1.1.1变化率问题

1、§ 1.1.1变化率问题学习目标1. 知识与技能平均变化率的概念；平均变化率的几何意义，函数在某点处附近的平均变化率2. 情感态度与价值观学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率 学习难点平均变化率的概念.学习连接学习过程、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相矢一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(

2、小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数矢系是V(r)=羊二2如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)極帀4兀分析：r(V)= If V 4応当V从0增加到1时，气球半径增加了 r(1)-r(0) :、062(dm)气球的平均膨胀率为 啲: 0.62(dm/ L)1 0(2)当V从1增加到2时，气球

3、半径增加了 r(2) -r(1)、0.16(dm)气球的平均膨胀率为(2) “3： 0.16(dm/L)2-1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 .思考：当空气容量从V增加到a时，气球的平均膨胀率是多少？ 皿 叽Vi)V2-V1h065这段时间里的平均速度，并思考以下问题49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？2如图是函数h（t） - -4.9t探究：计算运动员在0八t探究过程：6.5t - 10的图像，结合辔可知，h戻h（。）,49=0(s/m)0问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时

4、间 t（单位：S）存在函数矢系h（t）二4.9t2-6.5tW.如何用运动员在某些时间段内的平均速V度粗略地描述其运动状态？ 思考计算：0乞t乞05和1 V八£2的平均速度V在 0 _ t _ 05 这段时间里，V =-4.05（m/ s）0.5-0在1 V 2这段时间里，_82(rTVs)210(s/ m),65虽然运动员在0乞t这段时间里的平均速度为49但实际情况是运动员仍然运动，并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念1. 上述问题中的变化率可用式子*关9¥对丄表示X?称为函数f（X）从X2的平均变化率.2Y=f(x)2若设3 =

5、 X2 为讦二f（X2） - f （治）（这里X看作是对于Xi的一个“增量”可用XU代 替X2,同样f = y =f（X2八f（X-）则平均变化率为卫L （Xi） rxi rxLfg）Z 心 XX2 X1f(x?)思考：观察函数f（x）的图象Af平均变化率Ax三、典例分析例1已知函数X2 X1AB表示什么?临近一点f(X)二X2B(-1:X,-2: y)则卫二解：-2 - y-(-1 二 x)2(-1 / -X)2辿=(1LX：X)( 1: X) 2LX2例2求y=x在X =xo附近的平均变化率.- , 22解：y =(xo ： X - xo所以 _2X=(X。 X)X。z2所以y =x在X = Xo附近的平均变化率为2xo * :_x2门贡点运动规律为S=t3,则在时间(3,3厶t)中相应的平均速度为2物体按照s(t八3性t 4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率33过曲线y = f(x) =x上两点P(1,1