第四章++曲线积分与曲面积分

1、第四章 曲线曲面积分第一讲 型曲线积分与型曲面积分教学目的与要求：1. 理解型（对弧长的）曲线积分的概念和性质； 2. 理解型（对面积的）曲面积分的概念和性质； 3. 掌握计算曲线积分与曲面积分的方法； 4. 了解曲线积分与曲面积分的应用。知识点：型曲线积分的概念、性质、计算及应用；型曲面积分的概念、性质、计算及应用重点：型曲线曲面积分的计算难点：型曲线曲面积分的概念教学方式：启发对比式教学，多媒体辅助教学思路：有定积分和重积分为基础，指出重积分及定积分的本质区别是积分区域不同，从而将积分区域再次变更，就自然地引入了型曲线曲面积分；为了得出精确定义以实例为背景，再逐一介绍性质、计算方法及应用，

2、并以对比的方式进行。教学过程：一、引例与概念指出定积分、二重积分、三重积分的概念都是构造性定义，它们的实际背景分别是曲边梯形的面积，曲顶柱体的体积、物体的质量，那么曲线形构件的质量，曲面形构件的质量又怎样得到，是否能得到我们所需要引进的概念，下面看引例。1引例引例1 设有线密度为(x, y)的非均匀平面曲线形构件L，求其质量解：分割，M1，M2，Mn-1si， 求和， （近似值） 取极限， （精确值） 引例2 设有线密度为的非均匀空间曲线形构件，求其质量。解：分割，M1，M2，Mn-1si， 求和， （近似值） 取极限， （精确值） 引例3 设有面密度为的非均匀光滑曲面形构件，求其质量。解：分

3、割，用一族曲面将分割， 求和， （近似值） 取极限， （精确值）以上三个引例有共同点：（1）都与函数和区域有关；（2）处理方法一样（分割、求和、取极限），（3）结果一样（和的极限）。由此可得型曲线曲面积分的定义。2概念型线面积分的统一定义（形式上的定义）设S表示曲线（或曲面），是可以度量的，f (P)是有界函数（1）将S任意分划成n个小部分S1，Sn（Si也表量度）；（2），作乘积作和；（3）记的直径如果无论对S怎样的分划，在上怎样的取法都存在，则称其为在S上的曲线（或曲面）积分。记为 （1）若，则对弧长的曲线积分（2）若，则对弧长的曲线积分（3）若则对面积的曲面积分注意：（1）当在光滑曲线弧

4、L上连续时，对弧长的曲线积分存在。（1）当在光滑曲面上连续时，对面积的曲面积分存在。（2）曲线型构件的质量（2）曲面型构件的质量（3）若L为封闭曲线，则记为（3）若为封闭曲面，则记为（4）， （4），型线面积分与方向无关！二性质（1）（1） （2） （k为常数）（2） （k为常数）（3）（3）（4）。三、对弧长的曲线积分的计算1直接计算法 定理1 （1）设在L上连续， （2）L的参数方程为 ， （3）在上具有一阶连续导数，且， 则 ）定理证明从略。 注意：（1）积分下限一定小于上限； （2）计算时，将换成，再作的积分 概括为“一代二换三定限”； （3）。 （4）。 （5） （6） .ex1.

5、计算，其中L是以O(0,0), A(1,0), B(0,1)为顶点的三角形的边。解：； ex2. 计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解： ； ； ex3. 计算，其中为折线A(0,0,0), B(0,0,2), C(1,0,2), D(1,3,2).解：； 2利用对称性简化计算利用对称性可以简化I型曲线积分的计算，在运用时必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。I型曲线积分的对称性归纳如下几种情形： （1）当L对称于x轴时， （2）当L对称于y轴时，ex4. 求，其中，从（1，2）到（1，-2）一段.方法1. 选取. 方法2. 由于L关于x轴对称，被

6、积函数是关于y的奇函数. ex5. 求，其中为圆周 解 由对称性，知 故 ，球面大圆周长）四、对弧长的曲线积分的应用 （1）当表示L的线密度时， （2）当时，L弧长= （3）当表示立于L上的柱面在点处的高时， （4）曲线弧的重心坐标 （5）曲线弧的转动惯量 对空间曲线形构件也有结论！ex6. 设有曲线形构件方程为，求解： （1） （2） 五、对面积的曲面积分的计算 1直接计算法定理2. （1）设有光滑曲面 （2）在上连续， 则 定理证明从略，这里只简单给出dS的代换。 ， ，故结论成立。注意： （1）计算过程可概括为“一投影二代三换”，化为二重积分。 （2）若光滑曲面为 则 （3）若光滑曲面为

7、 则 （4）一般地，向投影区域易找且面积非0的坐标面投影。ex7. 计算，是半球面在圆锥面里的部分。解： ex8. 计算，是由，所围成的四面体的整个边界曲面。解： ex9. 计算是介于平面及之间的圆柱面。解： ， 注意：本题中曲面不能向xoy面投影。2利用对称性简化计算利用对称性可以简化I型曲面积分的计算，在运用时必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。I型曲面积分的对称性归纳如下几种情形： （1）当关于xoy面对称， （2）当关于yoz面对称， （3）当关于zox面对称，ex10. 计算， 为球面解：球面关于三个坐标面对称，且xy, yz, zx是关于x, y, z的奇函数，

8、ex11 计算，其中是圆柱面，平面及所围成的空间立体的表面。解： 其中：，投影域 ，投影域显然 ， 讨论时，将投影域选在xoz上。（注意：分为左、右两片）投影域， ，ex12. 计算，其中为被z = 1割下的部分解：， 抛物面关于yoz面与zox面对称，而是关于x与y的偶函数， ex13. 计算，其中为内接于球面的八面体表面。解 关于三个坐标面对称，是关于x, y, z的偶函数，故原积分 ，（其中表示第一封限部分曲面） ，即 =六、对面积的曲面积分的应用 （1）当表示的面密度时，； （2）当时，； （3）曲面构件的重心坐标 （4）曲面构件的转动惯量 例14 书中652页例题7。本课小结： 本次

9、课着重介绍了型曲线曲面积分的概念与计算方法，其中特别注意对称性的运用以及与定积分和重积分的区别。思考题：1对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？解：的符号永为正，它表示弧段的长度。2. 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子，试说明其几何意义。解：是曲面法线与z轴夹角的余弦的倒数。作业：见练习册。第二讲 型曲线积分教学目的与要求：1理解型（对坐标的）曲线积分的概念和性质；2了解两类曲线积分的关系；3掌握计算型曲线积分的方法；4了解型曲线积分的应用。知识点：型曲线积分的概念、性质、计算及应用；两类曲线积分的关系。重点：型曲线积分的计算难点：型曲线积分的概念教学方式：对比启发式教学，多

10、媒体辅助教学思路：给出实例，分析得到与型曲线积分相类似又有区别的结果，从而引入概念，接着介绍其计算方法，从计算法可以看出两类曲线积分是有联系的，最后指出两类曲线积分的关系。教学过程：一、引例与概念实例：变力沿曲线所作的功 考虑质点在作用下，沿xoy面上光滑曲线弧L由A移至B，求所作的功。分割：， 取 ，即 求和 （近似值）取极限 （精确值） 同样，我们把和的极限抽出来，称为型曲线积分。定义：设L为xoy面上从A到B的有向光滑曲线弧，在L上有界。（1）任意分L成n个有向小弧段,;（2） 作；（3）记的长度如果无论对L怎样的分划，在上怎样的取法， （*） （*）都存在，则称（*）为在L上对坐标x的

11、曲线积分； 称（*）为在L上对坐标y的曲线积分。也称为第二类曲线积分或型曲线积分！记为 注意： （1）存在性：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在。 （2） （3）物理意义：变力沿曲线作功 其中 （4）是弧在x, y轴上的投影，可正可负。 （5）对于空间有向曲线弧有 二、性质 1 2如果把L分成L1和L2，则 3 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关。三、对坐标的曲线积分的计算 1直接计算法定理（1）设在L上连续， （2）L的参数方程为 ， 具有一阶连续导数，且 （3）当t单调地由变到时，点由L的起点沿L运动到B 则 定理证明略。注意： （1）定积分是从（起点终点）进行积分的。 随L的方

12、向不同，可正可负。 （2） x由 （3） y由 （4）由由 （5）由 （6）计算过程概括为“一代二换三定限”。ex1 计算 ，其中L为圆周（按逆时钟方向绕行）。解：选取参数方程 由 ex2 计算，其中L为圆周在第一象限内的部分（按逆时钟方向绕行）。解法1：选取参数方程 ， t由 解法2：圆周的极坐标方程为 选取参数方程 ， 由 ex3 计算，其中L为有向折线O（0，0），A（1，1），B（0，1），O。解 由； 由； 由； ex4 计算，其中为有向折线A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1),A.解：，x由； ，y由； ，x由； 2利用对称性简化计算利用对称性可以简化II型曲线

13、积分的计算，在运用时必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。II型曲线积分的对称性归纳如下几种情形： （1）当L对称于x轴时， （2）当L对称于y轴时， 四、对坐标的曲线积分的应用对坐标的曲线积分的应用主要是变力作功，即ex5. 求力场 沿曲线，自到所作的功。解： 选取的参数方程 ， t由 五、两种曲线积分之间的联系 设有向平面曲线弧为，一方面， 其中 单位切向量另一方面， 其中是L在处的切向量的方向余弦。 同样，是在处的切向量的方向余弦。ex6. 将化为对弧长的曲线积分，其中L是上半圆周从(0, 0)到(1, 1)解 依题意，L为 本课小结： 本次课介绍了型曲线积分的概念、计算

14、、应用以及与型曲线积分之间的关系，注意两类曲线积分在计算上的相同和不同之处，型曲线积分对称性的运用要注意条件和结论。思考题：当曲线L的参数方程为 ，a为常数，参数，试问如何表示L的方向？ 解：曲线方向由参数的变化方向而定。 当t从0到时，L取逆时针方向；当t从变到0时，L取顺时针方向。作业：见练习册。第三讲 Green公式及其应用教学目的与要求：1掌握Gren公式；2会运用平面曲线积分与路径无关的条件；3会求全微分的原函数；4会解全微分方程知识点：Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，单连通区域，全微分方程重点：Green公式难点：Green公式的应用教学方式：讲练

15、结合，多媒体辅助教学思路：在论证Green公式成立的基础上，逐一介绍Green公式在多方面的应用。平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，求解全微分方程是三个有密切联系的问题，在介绍过程中要强调这一点，这样既省时间又能使知识相互渗透。教学过程：由曲线积分与二重积分的计算法发现，它们最终都与定积分相关联，而平面曲线围成的区域正好是平面区域，那么曲线积分是否与二重积分有联系呢？下面由Green公式来告诉我们。一、Green公式Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系，首先介绍1单连通区域设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域

16、。单连通区域不含有“洞”或“点洞”；复连通区域含有“洞”或“点洞”；2D的边界曲线L的正向规定当观察者沿L的正向行走时，区域D内离他近处的那一部分总在他的左边。3Green公式定理 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，在D上有一阶连续偏导数，则其中L为D的取正向的边界曲线，为L的切向量的方向余弦。证 根据D的不同形状，分三种情况进行讨论。（1）D既是x-型区域又是y-型区域 同理可证 两式相加得 （2）D由一条分段光滑的闭曲线围成，将D分成三个既是X-型又是Y-型的区域D1，D2，D3 （对D来说为正方向）（3）D为复连通域，由（2）知 （对D来说为正方向）便于记忆形式：注意：应用Green公式

17、条件缺一不可。3Green公式的简单应用（1）简化曲线积分ex1. 计算，其中曲线L从E(1, 0)到F(2, 1)再到G(3, 0)，FG是半圆弧。解 如图所示作辅助线GE，运用Green公式， 原式 ex2 求，其中为任一给定方向，为闭合曲线C的切向量。 解 设的方向余弦为（常数） 的方向余弦为， 则， ex3 计算，其中L为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。解，令 ， 则当时，有 记L所围成的闭区域为D， （1）当时，符合Green公式的条件 （2）当时，作位于D内的足够小圆周 记D1由L和l所围成，在D1上符合Green公式的条件。 原式 注意： 若计

18、算 ，如何选择辅助曲线l？ 若计算，如何选择辅助曲线l？ （2）简化二重积分ex4. 计算，其中D是以为顶点的三角形闭区域。解 令 则 ， 应用Green公式，有 （3）计算平面面积 Green公式： 取，得，闭区域D的面积 取，得 取 ，得 二、曲线积分与路径无关的条件 1曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有则称曲线积分 在G内与路径无关。 2与路径无关的四个等价关系定理：设G是单连通区域，在G内有一阶连续偏导，则以下四个命题等价： （1）为G中一光滑或分段光滑闭曲线； （2）与路径无关，仅与L的起点A和终点B有关； （3）在G内有函数，使得； （4）在G内恒成立。证 如图所示 要 ，

19、即 作 则 同理， 由具有一阶连续偏导数可得， 由Green公式得注意： （1）曲线积分与路径无关要求在单连通区域内考虑，而Green公式只要求封闭路径； （2）对给定的曲线积分，通常由推出其它三个结论； （3）当时，具体求法为： 沿（水平铅直）时，； 沿（铅直水平）时， （4）若是的原函数， 则 ex5. 计算 解 ，所以积分与路径无关。且 原式 ex6. 计算 （1）L为的正向； （2）L为的正向； （3）L为摆线 从到的一段 解 （1）由Green公式或与路径无关的条件可得，原式=0（2）如图，作适当小的圆 ，由Green公式有，原式=（3）如图，由积分与路径无关，选择 ，t由， 原式=

20、ex7. 设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。解： ，由积分与路径无关，得 即 ，由 得 ， ex8. 计算，其中L为上由（0，0）到的一段弧。解： 曲线积分与路径无关，可选择折线OAB积分。 ex9. 计算 ，其中L为上自到的段弧。解： ， 添加辅助线AO，应用Green公式， 原式三、全微分方程 1全微分方程的定义对于微分方程，如果存在使得，则称为全微分方程。2判断方法若，则为微分方程。3求解方法由于 为通解。即为 或 ex10. 求解解： 方程可变形为 故原方程为全微分方程。方法1. 取，则 为原方程的通解。 方法2. 则 ，即 从而，故 为原方程的通解。方法3. 利用分

21、项组合凑微分，即 ，即 即 ，即 ，即 ，故得方程通解为4积分因子的求法若不是全微分方程，而是全微分方程，则称为积分因子。（1）用观察法求积分因子如 不是全微分方程由于 ； ； 都是的积分因子。（2）仅与x或y有关的积分因子的求法若 ，则 ；若 ，则 ；ex11. 利用观察法求积分因子，并求解方程。解： 将方程重新给合得 观察得为积分因子，从而可得新方程 取 所求通解为 注意：积分因子这个工具，从理论上讲，它提供了求解微分方程的一般方法，但对于一个具体的方程如何找出所要的积分因子，并不容易。除了比较特殊的几种积分因子有具体求法外，通常利用观察法。本课小结： 本次课重点介绍了Green公式及其应

22、用，在应用Green公式时一定要注意条件，区别Green公式和曲线积分与路径无关的条件所要求满足的条件，在这堂课中起着相当重要的作用。作业：见练习册。第四讲 型曲面积分教学目的与要求：1了解型（对坐标的）曲面积分的概念与性质；2掌握计算型曲面积分的方法；3了解两类曲面积分的关系；4了解型曲面积分的应用。知识点：型曲面积分的概念、性质、计算及应用，两类曲面积分的关系。重点：型曲面积分的计算。难点：型曲面积分的概念。教学方式：对比式启发教学，多媒体辅助。教学思路：提出曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，比较后得出曲面积分也应有对坐标的曲面积分，具体形式由实例引入，作为一种新的积分，详细

23、介绍其计算方法与应用，由概念的引入直接得出两类曲面积分的关系。教学过程：一、曲面的投影我们通常碰到的曲面有上侧，下侧；左侧，右侧；前侧，后侧；内侧，外侧之分。这时曲面是双侧的，以后我们只对双侧曲面进行讨论。而“莫比乌斯带”是典型的单侧曲面。双侧曲面的侧是利用曲面上法向量的指向来确定的。取定了法向量或选定了侧的曲面叫做有向曲面。同一曲面不同的侧在坐标面上投影区域是同一个，有向曲面的投影并非投影区域，而是投影区域前冠以正号或负号。有向曲面的投影的具体规定如下：设是有向曲面，为上一小块曲面，在xoy面上的投影为，其面积为，曲面上各点处法向量与z轴夹角为，且不变号，则；类似地二、实例（流量问题） 设某

24、流体以一定的速度从给定曲面的负侧流向正侧，为连续函数，求单位时间内流经曲面的总流量。 解：若为平面区域，面积为A，其法向量 此时 对曲面来说，须把它分成n个小片，在各小片上把近似看成平面，取，用这点的近似代替流速，用，代替上各点处的单位法向量。那么内的流量近似值为 取 的直径， 三、定义与性质 1定义设为光滑或分片光滑的有向曲面，在上有定义且连续，（1）将任意分成n个小片（也表面积），在xoy(yoz, zox)面上的投影为；（2），有， 作和 （3）取的直径，若的存在与的取法和的分法无关，则称此极限值为在上的型曲面积分，或对坐标的曲面积分，记为其中对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面

25、积分2注意（1）（2）若为封闭曲面，记为（3）流量为（4）当在有向光滑曲面上连续时，对坐标的曲面积分存在。3性质（1）（2）用表示与相反的侧，则四、计算方法1直接计算法（1）计算时，取的方程为：，且，则10 当取上侧时，20 当取下侧时，（2）计算时，取的方程为：，且10 当取前侧时，20 当取后侧时，（3）计算时，取的方程为：，且10 当取右侧时，20 当取左侧时，注意：（1）计算过程为“一投影二代三定向”；（2）对坐标的曲面积分投影到面；（3）对坐标的曲面积分投影到面；（4）对坐标的曲面积分投影到面；（5）若投影面积为0，则该积分为0。ex1. 计算，其中为锥面及平面所围成的空间区域的整个

26、边界曲面的外侧。解：如图所示，记，取下侧；，取上侧；，取下侧ex2. 计算，其中是球面外侧在的部分。解：把分成和两部分。；，2对称性简化计算法利用对称性可以简化II型曲面积分的计算，在运用时必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。II型曲面积分的对称性归纳如下几种情形：10 关于面对称，则（1）当时，（2）当时，20 关于面对称，则（1）当时，（2）当时，30 关于面对称，则（1）当时，（2）当时，ex3. 设为，求解：由的曲面方程可以看出，关于三个坐标面对称，且，是关于的偶函数，ex4. 计算，其中为曲面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。解：如图所示，由于曲面关于面和

27、面对称，且是关于的偶函数，是关于的偶函数，记，取下侧；，取上侧；ex5. 设为的上侧，计算解：如图所示，由区域的对称性和被积函数的奇偶性得五、两类曲面积分的关系其中为上点处的法向量的方向余弦。ex6. 计算其中连续，是平面在第四卦限部分的上侧。解：如图所示，设，取上侧，则ex7. 计算，其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧。解：在曲面上，有，本课小结：本次课介绍了型曲面积分的概念、性质和计算方法，要求在大量练习的基础上掌握其计算方法，注意与I型曲面积分计算的区别，同时对称性的运用要求的条件也是苛刻的，结论有与I型曲面积分相反之处。思考题：设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问之左侧（即轴

28、与其法线成钝角的一例）是正侧吗？那么的左侧是正侧吗？解：此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧。作业：见练习册。第五讲 Gauss公式通量教学目的与要求：1. 了解Gauss公式；2会用Gauss公式计算曲面积分；3了解通量与散度的概念并会计算。知识点：Gauss公式，沿闭曲面的曲面积分为零的条件，通量，散度。重点：Gauss公式难点：Gauss公式的综合应用教学方式：比较启发式教学，多媒体辅助。教学思路：通过回顾Green公式，从而引进Gauss公式；并举例说明Gauss的应用，与直接计算曲面积分比较，Gauss公式有许多方便之处；通量与散度是两个物理概念，但它们直接与Gauss公式有关联，直接给

29、出定义并会计算即可。教学过程：一、Gauss公式高斯公式或奥氏公式或奥高公式Green公式建立了沿闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，而空间闭曲面上的曲面积分与三重积分也有类似的关系，就是下面介绍的Gauss公式。定理1 （1）设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成；（2）在上有一阶连续偏导。则或其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的外法向量的方向余弦。证：（1）设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两个，如图设闭区域在面上的投影区域为。由，和三部分组成，取下侧；，取上侧；，取外侧。且根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理，当时，有当时，有三式相加得，（2）当平行于坐标轴的直线与边界曲面

30、的交点多于两个时，引进辅助曲面后分成多个（1）中的区域，可得结论。注意：（1）Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。（2）Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算。（3）不是封闭曲面时，添加辅助面后可用Gauss公式。（4）使用Gauss公式时应考虑：是对什么变量求偏导，是否有连续偏导，是否是闭曲面的外侧。如果是闭曲面的内侧，则在三重积分号前添“-”号！（5）可用曲面积分计算空间区域的体积：ex1. 计算 ，其中是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧。解：记所围的区域为，利用Gauss公式，有 原式ex2. 计算曲面积分，其中为柱面及平面所围

31、成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。解： 利用Gauss公式，得 原式ex3. 计算，其中是球面是球面内法线的方向余弦。解：记所围空间区域为，由Gauss公式，有 原式= 二、沿闭曲面的曲面积分为零的条件定理2. （1）设开区域G是一个空间的单连通域 （2）在G内有一阶连续偏导，则有结论： （1）若为G内任一有向闭曲面， （2）若为G内同一边界曲线所张的任两有向曲面， 证：由Gauss公式，有反证法 假设在G内有一点M0使得不妨设，由于连续，故在G内存在一个包含M0的为边界曲面的小空间区域，且在内也有， 与已知矛盾，故结论成立。三、通量与散度定义：设向量场， 是有向曲面上处的单位法向量，则叫做

32、通过指定侧的通量（流量）； 而 叫做的散度（divergence），记为注意： （1）通量即为 （2）Gauss公式可写成 （3）对封闭区域来说通量为 （4）由Gauss公式可知 即源头强度等于散度。ex4. 设，求；并计算此向量场穿过曲面的侧表面的通量（流向外侧）。解： 曲面对称于yoz, zox面， 而 分别是的偶函数， 又曲面在xoy面上投影为0，四、综合题解ex5. 计算，其中为由曲线绕z轴旋转一周所成的曲面，其法向量与轴正向夹角恒大于。解：所给曲面如图，添加辅助面，取上侧；记围成的空间区域为，由Gauss公式有ex6. 计算，其中是被与所截的外侧。解：如图所示，关于面对称，是的奇函数

33、记，取前侧ex7. 计算，是第一卦限内抛物面的下侧。解：如图所示，添加辅助面，取后侧；，取左侧；，取上侧设围成的空间区域为，由Gauss公式有ex8. 计算曲面积分，其中是球面的下半部，是向上的法线正向与轴正向的夹解。解：如图所示，添加辅助面，取下侧ex9. 设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数，记表面的外侧为，的体积为V，证明证：V xyz关于x为奇函数对称于yoz面 ex10. 设可微，为长方体，的外侧，求。解：本课小结：本次课着重介绍了Gauss公式及应用，注意Gauss公式需要的条件缺一不可，并且会计算通量与散度。思考题：曲面应满足什么条件才能使Gauss公式成立？解：曲面应为分片

34、光滑的闭曲面。作业：见练习册。第六讲 Stokes公式、环量与旋度教学目的与要求：1. 了解Stokes公式；2了解旋度的概念，并会计算；3了解环流量的概念，并会计算；4了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系。知识点：Stokes公式，空间曲线积分与路径无关的条件，环流量，旋度。重点：Stokes公式难点：Stokes公式的应用教学方式：对比式教学，多媒体辅助教学思路：Green公式给出了平面区域上的二重积分与平面区域的边界曲线上的曲线积分的关系，将其推广即可得到Stokes公式，由此易得空间曲线积分与路径无关的条件，再简单介绍环量与旋度两个概念。教学过程：一、Stokes公式Stokes公

35、式建立了沿空间曲面的积分与沿的边界曲线的积分之间的关系，曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定（右手法则）：当右手四指依的绕行方向时，大拇指所指的方向与上法向量的指向相同，这时称是有向曲面的正向边界曲线。定理1. (1)设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线， （2）在（连同）上连续，且有一阶连续偏导，则其中的侧与的方向按右手法则确定。证：思路：曲面积分二重积分曲线积分 先证 （1）设平行于坐标轴的直线与的交点不多于一个，则设当为上侧，在xoy面上投影区域为，在xoy面上的投影曲线为C时，如图所示。的法向量为，方向余弦为，则 取下侧同样成立。同理可证 三式相加即得结论。（2）若平行于坐标轴的直线与的

36、交点多于一个时，作辅助线可得结论成立。注意：（1）便于记忆，Stokes公式可用行列式表示为（2）利用两类曲面积分的关系，得Stokes公式的另一形式其中（3）Stokes 公式的实质：表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。（4）当是xoy面的平面闭区域时，Stokes公式成为Green公式。故也称Stokes公式为空间的Green公式。（5）Stokes公式理论上很重要，用它来计算曲线积分并不很方便。ex1. 计算，方向为由x轴正向看去是逆时针的。解：如图所示，取为的上侧， 注意： （1）截面圆的半径为。 （2）选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说，积分号下出现常

37、数，故选对面积的曲面积分为宜。（3）积分曲面是选平面还是选球面被平面割下的那一部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜。 或 即 （4）再次体现Stokes公式计算曲线积分并不方便。 （5）也可化为参数方程直接计算。ex2. 计算，为椭圆，若从x轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向。解：如图所示，取为的上侧， 原式= ex3. 计算，其中是平面截立方体：，的表面所得的截痕，若从ox轴的正向看去，取逆时针方向。解：取为平面的上侧被所围成的部分 ， 二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设空间开区域G是单连通区域；在G内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题相互等价： （1）沿G内任意分段光滑的闭

38、曲线有 （2）沿G内任意分段光滑的曲线，与路径无关，只与的起点和终点有关。 （3）在G内恒成立。（4）在G内是某一函数的全微分，即，且 。这里仅推导一下的表达式解：由于曲线积分与路径无关，所以可选择特殊路径，如图所示。 x从 y从 z从 三、环流量与旋度定义：设有向量场，称向量函数 为的旋度，记为沿有向闭曲线的曲线积分叫做沿有向闭曲线的环流量。注意：（1）旋度可记为（2）设有向曲面的单位法向量为的有向边界的单位切向量为，则有 又 即 （3）Stokes公式表明：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量。ex4. （1）设具有二阶连续偏导，求 （2）设，求解 （1） （2

39、） =0 本课小结： 本次课介绍了Stokes公式的简单应用，认识到Stokes公式的理论价值胜过实际应用，类似地给出了空间曲线积分与路径无关的四个等价命题，直接给出了环量与旋度的概念。作业：见练习册。第七讲 曲线曲面积分习题课教学目的的与要求：1加深对本章出现的概念、定理、公式的理解；2熟练掌握曲线曲面积分的计算方法；3提高综合题型的解题能力。知识点：有关曲线曲面积分的概念、性质、计算及应用，通量，环量，散度，旋度，全微分方程，曲线曲面积分与路径无关的条件，Green公式，Gauss公式，Stokes公式。重点：曲线曲面积分的计算，Green公式，Gauss公式难点：Stokes公式教学方式：分类归纳，讲练结合，多媒体辅助教学思路：先进行本章有关知识的复习总结，然后进行一定量的举例练习。教学过程：一、内容小结1 定义比较对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积分的曲面积分对坐标的曲面积分2计算公式比较对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分（对应于起点，对应于终点）对面积的曲面积分或 或 （计算时选择投影区域易找且投影面积非0的那种方式）对坐标的曲面积分前侧取“+”，后侧取“”右侧取“+”，左侧取“”上侧取“+”，下侧取“”（对坐标y, z的曲面积分，曲面必须向yOz面投影；对坐标z, x的曲面积分，曲面必须