正切-余切图像的性质-反三角函数.

1、正切、余切函数图象和性质反三角函数知识要点 1正切函数、余切函数的图象与性质2反三角函数的图象与性质3已知三角函数值求角目的要求 1类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.2从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.3能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.4能用反三角函数值表示不同范围内的角.重点难点 1正切函数图象与性质2已知三角函数值求角内容回顾 一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是图识性 ”因.此，可以先作出正、余切函数的图象.“由作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移

2、三角函数线法.与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线 渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法 ”.若想迅速作出余切函数 y=cotx 的图象，如何选择 “三点 ”及 “两线 ”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案 .二、正、余切函数的性质由图象可得:y=tanxy=cotx定义域值域RR单调性在上单减 (k Z)在上单增 (k Z)周期性T=T=对称性10对称中心，奇函数 (k Z)10对称中心，奇函数 (k Z)20对称轴；无20对称轴；无注 : 1、由定义域知，y=tanx 与 y=cotx 图象都存在无数多

3、个间断点（不连续点）.2、每个单调区间一定是连续的.3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x 到 y 的多值对应， 要使其有反函数，必须缩小自变量x 的范围， 使之成为由 x 到的锐角；（y 的对应 .从方便的角度而言，这个 x 的范围应该（ 1）离原点较近；（ 2）包含所有3）能取到所有的函数值；（ 4）最好是连续区间 .从这个原则出发，我们给出如下定义:1 y=sinx, x的反函数记作y=arcsinx, x -1,1，称为反正弦函数.y=cosx, x 0,的反函数记作y=arccosx, x -1,1，称为反

4、余弦函数.y=tanx， x的反函数记作y=arctanx, x R，称为反正切函数.y=cotx ， x (0,)的反函数记作y=arccotx, x R，称为反余切函数.2反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.注 :（ 1） y=arcsinx, x -1,1 图象的两个端点是（ 2） y=arccosx, x -1,1 图象的两个端点是（1， 0）和（ -1， ）.（ 3） y=arctanx, x R 图象的两条渐近线是和.（ 4） y=arccotx, x R 图象的两条渐近线是y=0 和 y=.四、反三角函数的性质由图象，有y=arcsinxy=arcc

5、osxy=arctanxy=arccotx定义域-1,1-1,1RR值域0, (0, )单调性在-1 ，1 上单增在 -1 ， 1上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心10对称中心（0， 0）奇函数10对称中心（0， 0）奇函数10对称中心20对称轴；无0对称轴；无2非奇非偶非奇非偶20对称轴；无20对称轴；无周期性无无无无另外 :1三角的反三角运算arcsin(sinx)=x(x )arccos(cosx)=x (x 0,)arctan(tanx)=x(x )arccot(cotx)=x(x (0,)2反三角的三角运算sin(arcsinx)=x (xtan(arctanx)=x (x

6、 -1,1) R)cos(arccosx)=x (x -1,1)cot(arccotx)=x (x R)3 x 与 -x 的反三角函数值关系arcsin(-x)=-arcsinx(x -1,1)arccos(- x)= -arccosx (x -1,1)arctan(-x)=-arctanx (x R)arccot(- x)= -arccotx(x R)4五、已知三角函数值求角1. 若 sinx=a (|a|，1)则 x=k+(-1)k arcsina(k Z)2. 若 cosx=a (|a| ，1)则 x=2k± arccosa(k Z)3. 若 tanx=a (a R), 则 x

7、=k+arctana (k Z)4. 若 cotx=a (a R), 则 x=k+arccota(k Z)具体计算和表示时，应根据x 的范围来确定x 的个数 .典型例题分析例 1比较大小:(1)(2)分析 :不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.解 :（1）,而，由余切函数在（0， ）上的单减性，有， （ 2）.例 2写出下列函数的单调区间(1)(2)(3)y=|tanx|分析 :(1)若设，则原函数可看作是由y=tanu,复合而成的复合函数，由于在 R 上单增， 由复合函数的单调性确定法则，可解决之 .类似地， 可解决 (2).解 :

8、(1)上单增， (k Z)此时，(k Z)解之得(k Z)在区间上单增 (k Z)(2) 原函数由y=cotu,复合而成，而在 R 上单减，又 y=cotu 在(k Z) 上单减，此时，(k Z)解之得(k Z)即(k Z)在区间(k Z)上单增 .(3) 分析 :由 y=tanx 图象作翻折可得y=|tanx| 的图象，由图象即可得其单调区间.y=|tanx| 的单增区间是(k Z) ，单减区间是(k Z).例 3求函数的值域 .分析 :考虑到最简原则，将sec2 x 化为 tan 2x+1 ，这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx的二次型方程，而 tanx R，可考虑用判别式法求值域.

9、有法一 :， (y-1)tan 2x+(1+y)tanx+(y-1)=0当 y1时，当 y=1 时， tanx=0 R综上，所求值域为.法二 :另分析，先对解析式变形“切割化弦 ”有.(1), ,.法三 :也可由 (1) 式得，解不等式，亦可得.例4设，它们有相同最小正周期T ，且a,b(0,1), 若f(1)=g(1) ，求f(x),g(x) 和T.分析 :先从 f(x) 与解 :g(x) 有共同最小正周期入手，找参数，a=2b,a,b 关系 . f(1)=g(1), 即,或，又 b (0,1),或.,T=12.例 5若, cosx+tsinx=t, 求 t 取值范围 .分 析 : 先 将 t 表 示 出 来 ，观察到此式右端与半角正切的有理公式很相像，能否转化？又， ， 即例 6求值 .:(1)(2)(3)(4)arctan2+arctan3解 :(1)设，则， 原式.(2) 设，原，式(3) 设， 原式值不存在 .(4) 设 arctan2