指数函数、对数函数、幂函数地图像与性质

1、实用标准文案指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（ 1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 nna零的 n 次方根是零次方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反na (a0)负数没有偶次方根数（ 2）两个重要公式an 为奇数 n a na(a0)；| a |n 为偶数a( a0) (n a ) na （注意 a 必须使 n a 有意义）。2有理数指数幂（ 1）幂的有关概念mnm正数的正分数指数幂:n(0,

2、、,且1) ;aaam nNnm11正数的负分数指数幂: a n0, m、nN , 且n 1)m( aa nn am0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质ar as=ar+s (a>0,r、 s Q);(a r ) s =ars (a>0,r、s Q);(ab) r =ar bs(a>0,b>0,rQ);.精彩文档实用标准文案3指数函数的图象与性质y=ax0<a<1a>1图象定义域R值域（0，+）性质（ 1）过定点（ 0， 1）（ 2）当 x>

3、;0 时， y>1;(2) 当 x>0 时， 0<y<1;x<0 时 ,0<y<1x<0 时, y>1(3) 在（ -， +）上是增函（ 3）在（ -，+ ）上是减函数数注： 如图所示，是指数函数（1）y=ax, （ 2）y=bx, （ 3） ,y=c x（4） ,y=d x 的图象，如何确定底数 a,b,c,d与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1 >1>a1>b1, c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时

4、针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 axN ( a0且a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作xloga N ，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点一般对数底数为记法a a0,且a1log aN常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln N精彩文档实用标准文案2 、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（ a0,且 a110， oglagolNN ，ogla N）： logaa 1， aaa（2）对数的重要公式：换底公式： logb Nloga N(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；loga b lo

5、g a b1a。log b（3）对数的运算法则：如果 a0,且a1 ， M0, N0那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log a M nnlog a M (nR) ； log a m bnn log a b 。m3、对数函数的图象与性质a 10a 1图象N 。性（ 1）定义域：（0,+）质（ 2）值域： R（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1， 0）40 x1时，y ( ,0)；4）当 x1时，y(,0)；（ ）当（当 x 1时， y(0,)当 0 x1时， y(0,)（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在

6、（ 0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线 y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。精彩文档实用标准文案0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax 与对数函数y=log ax 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。（三）幂函数1、幂函数的定义形如 y=x （ aR）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象1注：在上图第一象限中如何确定32x2， y=x

7、-1x=x ；y=x ， y=x， y=x ， y方法：可画出01当 x0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x 2， y=x ， yx2 ， y=x -1 ；1当 0<x0<1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1 ， yx2 ， y=x， y=x2， y=x3 。3、幂函数的性质y=xy=x 2y=x31y=x -1yx2定义域RRR0 ，）R且 x0x | x值域R0 ，）R0 ，）R且 y0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0 ，）时，增； 增增x (0,+) 时，减；x (,0时，减x (-,0) 时，减定点（1，1）精彩文档实用标准

8、文案三：例题诠释，举一反三知识点 1：指数幂的化简与求值例 1.(2007育才 A)(33)2211（1）计算：3 (5 4)0.5(0.008) 3(0.02)2(0.32) 2 0.0625 0.2589；412a 38a 3 b23 ba3 a 2(a223a)5a3a（2）化简： 4b323aba3变式：（ 2007 执信 A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:2111(a 3 b 1 ) 2 a 2b3;（1）6a b51121（2） 5a3b 2( 3a 2b 1 )(4a3b 3 )2.617) 021.5 3(80.254 2( 3 23)6(2)3(3)63知识点 2：指数

9、函数的图象及应用例 2.(2009广附 A) 已知实数 a、 b 满足等式 (1)a(1)b，下列五个关系式：0 b a; a b23 0; 0 a b; b a 0; a=b.其中不可能成立的关系式有（）A.1 个B.2个C.3 个D.4 个变式：（ 2010 华附 A）若直线 y2a 与函数 y| ax1 | ( a0 且 a 1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 _.知识点 3：指数函数的性质例 3. （ 2010 省实 B）已知定义域为R 的函数 f (x)2xb2x1是奇函数。2（）求 b 的值；（）判断函数fx的单调性 ;（）若对任意的 tR ，不等式f ( t 22t)

10、f (2t 2k )0 恒成立，求 k 的取值范围变式：（ 2010 东莞 B）设 a0,f(x)=exa是 R 上的偶函数 .aex（ 1）求 a 的值；精彩文档实用标准文案（ 2）求证： f(x)在（ 0， +）上是增函数.知识点 4：对数式的化简与求值例 4. （ 2010 云浮 A）计算：（ 1） log 23 (23)（2） 2(lg2 ) 2+lg2 · lg5+(lg 2) 2lg 21 ;（3） 1 lg32 -4 lg8 +lg245.2493变式：（ 2010 惠州 A）化简求值 .（1） log27+log 12-1log 42-1;48222（2） (lg2)

11、2+lg2 · lg50+lg25;（ 3） (log 32+log 92) · (log 43+log 83).知识点5：对数函数的性质例 5. （2011 深圳 A）对于 0a 1，给出下列四个不等式： loga (1a)log a (a1 ); log a (1a)log a (1 1 ) ；aa a1aa11 a1 a11a ;aa ;其中成立的是（）（A）与（ B）与（ C）与（ D）与变式：（ 2011 韶关 A）已知0 a 1,b 1,ab 1，则loga1 ,log a b,log b1的大小关系是bb（）A.log1log a b1B. log a blo

12、g a11ablog bblog bbb11D.log b1log a1log a bC. log a b log blog abbbb例 6.（ 2010广州 B）已知函数 f(x)=logx(a 0,a 1) ，如果对于任意 x 3，+）都有 |f(x)|a 1 成立，试求 a 的取值范围 .22 ,1-3上是单调递减变式：（ 2010 广雅 B）已知函数 f （ x）=log (x -ax-a) 在区间（ -函数 . 求实数 a 的取值范围 .知识点6：幂函数的图象及应用例 7.(2009佛山 B) 已知点 (2，2) 在幂函数f (x) 的图象上，点1，在幂函数 g (x) 的图，24

13、象上问当 x 为何值时有： （） f (x)g( x) ；（） f (x)g ( x) ；（） f (x)g (x) 变式：（ 2009 揭阳 B）已知幂函数 f(x)=xm22m 3 （ m Z）为偶函数，且在区间（0，+）上b是单调减函数 . （ 1）求函数 f(x);（ 2）讨论 F（ x） =af （x）的奇偶性 .xf（x）四：方向预测、胜利在望1（ A）函数 f (x) lg 1x 的定义域为（）x4精彩文档实用标准文案A(1， 4)B1 ， 4)C(， 1)(4 ， )D (， 1 (4 ， )2. （ A）以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C

14、) ln2(D) ln23（ B）设 a>1，函数 f(x)=logax 在区间 a,2a 上的最大值与最小值之差为1 , 则 a=( )2(A)2 （B）2（C）22 （D）44. （ A）已知 f (x) 是周期为2 的奇函数，当0 x1时， f ( x)lg x. 设af ( 6), bf ( 3), c f ( 5), 则（）522（ A） a b c（ B） b ac（ C） cb a（ D） c a b2ex 1 , x2,则不等式 f ( x)>2 的解集为（）5. （ B）设 f ( x)=log 3 ( x21), x2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B)

15、（10 ，+）(C) （ 1， 2）（ 10 ， +）(D)（1， 2）6（ A）设 Plog 2 3 ， Qlog3 2 ， R log 2 (log3 2) ，则（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1 blog 1 a log 1c ，则 ()222A 2b2a2cB 2a2b2cC 2c2b2aD 2c2a2b8（ B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（）（ A） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C)f ( x)1 (axa x )(D)f (x)ln 2x22x9. （ A）函数 ylog 1 (3 x2)的定义域是： （）2A1,)B

16、(32, )C 32 ,1D( 32 ,110.(A)已知函数 ylog 1 x与ykx 的图象有公共点A，且点 A 的横坐标为 2，则 k （）4A1B1C1D1422411（ B）若函数 f (x)a xb1(a0且 a1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有（）A 0 a 1且 b 0B a 1且 b 0C 0 a 1且 b 0D a 1且 b 012 (B) 若函数 f ( x)log a x(0a1) 在区间 a,2a上的最大值是最小值的3 倍，则 a=（）A.2B.2C.1D.1424213.(A)已知 0x y a1，则有（）（ A） log a (xy)0（B）0log a

17、( xy)1（C）1log a (xy)2（ D） log a ( xy)214. （ A）已知 f ( x 6 )log 2 x ，那么 f(8) 等于（）精彩文档实用标准文案（A） 4（B）8（C）18（D） 13215（ B）函数 y lg|x|（）A是偶函数，在区间 ( ， 0) 上单调递增B是偶函数，在区间 ( ， 0) 上单调递减C是奇函数，在区间 (0 ， ) 上单调递增D是奇函数，在区间 (0 ， ) 上单调递减lg( 4x )_.16. （ A）函数 yx3的定义域是17（ B）函数 y a1x (a0， a1) 的图象恒过定点A ，若点 A 在直线mx ny 1 0(mn0

18、)11上，则的最小值为mn18（ A）设 g ( x)ex, x 0.则 g ( g(1_lnx, x0.)219（ B）若函数 f(x) =2 x2 2axa1 的定义域为 R，则 a 的取值范围为 _.20 (B) 若函数 f (x)log a ( xx22a 2 ) 是奇函数，则 a=21.(B) 已知函数 f (x)1log 21x ，求函数 f (x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调x1x性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1.解：（ 1） 2 ，（ 2） a 2911313515 ab2 .6b(a 3b 2 )5 a 2b 23变式：解：（ 1） 1,（32）4ab(3)1

19、1044ab例 2.解： B变式：解： (0, 1) ；2例 3.解：（） b1 （）减函数。1（） k3变式：解：（ 1） a=1. （2）略例 4.解：（ 1） -1.2） 1.3）1.2712133（ 2）2.（ 3）5.变式：解： (1)log 2log 2 22484222242例5. 解：选D。变式：解： C例 6. 解： (1 ，3 1 ， 1）3变式：解： a|2-23 a 2精彩文档实用标准文案例 7. 解：（ 1）当 x 1或 x1时， f ( x)g ( x) ；（ 2）当 x1 时， f (x)g( x) ；（ 3）当1x1且 x 0时， f ( x)g (x) 变式：解：（ 1） f(x)=x-4 .