA= A(2)月cG二审 ()ABqAE、B cBB(1) AA= A(2) A = A 辰BA(T)AjA= A(2) 处二=車(3) AB=AB函数的性质定 义判定方法函数的奇偶性函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一函数f(x)定义域内任意一个X,都

8、有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)叫做 偶函数利用定义 用等价例题：/或是奇函数0/W+/M-0/(才)是偶函数u>函数的单调性对于给定的区间上的函数f(x)(1)如果对于属干这丫区间的怪意两个 自变的值心尬当JTN乃时,都有va心娜(M在这个区何是増 函数如果对于属干这个区间的任意两个 自变的值m乃,当心2时，都有 /)则/V)在这个区间是减 函数(1) 利用定义(2) 利用己知函数的草调性利用函数图彖(4)根据更合函数单调性的有 关结论函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f

9、(x)叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。(1 )利用定义(2)利用已知函数的周期 的有关定理。函数 名称解析式正比例函 b=m#O)数反比上例函 严戈3刘)数*定义域值域奇偶性单调性RR奇函数增函数 氐 < 倔函数fcVoBt,在o), (0±+co) 上减函数； kvD时，在 (to,O)，(0/Ko) 上减函数。(叫叽心也)(呷叽心阿奇函数一次 函数尸防+姙吉0)RR”0,时 奇函数”0,时非奇非偶函数b>0N 増函数 bvD时 减函数二次 函数(念b、c为當童 其中Ra > D 时Am -沪 (-一冋 4a应V。时*g -_ 4 口”0,时 奇函

10、数”0,时非奇非 偶函数d>O0t 在(_g厂?上2a 是减函數在卜7+)2曰上増函数 £i"时，在 (-巴-冷上 是増函数在卜2应上减函数函数 名称解析式定义域值域奇偶性单调性正比 例函 数RR奇函数Jt0增函数沐0减函数反比 例函 数(吧叽心炯3,叽西奇函数fc>O0t，在1；-®, O)f ©+»： 上减函数；/t< 03t 在 (,0),©+00：Lt减函数。一一次 函数y= kx+b(kHO)RR时 奇函数 方強(X时 非奇非 偶函数b>0H 増函数 bvD时 减函数二次 函数2/ = az +bx+

11、c乩c为常莹其中"(T)a > 0 时,a <OBtr4d(?-i)3奇函数 b走叩t 非奇非偶函数a 在C°°厂£上2a 是减函数 在卜亍+co）2曰上増函数 fi"时，在（-厂二上 是増函数 在-;,+«）2d上减函数2.1.1不等式不等式用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式(1) 对称性；b(2) 传递性：a> btb> c c(力口法单调性：a>bb+c(4)乘法单调性；c3>b,c>U aobc不等式的性质a> btc < 0 ac <bc(习不等式相加*

12、a>b,c> d >a+c >b-i-d (即F等式相乘* a > ii > 0, c > > 0 >bd(丁)乘方法贝lj: «>£?> 0 =>cjk >Z>* (n e Ng_n > 1) (£)开方法贝U；应ba 0 n 嶠> 5 (we M且肝> 1) 毬倒数法则：a>b,ab > 0 => <丄含绝对值不等式的性质(1)1 钳|训-|川国卄申叫+ |引(5)a<b-biaib(& > 0)|应卜问硼耳应|+罔

13、几个重要的不等式II)1 > 0 (aR)a2 +b2 > 2ab(岛恥旳(耳学上 乐弘当且仅当时，取号 (4)-+>2(>0)当目仅当"&时，取号a b1才也+ u >越臨乩当且仅当ab时，取”号® >出炖条口勺弧亡貝+H当且仅当円+厂“=去时，取号元次 不 等 式 的 解形式解集ax>b1a>0a& <0亦 <qaa = 0b<0Rb>0A>0次 不 等 式 的 解 法绝 对 值 不 等 式 的 解 法无 理 不 等 式 的 解 法盃 +iz+c > 0ax +bx+c&

14、gt; 0|g应>0时戊=0时d <0Btt? >O0to = 0ffta <0时x|xex| j < -应或x A a 科 蛆hhO卩> 0 r|g(x)>0 或,了口揖< o/W > 0 g> oI 1/ “a其中X* J J At兀一 次方程+加+c = 0 的两个根，且矶52.1.1数列通项公式前n项的和公式其它数 按照一定次序排成一 列列的数叫做数列，记为an如果一个数列 an的第n项an 与n之间的关系 可以用一个公式 来表示，这个公式 就叫这个数列的 通项公式占屯一 a«-i =沖口为常 熱叫做这个数列的公差等

15、差中项a +b竺=瑕妫常数这个数列的公比©(I-*).严加） r朋i（厂1）等比中项数列前n项和与通项的关系:无穷等比数列所有项的和:适用范围证明步骤注意事项数学归纳法只适用于证明与自然数关的数学命题设P（n）是关于自然n的一个命题，如果（1） 当n取第一个值 nO（例如：n=1或n=2）时, 命题成立假设n=k时，命题成立，由此 推出n=k+1时成立。那么 P（n）对于一切自然数n都成立。（1）第一步是递推的基础，第二步的推理 根据，两步缺一不可（2）第二步的证明过程中必须使用归纳假 设。角的单位制角度制弧度制角 的 终 边2.1.1三角函数一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做

16、角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线 叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点几訣度= 0.0174J 弧度弧长公式ISO扇形面积公式角的集合位置在y轴上aCL-MJT + li2在第一象限内JTa2nn<a<2nit+fne22在第二象限内a 2mji+7<a<2nc+c?H22在第三象限内3口| 2m +<a< 2k庄 +花 we Z2在第四象限内3a +< a < 2mjj + 2h 22函数/角0托74托JInJ1SLsi na0TL2退210-10cosa1JL&1s0-101000tanacota不存在函数定义域不存0在

17、y=s inxy=cosx-UT = 2ff单调性2 2上是増函数在2 + -,2 + 2 20訂)上是减函数在2far -2)上是増函数l±2fcjF,2fcjr + 用(it Z)上是减函数一角y=tanx数的牧OC= y角/函数-a900a900+a1800-a1800+a2700-a2700+a3600-a（让2）正弦-sinacosacosasina-sina-cosa-cosa-sinasina余弦cosasina-sina-cosa-cosa-sinasinacosacosa奇函数T"在+町(丘亡Z)上是毬函数正切余切-tana -cotacotatana-c

18、ota -ti na-tana -cotatanacotacotatana-cota -ta na-tana -cotatanacota2.1.1复数复数的定义引入虚数单位i，规定i2=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有加乘运算仍然成立。 形如：a+bi （ a,b为实数）a-实部 b-虚部复数的 表示形式代 数 形 式角 形 式z = r(cosi3 +? d)r = J, + 沪F欖& 辐角 代数式(a 4- Bi) ±( + 由)=(a±c)+(b± d)i(由 4- bi)(c - di) - (ac- bd) + (由圧 +bc)

19、i a + bi +bf)(c- di)ac 十£>£ be - ad ,z 威 + 购眄/+,c2+d2(Cs济同时为零)复数的运算角 式(costfj 4-J Sin g)+3 Sill8)=jy 2+ 召 2)+ i 呂诚坷 + &2)ritcosi +i sin A) r,<一 乂 =丄遇的-8"-时ra(cos02 4-j sin S2) r2r(cos4-j sin ff)B = r1* (cosmS+j sinw) r(cas& +i氏in®的折欠方根是：况厂 0 + 2耘.S + 2ks-.-让% (cos+i

20、 sin)供=1,2,- , w-1)2.2排列、组合分类计数原理做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办 法中有 ml种方法，第二类办法中有m2种方法,，第 n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+ +mn种方法。分步计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有ml种方法，第二步中有 m2种方法,，第 n步中 有mn种方法，则完成这件事共有：N=m?m2?,? mn种方法。注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。排 列组 合从n个不同的元素中取 m(n n)个元素，按照一 定的顺序排成一排，叫做从

21、n个不同的元素中取 m个元素的排列。排列 数 从n个不同的元素中取 m(m n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素 的排列数，记为Pnm从n个不同的元素中，任取m(mc n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 m个元素的组合。组 合数从n个不同的元素中取 m(m n)个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组 合数，记为Cnm选排列 数全排列 数泾二啥-1)3-23-(«-M +1)(常舟干 数值计算)r用F：=灯常年干规定0! = 1罕母计算和证明)C：=笙常用于数值计算) 初！=-(常用干字母计算和证明)重宴性质：规定=1bs

22、+1 " b* + L*项式定理二项展开式的性质住轉&此公式所表示的定理叫二项式定理C?aJf + Cy-1& + - +CX叫做 +的二项展开式弗说工；叫做二项式系数通项公式；&+i =一好& = 0X2罚(1)项数：n+1项指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0 起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于 n。(3)二项式系数：二顶式肘隸具对称也钢端等离的两项的二项式隸相等pMM <7 W-l厂拇WJ +1严風+】当必偶数时，则中间一顶的系数最大?当N为奇数时，中间两项的系数最大。所有_軾系號和为皿+&

23、#169; 尸各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和目卩 H+U+.S+C*诗+" 2.3平面几何2.3.1直线与角直线（不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。射线在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。线段直线上两点间的部分。它有两个端点。垂线如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中 条叫另 条的垂线，匕们的交点 叫垂足。斜线如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。平行线在冋一平面内不相交的

24、两条直线叫做平仃线。平行线公理及推论经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平仃。 平行于同一条直线的两条直线平行。角的定义有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角角的分类周角：3600 平角：1800 直角：900 锐角：00<a<900 钝角：900<a<1800232三角形三角形的分类按角分锐角三角形，钝角三角形，直角三角形按边分等腰三角形，等边三角形，不等边三角形三角形的角平分 线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角的平分线。三角形的中线连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高三角形一个顶点到

25、它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。三角形的中位线连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。性质全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。判定任意三角形直角三角形（1）两边及夹角对应相等。记为SAS（1）一边一锐角对应相等（2）两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS（2）两直角边对应相等。（3）三边对应相等。记为 SSS（3）斜边、直角边对应相等（HL）三角形的四心名 称定 义性 质内心三角形三条内角平分线的交点，叫做 三角形的内心（即内切圆的圆心）（1）内心到三角形三边的距离相等。（2）三角形一个顶点与内心的连

26、线平分这个角。外 心三角形三边的垂直平分线的交点，叫 做三角形的外心。（即外接圆的圆心）（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。（2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。重 心三角形三条中线的交点，叫做三角形 的重心。（1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。（2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。垂心三角形三条高的交点，叫做三角形的 垂心。三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。2.4立体几何2.4.1直线与平面平面的基本性质图形作用公理1:如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么这 条直线上的所有点都在这 个平面内。(1) 判疋直线

27、在平面内的依据(2) 判定点在平面内的方法公理2:如果两个平面有一 个公共点，那它还有其它公 共点，这些公共点的集合是 一条直线 。_h1(1) 判定两个平面相交的依据(2) 判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3:经过不在一条直线 上的三点，有且只有一个平 面。ZD7(1) 确定一个平面的依据(2) 判定若干个点共面的依据推论1 :经过一条直线和这 条直线外一点，有且仅有一 个平面。7(1) 判定若干条直线共面的依据(2) 判断若干个平面重合的依据(3) 判断几何图形是平面图形的依据推论2:经过两条相交直线， 有且仅有一个平面。推论3:经过两条平行线， 有且仅有一个平面。7公理4:平行于同

28、一直线的两条直线互相平等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。异面 直线b为二异面直线，0 e a T0b fa ffa7b Hbra与方所成的锐角(S角) 叫做异面直线鸡&所成的叙於J *)若朋丄上于4,肋丄b千§则直线 血叫两条异面直线乐乃的公垂线°线段血的长度叫异面直线eb的距离。位置 关系(1) 直线在平面内一一有无数个公共点(2 )直线和平面相交一一有且只有一个公共点(3 )直线和平面平行一一没有公共点判定定理性质定理空 间 直 线 和 平 面直 线 和 平 面 平 行若M工& u #nlfb判定定理性质

29、定理m rt n = <?, J 丄用1丄h二J丄口Sa丄gb丄住直线 与平 面所 成的 角(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角(2) 条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角(3) 条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个 平面 平行判 定性质(1) 如果一个平面内有两条相交直线 平行于另一个平面，那么这两个平面平 行(2) 垂直于冋一

30、直线的两个平面平行(1) 两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于 另一个平面(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行(3) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它 也垂直于另一个平面相交 的两 平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线， 这两个半平面叫一面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平 面垂 直判 定性质如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直(1) 右二平面垂直，那么在一

31、个平面内垂直于它们的 交线的直线垂直于另一个平面(2) 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内242多面体、棱柱、棱锥多面体疋义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。棱 柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。欧拉定理简单多面体的顶点数 V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2多面体侧面积公式1111hS附j = thSjE顷M二寸h血朋削=2+C刃体积公式

32、球球的表面秒S皿 球的体税卩丄尿3方 程 与 曲 线已 知 曲 线 求 它 的 方 程 的 步 骤2.5解析几何2.5.1方程与曲线概 在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标(x,y )都是方程F (x,y)=O的解；反之方程 F (x,y)=O的念 解为坐标的点(x,y )都在曲线C上，那么方程F(x,y)=0叫曲线C的方程，曲线 C叫方程F(x,y)=0的曲线。(1) 建立适当坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点 P的坐标;(2) 写出适合条件 M的点P的集合(3) 用坐标表示条件 M( P),列出方程；f( x,y)=0(4) 化方程f( x,y)=0为最简形式(5) 证明化简后的

33、方程的解为坐标的点都是曲线上的点如果碱立，那伽成立即加&就昱说醞B成立的充分峯件如果B成立，那么碱立；即或者，如不成立, 那么蹴不成立，这时我们就说川是碱立的必護条件如臬Hn丘又有BnA我们就说川是丘成立的 充芬必蓉峯件，简称充萼家件，即)002.5.2直线直直 线 的 方程点斜式：/-/（J =直线与x轴垂直不能用斜截朮丿=kxtb直线与x轴垂直不能用两点式工三血 x2xl直线与坐标轴垂直不能用栽距式丄+匕1 a b直线与坐标轴垂直或过原点不能用般式；jfc + B+C = OA B不全为零点到直线 的距 离他+肌+c表不点（*00）到亘线山+ + C = Cl的距离线两1】：y 二

34、 k"wijr+Fy+ C = 0'； y = k”+ 堪3工+ B* +G = 0条 直 线 的 关 系 及 条 件平行重合垂 直片叫oAj - k2且M3丰型2（】1与7彳不与X轴垂直 或応 岛创 sh与b重合0局屉且 呵=加浜与乃不与渤 竺或牛奢寻I丄 jj U* 托曲2 -1 （円曲不与湍垂直 或A地+禹昂=o斜交二直线的夹角0<S<-t边8=1 2河 |21 +讪J经过二直线h：如+陀+ 6 讥应+=0的交点的直线至方程含直线岛x + R需+ © = 0） 如+RP+G +丄（地"场厂6X W琳任意实数）2.5.3 圆定义：平面内到定

35、点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。标准方程風心（込b）半径f点与圆的位置关系直线与圆的位置关系一般方程Q 才 + 6 +助+恥0 （其中，+总2-4巧0）点理2）圆C（a,b）半径f 尸在圆内o|PC|< r 円5圆上u PC= r 氏圆外«|?C|>r圆心C®直线丄的距离为么 圆的半径为打则 相离O泌> r 相切o再=r相交Od<T过圆/ +J2 =r2±, 一点（巾申） 圆的切线方程：心+丹厂圆与圆的位置关系圆心距嗚曲 两圆半径为尸1与耳 夕卜离od >耳+r2 外切U才=巾+巧 外离Ori-r2<d

36、<r1 + r3 内切 <=> d =| 71 -尸2 | 內含 u>ii < 7j - >5 j2.5.4椭圆2.5.5双曲线双定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F仆2| ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。曲 线标准方程2.5抛物线定义：平面内与一个定点 F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线的焦点，直线 L叫做抛 物线的准线。标准方程卩=-2曲沙宀2刃(”0)* =-2 刃 >0)隹占八、八、1J7< 10x|1FFl伽9因知> 0,所以X >

37、0,抛物线和轴右侧当谑増丈朮 刃也増大，所以抛物线向右上方和右下方无限延伸几何性质顶占八、曲线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。坐标原点（0, 0）e=12.6向量部分2.6.1空间向量空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量共线向量定理对干空间任间两个向童爲反屛0）皿饥的充宴条件是存在实数丄使得Xb共面向量定理如果两个向里乱济共线，则向里珅向虽盘缺面的 充要务件是存在突数对"使»:+莎空间向量基本定理如果三个向量陆&匚不共面，邵么对空间任1向量B存在惟1的有序实数对（“）,使p = xa+yb +2C两个向量的数量 积(1) 向量耳咖數量

38、积:a b=|a| cos<fl?&>(2) 向量忑在轴Lt或2方向上的抵影：iJf r rA B = AB | cos< a,e>- a空间向量的数量 积的性质T乂fK玉(l)fl e 斗 a cos< a,> (加丄S=0 | <a p= a-a空间向量的坐标 运算（1）设"（旳卫中驹工&工，切则 =a2 +b2ta3 +63）,rfa-b = （a _血“巾一bg”旳一 ®）;几“（如込w£1 -£? =+ （3;£?2 十应？号工应"巾 O 4= 葩，仪=肋= 肋M a

39、 ±& u> dj&j十应直j +勺毎« 0两向量的夹角设应=（即巾申以7 =则心旳汁血心_+庄；+灵屈+世十磧262平面向量平面向量的概念在平面内具有大小和方向的量叫做和向量运算性质r+亦 b)+=口十(&+c)w +0 = 0 +a - a实数与向量的积定义：Ifl帥vD时，；U与旅向冃几盘|运算律几(严)=(1/i) a(2 4- /i)a - Aa + /ia l(a 4-fe) = 2 a + A6 aa& =：(爲)=2(7 易(应士巧 & = a b+b c平面向量基本定如果订和石是同一平面的两个不共线向童，那么对

40、该平面 内的任-向直有且只有-对实数几卜僮也+心2向量平行两向量平行的充宴条件:a« a = A&设“（勺1）,& = （f 2），则 &"占0竹7 1乃Pl =0向量垂直两向童平行的充宴条件:0设4 =（九皿丄（乃则t十卫丄& »旳卩2 += 0定比分点公式L_旳"七设p（5 %巧冃佑 m且几p&则1弋.力十妙2V 1 + 2三、常用公式3.1常用公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+

41、b| w |a|+|b|a-b| w |a|+|b|a| w b<=>-b w aw b|a-b| > |a|-|b|-|a| w aw |a|一兀二次方程的解-b+ V (b2-4ac)/2a-b-b+ V (b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0注：方程有一个实根b2-4ac<0注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin( A+B)=s in AcosB+cosAs inBsi n(A-B)=s in AcosB-si nBcosAcos(A+B)=c

42、osAcosB-s inAsinBcos(A-B)=cosAcosB+s inAsinBtan (A+B)=(ta nA+ta nB)/(1-ta nAta nB)ta n(A-B)=(ta nA-ta nB)/(1+ta nAta nB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan 2A=2ta nA/(1-ta n2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-s in 2a=2cos2a-1=1-2s in2a半角公式si n(A/2)= V (1-cosA)/2

43、)si n( A/2)=-V (1-cosA)/2)cos(A/2)= V (1+cosA)/2)cos(A/2)=- V (1+cosA)/2)tan( A/2)= V (1-cosA)/(1+cosA)tan( A/2)=- V (1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)= V (1+cosA)/(1-cosA)ctg(A/2)=- V (1+cosA)/(1-cosA)和差化积2si nAcosB=si n(A+B)+si n(A-B)2cosAs in B=si n(A+B)-si n(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-si n( A-B)-2si nAsi nB=

44、cos(A+B)-cos(A-B)sin A+si nB=2si n(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)si n( (A-B)/2)tan A+ta nB=si n(A+B)/cosAcosBtan A-ta nB=si n( A-B)/cosAcosBctgA+ctgBs in( A+B)/si nAsi nB-ctgA+ctgBsi n( A+B)/si nAsi nB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+, +n=n(n +1)/21+3+5+7+9+11 + 13+15+, +(2 n-1)=n22+4+6+8+10+12+14

45、+, +(2 n)=n(n +1)12+22+32+42+52+62+72+82+, +n 2=n(n+1)(2 n+1)/613+23+33+43+53+63+, n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+, +n(n+1)=n(n+1)( n+2)/3正弦定理a/si nA=b/si nB=c/si nC=2R注：其中R表示二角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b ）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方

46、程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数 r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=

47、s*h圆柱体V=pi*r2h3.2几何图形及计算公式平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C= 4aS= a2长方形a和b边长C= 2(a+b)S= ab三角形a,b,c 三边长S= ah/2h a边上的高=ab/2 sinCs 周长的半=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C 内角=a2si nBsi nC/(2si nA)其中 s= (a+b+c)/2四边形d,D 对角线长S= dD/2 sin aa 一对角线夹角平行四边形:a,b 边长S= ahha边的高=absin aa 两边夹角菱形:a 边长S= Dd/2a 夹角=a2sin aD-长对角线长d短对角线长梯形a和b上、

48、下底长S= (a+b)h/2h 高=mhm中位线长圆r 半径C= n d= 2 n rd 直径S= n r2=n d2/4扇形r 扇形半径C= 2r + 2n r X (a/360)a圆心角度数S= n r2 X (a/360)弓形:l 一弧长S= r2/2 ( n a /180-sin a )b 弦长=r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2h 矢咼=n a r2/360 - b/2 r2-(b/2)21/2r 半径=r(l-b)/2 + bh/2a 圆心角的度数 2bh/3圆环R外圆半径S= n (R2-r2)r 内圆半径=n (D2-d2)/4D外圆直径d内圆

49、直径椭圆D长轴S= n Dd/4d短轴立方图形名称符号面积S和体积V正方体a _边长S= 6a2V= a3长方体a -长S= 2(ab+ac+bc)b 宽V= abcc 咼棱柱S底面积V= Shh 高棱锥S底面积V= Sh/3h 高棱台S1和S2上、下底面积V= hS1+S2+(S1S1)1/2/3h 高拟柱体S1上底面积V= h(S1+S2+4S0)/6S2下底面积SO中截面积h 高圆柱r 底半径C= 2 n rh 高S 底=n r2C 底面周长S狈寸=ChS底底面积S 表=Ch+2S底S侧一侧面积V= S 底 hS表表面积=n r2h空心圆柱R外圆半径V= n h(R2-r2)r 内圆半径h 高直圆锥r 底半径V= n r2h/3h 高圆台r上底半径V= n h(R2 + Rr + r2)/3R-下底半径h 高球r 半径V= 4/3 n r3 = n d2/6d 直径球缺h 球缺高V= n h(3a2+h2)/6r 球半径=n h2(3r-h)/3a球缺底半径a2= h(2r-h)球台r1和r2 球台上、下底半径V= n