数学：7.7《数列的极限》教案

1、7.7 (1)数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的 运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1 .理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2 .观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、 量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美 能力.3 .利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习 的兴趣.三、教学重

2、点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解难点：数列极限白定义的理解 .四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈五、教学流程设计实例引入Vj-辑修女-可编辑修改-课堂小结并布置作业六、教学过程设计情景引入1、创设情境，引出课题1.观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之植，日取其半，万世不竭 .”哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，如此 继续下去，永远

3、也无法取完 2. 思考学生教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数?2n3.讨论 教师； 随着n的增大，数列 On的项会怎样变化？学生：慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极PM-引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念(1)直观认识 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势(a) L J,A 二，10 102 10310n“项”随n的增大而减小但都大于0当n无限增大时，相应的项1,-可以“无限趋近于”常数 0 n_ . 10彳 11 . (-1).(b)-1,- -,A A2 3 n“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小(-1)n当n无限增大时，相应

4、的项可以“无限趋近于”常数(O L2,3,A,°,A2 3 4 n 1“项”随n的增大而增大但都小于1当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数n 1教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式:(a)从右趋近(c)从左趋近(b)从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析

5、教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数 n无限增大时，数列 On的项无限的趋近于某一个常数n那么就说数列兄以a为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢?学生1 ：（思考片刻）不是.如an =n、，,2学生2： an = nan =(-1)n教师：请大家再看一下,卜面的数列极限存在吗？如果有，说出极限(a) annn -1n是奇数n是偶数(b)无穷数列：0.3,0.33,0.333,A Q.333A33八学生1：数列（a）有极限，当n是奇数时，数列马口的极限是0,当n是偶数时，数列右口的极限是1 .数列（b）的极限是0.4.教师：有不同意见吗?学生2 :数列（b）的极限是0.34学

6、生3 ：数列（b）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（ b）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a）有极限吗？数列（b）的极限究竟是多少？（学生们沉思）i 1学生4:数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数数列（b）的极限是-.3教师：回答的非常正确（用动画演示数列（ b）的逼近过程），同学们对（ a）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b）随着n的无限增大，它会趋近于 0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所

7、以无限的接近必须有量化的表述（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？口 *学生：用n an和a之间的距离的缩小过程，即|an -a趋近0%,（T）n教师：现在以数列 n an 一L为例说明这种过程观察：n距离量化：同0 =|5一0,随着n的增大，1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记 n nn, 、八，一上_1为&）,只要n n充分的大，者阿T比给定的正数小.n教师：请同桌的两位同学，一个取e ,另一个找 n.问题拓展学生：老师再来几个其它的数列教师：以上我们以提到的111 A A 1八和111 ，1 ，A 1,A为2, 4, 8息人力2口 1 -10,1 -102

8、,1 -103,八,1-10- 力例，大家可以再操作一下 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限， 对于给定的正数* 总可以找到一项aN ,使得它后面的所有的项与数列的极限的差白绝对值小于£.教师：顺理成章的给出数列极限的&-N定义：一般地，设数列 右口是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的 正数£，总存在正整数N ,使得只要正整数n > N ,就有an -a < £ ,那么就说数列 Qn 以 a为极限，记作lim an = a ,或者n t 8时an t a .n :，教师：常数数列的极限

9、如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0,当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题把这个数列的前5项在数轴上表示出来.写出n an -1的解析式.3 n匚：中的第几项以后的所有项都满足an -1 < e+1,100"n -1'指出数列：的极限.E十1,课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结无穷数列是该数列有极限的什么条件.常数数列的极限就是这个常数 .数列极限的描述性定义.数列极限的名一 N的定义.五、作业布置1 .课本第42页习题2 , 3,42 .根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇我看极限的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、 方法的影响，学习过