2020年北京市海淀区高三数学一模试题

1、海淀区高三年级第二学期阶段性测试2020春本试卷共6页，150分。考13t时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在复平面内，复数i(2i)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合Ax|0x3,AIB1，则集合B可以是(B)(C)0,1,2(D)(3)已知双曲线21(b0)的离心率为V5b则b的值为(A)1(B)(C)3(D)(4)已知实数ac在数轴上对应的点如图所示,则

2、下列式子中正确的是(A)all(B)c2ab(C)(D)|b|c|a|c(5)在1(一X2x)6的展开式中，常数项为(A)120(B)120(C)160(D)160(6)如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M时,圆M与直线l相切于点B，点A运动到点A,线段AB2(A)1(E(C)岑(7)已知函数f(x)|xm|与函学减，则m的取值范围为(A)1,)(C)2,)(8)杲四棱锥的三视图如图所示，(A)而(B(C)2忠(D(9)若数列an满足a1=2,则“(A)充分而/、必要条件M-M.点3)23ABl21D2放g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,

3、2)内单调递(B)(,1(D)(,2该四棱锥中最长棱的棱长为川：人*Nd)加,p,rN,aprapa'”是"为为等比数列”的(B)必要而不充分条件的长度为凹，则点M到直线BA的距离为(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)形如22n1(n是非负整数)的数称为费马数，记为Fn.数学家费马根据F0,Fl,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是(参考数据：lg20.3010)(A)9(B)10(C)11(D)12第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知点P(

4、1,2)在抛物线C:y22Px上，则抛物线C的准线方程为.(12)在等差数列%中，a1'a?a516,则数列的前4项的和为1(13)已知非零向量a,b满足|a|二|ab|,则(a1b)b.2(14)在ABC中，AB44，B,点D在边BC上，ADC,CD2,43则AD;ACD的面积为.(15)如图，在等边三角形 ABC中，AB6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f (x),给出下列三个结论：函数f(x)的最大值为12;函数f(x)的图象的对称轴方程为x9;关于x的方程f(x)kx3最多有5个实数根.A其中，所有正确

5、结论的序号是.注：本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分,其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA4C1中，AB平面BB1C1C,ABBB12BC2,BC1J3,点E为A1C1的中点.一)Af(I)求证：CiB平面ABC；1(n)求二面角ABCE的大小.八(17)(本小题共14分)已知函数f(x)2cos1xsin2x(I)求f(0)的值;(n)从i1,22；i1,21这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件,求函数f(x)在,_上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周

6、期.26注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。(18)(本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:100£0eo4020a14.0%12"10 0%区口%6.0%41%2.0%0.0%2013 加 12015 2016 2017 2013 2U1P 发投入 胡发投入占营收其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元).(I)从2010年至2019年中随机选取一年，

7、求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(n)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(出)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.(19)(本小题共15分)已知函数f(x)exax.(I)当a1时,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；求函数f(x)的最小值；(n)求证：当a(2,0)时，曲线yf(x)与y1lnx有且只有一个交点.(20)(本小题共14分)已知椭圆C:x2-yy1(ab0)的离心率为,Ai(a,0),A2(a,0),B(0,b),a

8、2b22AiBA2的面积为2.(I)求椭圆C的方程；(n)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AiB与直线AM交于点P,直线AiM与直线A2B交于点Q.求证：BPQ为等腰三角形.(21)(本小题共14分)已知数列an是由正整数组成的无穷数列.若存在常数kN,使得a2n1a2nkan对任意的nN成立，则称数列an具有性质(k).(I)分别判断下列数列an是否具有性质(2)；(直接写出结论)为1；an2n.(n)若数列an满足an户an(n1,2,3,L),求证：“数列an具有性质(2)”是“数列an为常数列”的充分必要条件；(出)已知数列an中为1,且an1%(n1,2,3,L).若数列a

9、n具有性质(4),求数列小的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020春阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABBDCCDCAB、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.题号1112131415答案x1240472,蛔注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)解：(I)因为AB平面BB1cl

10、e,C1B平面BBGC所以ABQB.分在BCG中，BC1,BC1内,CG2,所以BC2BC；CC12.所以CBGB.分因为ABIBCB,AB,BC平面ABC,所以C1B平面ABC.分(n)由(I)知，ABC1B,BCC1B,ABBC,如图，以B为原点建立空间直角坐标系Bxyz.则 B(0,0,0) , E(1,点1) , C(1,0,0).uuiruuu iBC (1,0,0) , BE ( , 3,1). ，2设平面BCE的法向量为n (x,y,z),uurn BC 0,八贝U uuu分n BE 0.x 0,即1x 3y z 0.2令 y J3则 x 0 , z 3,所以 n (0, ,3,

11、 3).又因为平面ABC的法向量为m (0,1,0),所以cos m,nm n 1|m|n| 2由题知二面角ABCE为锐角，所以其大小为.为43(17)解：(I)f(0)2cos20sin02.分(n)选择条件.f(x)的一个周期为兀.分2.-f(x)2cosxsin2x(cos2x1)sin2x2(2sin2x2cos2x)1222sin(2x)1.因为x ,T ,所以2x+ 2 64,.4 12所以1sin(2x)1.4所以122f(x)122.2分当2x=万时，即x=m时，31分f(x)在,取得最小值122.蒯26选择条件.f(x)的一个周期为2n.分2.f(x)2cosxsinx2(1

12、sin2x)sinx分1217八2(sinx-)2一.和481 .因为x一，一,所以$所*1-.能2 62所以当sinx=1时，即x=时，31分2f(x)在,一取得最小值1.分426(18)解：(I)设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，分9所以P(A).分10(II)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元,所以X的所有可能取值为0,1,2.分C52C5C55C52且P(X0)-=-;P(X1)=_；P(X2)-=一.T

13、0分Cio9C109C109所以X的分布列为:X012P2959291212分故X的期望E(X)0-1(m)本题为开放问题，答案不唯一.要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分14分该公司重视研发.理由如下:理由1:该公司从2012年至2019年连续8年研发投入占当年营收13%以上，因此在发展的过程中比较重视研发.理由2:该公司从2010年开始，每年的研发投入基本保持一个增长态势，从2015年开始每年研发投入有600亿及以上，因此在发展的过程中比较重视研发.理由3:该公司从2012年至2019年每年平均研发投入占当年营收的14%,因此在发展的过程中比较重视研发.无

14、法确定该公司是否重视研发.理由如下：根据现有数据，从2010年至2019年，该公司每年的研发投入大体上呈逐年上升趋势，且研发投入占当年总营收的百分比从2010年2011年的10%左右，增长到2012年至2019年的14%左右，据此可推测该公司在发展过程中对研发的重视程度大体上是在提升的.但是，由于没有与该公司相当规模的同类型公司的数据做参考，无法知道该公司是否在行业内属于相对而言比较重视研发的公司(19)解:(I)当a1时，f(x)exx,则f(x)ex1.分所以f'(0)0.分又f(0)1,分所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1分令f'(x)0,得x0.分此

15、时f(x),f(x)随x的变化如下：7分x(-?,0)0(0,+?)f(x)-0+f(x)极小值可知f(x)minf01,函数f(x)的最小值为1.分(n)由题意可知，x(0,).分1x由(I )中可知exx 1 ,故ex 1 x .因为 a ( 2,0),令g(x)eaxlnx1,则g'(x)ea.和(20)a:(I)由题ab2aJ22,b2解得ab2,1.所以椭圆方程为y21.(II)解法1证明：设直线A2M方程为yk(x2)(k0且k方程为y2x1k(x1-x22),解得点1.P(4k22k4k2k1).y2x4k(x2),得(4k1.21)x216kx16k22xM=lk2-7

16、.所以Xm=8k224k即M(8k4k2,4k217，yM=7T214k4k4k21).4k2k_4k_LkAM28k2.224k114k于是直线A1M的方程为y4k(x2),直线A2B的方程为y1.(xx 1.4k24k解得点Q(4k21,2k1-x12F日xP4k设PQ中点为N,则N点的纵坐标为2k12k112.BQ故PQ中点在定直线y1上.从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP所以BPQ为等腰三角形.解法2证明：设M(xo,yo)(x。2,yo1)则x24y24.直线AM方程为(x2),直线AB方程为xo21x1.22)Jxxo2'解得点P(2xo4%2yoxo44%

17、)2,2yo%2).直线AM方程为(x2),直线AB方程为xo2y。Xo21X2(x2)解得点1.Q田).2x04y042x04yo+42y0Xo22y0+X022(Xo2y02)(2%+%2)2(X02y0+2)(2%2)(2y0X02)(2y0+X02)222(X02y。)24)(4(X02y。)2八0.加(2V。X02)(2y0+X02)于是XpXq,所以PQx轴.为4y04y°ypVq2y0X022y0+X024y0(4V。4)4y0(4y04)2(2y0X02)(2y0+X02)©02)2X2故PQ中点在定直线y1上.恰从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以

18、|BP|BQ,所以BPQ为等腰三角形.伊(21)解：(I)数列a具有“性质(2)”；2分数列an不具有“性质(2)”.4分(n)先证“充分性”：当数列an具有“性质(2)”时，有a2nia2n2不又因为an1an,所以0a2nanana2n10,进而有ana2n6.分结合an1an有anan1a2n,即“数列an为常数列”；7.分再证“必要性”：若“数列an为常数列”，则有 a2n 1 a2n 2al2%即“数列an具有“性质（2）”.8分(出)首先证明：泮1an2.因为an具有“T质(4)”，所以a2n1a2n42口.当n1时有a2=3a13.9分又因为a2n1,a2nCnN且a2na2n-1,所以有a2n2an1,a2n12an1,进而有2an1a2na2n112an12,所以2(*1an)3,结合4+1,anN*可得：an1an2.1分然后利用反证法证明：ama2.假设数列an中存在相邻的两项之差大于，即存在kN满足：a2k102k3或a2k+2a2k+13,进而有4(3k1ak)(a2k2+a2k+1)(32k+02k1)=(32k2a2k)+(a2k+1a