高中数学――圆锥曲线试题精选(含答案)

1、高考圆锥曲线试题精选一、选择题:(每小题 5分,计 50分1、 (2008海南、宁夏文 双曲线221102x y -=的焦距为( 2. (2004全国卷文、理 椭圆 1422=+y x 的两个焦点为 F 1、 F 2,过 F 1作垂直于 x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为 P ,则 |2PF = ( A .2B . C . 27 D . 43. (2006辽宁文 方程 22520x x -+=的两个根可分别作为( 4. (2006四川文、理 直线y=x-3与抛物线 x y 42=交于 A 、 B 两点,过 A 、 B 两点向 抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P 、 Q ,则梯形 APQB 的

2、面积为( (A 48. (B 56 (C 64 (D 72.5. (2007福建理 以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 ( A .B.C .D. 6. (2004全国卷理 已知椭圆的中心在原点,离心率 21=e ,且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合,则此椭圆方程为( A .13422=+y x B . 16822=+y x C . 1222=+y x D . 1422=+y x 7. (2005湖北文、理 双曲线 0(122=-mn ny m x 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 x y 42=的焦点重合,则 mn 的值为( A . 1

3、63 B . 83 C . 316 D . 388. (2008重庆文 若双曲线 2221613x y p-=的左焦点在抛物线 y 2=2px 的准线上 , 则 p 的值为(A2(B3(C4 9. (2002北京文 已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线 1322222=-n y m x 有公共的焦点,那么 双曲线的渐近线方程是( A . y x 2±= B . x y 2±= C . y x 4±= D . x y 4±=10. (2003春招北京文、 理 在同一坐标系中, 方程 0(0122222>>=+=+b a by ax

4、 by a x 与 的曲线大致是( 二、填空题:(每小题 5分,计 20分11. (2005上海文 若椭圆长轴长与短轴长之比为 2, 它的一个焦点是 (0, 2,则椭圆的 标准方程是 12. (2008江西文 已知双曲线 22221(0, 0 x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为 y x =, 若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 .13. (2007上海文 以双曲线 15422=-y x 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 .14.(2008天津理 已知圆 C 的圆心与抛物线 x y 42=的焦点关于直线 x y =对称 . 直线0234

5、=-y x 与圆 C 相交于 B A , 两点,且 6=AB , 则圆 C 的方程为 .三、解答题:(15 18题各 13分, 19、 20题各 14分15. (2006北京文 椭圆 C:22221(0 x y a b a b +=>>的两个焦点为 F 1,F 2, 点 P 在椭圆 C 上,且 11212414,|,|. 33PF F F PF PF =(求椭圆 C 的方程; ( 若直线 l 过圆 x 2+y2+4x-2y=0的圆心 M , 交椭圆 C 于 , A B 两点 , 且 A 、 B 关于点 M 对称 , 求直线 l 的方程 . .16. (2005重庆文 已知中心在原点

6、的双曲线 C 的右焦点为(2, 0 ,右顶点为 0, 3( (1求双曲线 C 的方程; (2若直线 2:+=kx y l 与双曲线 C 恒有两个不 同的交点 A 和 B ,且 2>(其中 O 为原点 . 求 k 的取值范围 .17. (2007安徽文 设 F 是抛物线 G :x 2=4y 的焦点 .( 过点 P (0, -4作抛物线 G 的切线 , 求切线方程 :( 设 A 、 B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 0·=, 延长 AF 、 BF 分别交抛物线 G 于点C , D ,求四边形 ABCD 面积的最小值 .18. (2008辽宁文 在平面直角坐标系 xOy 中

7、,点 P到两点 (0, (0的距离之 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . ( 写出 C 的方程; ( 设直线 1y kx =+与 C 交于 A , B 两点. k 为何值时 OA OB ?此时 AB 的值是多少?19. (2002广东、河南、江苏 A 、 B 是双曲线 x 2 y 221上的两点,点 N(1,2是线段 AB 的中点(1求直线 AB 的方程;(2如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点,那么 A 、 B 、 C 、 D 四点是否共圆? 为什么?20. (2007福建理 如图,已知点 F (1, 0 ,直线 l :x =-1, P 为平面上的动点,过 P 作

8、直 线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 =。 (1求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2过点 F 的直线交轨迹 C 于 A 、 B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 , ,求 的值。 “圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案一、选择题:(每小题 5分,计 50分 11. 1208022=+y x ; 12. 223144x y -= . 13. x y 122=. 14. 22(1 10x y +-=.三、解答题:(15 18题各 13分, 19、 20题各 14分15. . 解:( 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 6221=+=PF PF a , a=3. 在 Rt PF 1F 2中, , 2

9、212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距 c =5,从而 b 2=a 2-c 2=4, 所以椭圆 C 的方程为 4922y x +=1. ( 解法一:设 A , B 的坐标分别为(x 1, y 1 、 (x 2, y 2 .已知圆的方程为(x +2 2+(y -1 2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2, 1 . 从而可设直线 l 的方程为 y =k (x +2+1,代入椭圆 C 的方程得 (4+9k 2 x 2+(36k 2+18k x +36k 2+36k -27=0.因为 A , B 关于点 M 对称 . , 所以. 29491822221-=+-=+k kk x x 解得 9

10、8=k , 所以直线 l 的方程为 , 1 2(98+=x y即 8x -9y +25=0. (经检验,所求直线方程符合题意 ( 解法二:已知圆的方程为(x +2 2+(y -1 2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2, 1 . 设 A , B 的坐标分别为(x 1, y 1 ,(x 2, y 2. 由题意 x 1x 2且, 1492121=+y x , 1492222=+yx 由-得 . 04(9 (21212121=+-+-y y y y x x x x 因为 A 、 B 关于点 M 对称,所以 x 1+ x2=-4, y1+ y2=2,代入得2121x x y y -=98,即直线 l 的

11、斜率为 98,所以直线 l 的方程为 y -1=98(x+2 , 即 8x -9y +25=0.(经检验,所求直线方程符合题意 .16.解:(设双曲线方程为 12222=-by a x . 0, 0(>>b a由已知得 . 1, 2, 2, 2222=+=b b a c a 得 再由 故双曲线 C 的方程为 . 1322=-y x (将 得 代入 13222=-+=y x kx y . 0926 31(22=-kx x k 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 >-=-+=-.0 1(36 31(36 26(,0312222k k k k即 . 13122<k k 且

12、启智辅导 设 A( x A , y A , B( x B , y B ，则 x A + x B = 6 2k -9 ， , x A xB = 2 1 - 3k 1 - 3k 2 由OA × OB > 2得x A xB + y A yB > 2, 而 x A xB + y A y B = x A xB + (kxA + 2 (kxB + 2 = (k 2 + 1 x A xB + 2k ( x A + xB + 2 -9 6 2k 3k 2 + 7 + 2k +2= 2 . 1 - 3k 2 1 - 3k 2 3k - 1 3k 2 + 7 - 3k 2 + 9 1 >

13、; 2,即 > 0, 解此不等式得 < k 2 < 3. 于是 2 2 3 3k - 1 3k - 1 1 < k 2 < 1. 由、得 3 3 3 故 k 的取值范围为 (-1,- È ( ,1. 3 3 2 x x0 x 由 17.解： （）设切点 Q( x0 , . y¢ = , 知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 ， 2 4 2 2 2 x x x x 故所求切线方程为 y - 0 = 0 ( x - x0 , 即y = 0 x- 0 . 2 4 4 2 2 x 2 因为点 P （0， 在切线上， -4） 所以 - 4 = - 0 ,

14、 x0 = 16, x0 = ±4. 所以切线方程为 y=±2x-4. 4 (设 A( x1 , y1 , C ( x2 , y 2 . 由题设知，直线 AC 的斜率 k 存在，由对称性，不妨设 k0. = (k 2 + 1 因直线 AC 过焦点 F（0，1） ，所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A，C 的坐标满足方程组 í ì y = kx + 1, 2 î x = 4 y, ì x1 + x 2 = 4 k , 由根与系数的关系知 í î x1 x 2 = -4. 消去 y，得 x 2 - 4kx

15、- 4 = 0, AC = ( x1 - x2 2 + ( y1 - y 2 2 = 1 + k 2 ( x1 + x 2 2 - 4 x1 x 2 = 4(1 + k 2 . 1 1 因为 AC BD ，所以 BD 的斜率为 - ，从而 BD 的方程 y = - x + 1. k k 2 1 2 4(1 + k . 同理可求得 BD = 4(1 + (- = 4 k2 1 8(1 + k 2 1 S ABCD = AC BD = = 8(k 2 + 2 + 2 ³ 32. 2 2 k k 当 k=1 时，等号成立.所以，四边形 ABCD 面积的最小值为 32. 18解： （）设 P

16、（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0， 3，3 为焦点， - (0 长半轴为 2 的椭圆它的短半轴 b = 22 - ( 3 2 = 1 ，故曲线 C 的方程为 y2 x + = 1 4 2 ì 2 y2 = 1， ïx + （）设 A( x1，y1 ，B( x2，y2 ，其坐标满足 í 4 ï y = kx + 1. î 2k 3 2 2 ，x1 x2 = - 2 消去 y 并整理得 (k + 4 x + 2kx - 3 = 0 ， 故 x1 + x2 = - 2 k +4 k +4 uuu uuu r r OA OB

17、 ，即 x1 x2 + y1 y2 = 0 而 y1 y2 = k 2 x1x2 + k ( x1 + x2 + 1 ， 高考圆锥曲线试题精选 第6页 共8页 启智辅导 3 3k 2 2k 2 -4k 2 + 1 - - +1 = 2 于是 x1 x2 + y1 y2 = - 2 k + 4 k2 + 4 k2 + 4 k +4 uuu uuu r r 1 所以 k = ± 时， x1 x2 + y1 y2 = 0 ，故 OA OB 2 1 4 12 当 k = ± 时， x1 + x2 = m ， x1 x2 = - 2 17 17 uuuu r AB = ( x2 -

18、x1 2 + ( y2 - y1 2 = (1 + k 2 ( x2 - x1 2 ， 而 ( x2 - x1 2 = ( x2 + x1 2 - 4 x1 x2 = 所以 AB = 42 4 ´ 3 43 ´13 + 4´ = ， 172 17 17 2 uuuu r 4 65 17 2 19.解：(1依题意，可设直线方程为 yk(x12 y 2 2 代入 x 1，整理得 (2kx 2k(2kx(2k 20 2 2 2 记 A(x1,y1,B(x2,y2，则 x1、x2 是方程的两个不同的实数根，所以 2k 0,且 x1x2 2k(2k 2 2k 1 由 N(1

19、,2是 AB 中点得 (x1x21 2 k(2k2k ，解得 k1，所易知 AB 的方程为 yx1. 2 (2将 k1 代入方程得 x 2x30，解出 x11,x23，由 yx1 得 y10,y2 4 即 A、B 的坐标分别为(1,0和(3，4 由 CD 垂直平分 AB，得直线 CD 的方程为 y(x12，即 y3x ，代入双曲线方程， 整理， 2 得 x 6x110 记 C(x3,y3,D(x4,y4，以及 CD 中点为 M(x0,y0，则 x3、x4 是方程的两个的实数根，所以 1 x3x46, x3x411， 从而 x0 (x3x43,y03x06 2 |CD| (x3x4 (y3y4

20、2(x3x4 2(x3x4 4x3x44 10 1 |MC|MD| |CD|2 10， 又|MA|MB| 2 2 2 2 2 2 2 2 (x0x1 (y0y1 4362 10 即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等，所以 A、B、C、D 四点共圆. ， 20.（）解法一：设点 P( x，y ，则 Q(-1 y ，由 2 得： y Q O A M P B F x ( x + 1， g ， y = ( x -1，yg -2，y ，化简得 C : y = 4x 0 (2 - ( uuu uuu uuu r r r （）解法二：由 得： FQg PQ + PF = 0 ， ( uuu r uuu r uu