大物习题答案第4章机械振动概要

1、第4章机械振动4.1基本要求1. 掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的 相互关系2. 掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动 规律的讨论和分析3. 掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的 初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4. 理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成 的特点4.2基本概念1 简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化 的运动称为简谐振动。简谐振动的运动方程 X =Acos（©t +W）2.振幅A作简谐振动的物体的最

2、大位置坐标的绝对值。3.周期T作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。4 .频率V单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即5圆频率 作简谐振动的物体在2江秒内完成振动的次数，它与频率的关系为6.相位和初相位简谐振动的运动方程中项称为相位，它决定着作简谐 振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位W 7简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。弹性势能Ep =1kx-kA2 cos2 t +9)2 21 1 2 1动能Ek =尹/=丁七人引门艸+叩申） 弹簧振子系统的机械能为E =Ek +E p = -mB2A2JkA2p 2 2&阻尼振动振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减

3、小。9.受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。10 .共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。4.3基本规律1 一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值, 但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振 子的动能和势能随时间的变化（=0 ）。为了便于将此变化与位移随时间的变化 相比较，在下面画了 x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振 子振动频率的两倍。图4.1弹簧振子的动能和

4、势能随时间的变化2.简谐振动的合成 若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即Xj = A, cos®t +出）X2 = A2 cos®t +2）合振动仍是一个角频率为的简谐振动。合位移 X =X1 +x2 = Acos（®t 中W）合振动的振幅 A= Ja2 +a2 +2AAcosfp2 -督) 合振动的初相tan AsZ+Aa®2A cos/ + A2C0S护2振动加强：AW = ®2®1=k n， (k=0,1 ,2川I)当%-<Pi取其他值时A1+A? >AAiA?A = A + A2A= A1-A2振动

5、减弱：AW =-®1 =±(2k-1) n， (k = 1,2, 311)若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间 周期性变化的振动。若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。若两个相互垂直的振动频率不相同， 且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封 闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。 若两频率比为无理数，则 合成运动轨迹永不封闭。4.4学习指导1 .重点解析简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型:（1）已知简谐振动表达式求有关物理量（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式

6、对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表 达式X = Acos（鎖+半）加以比较，结合有关公式求得各物理量。对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个 特征量A、W、0 ,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表 达式。其中角频率0）由系统的性质决定，2 = % 振幅A可由初始条件求出，A = Jxo2 +V ;或从振动曲线上直接看出。初相W有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到tan W =二虫，这里护有两个值,图,这是求初相最简便且直观的方法。必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量如图4-2

7、所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量 A、W、©。利用振动曲线可以看出A=4x10，m，t=0时刻，质点位移x0=-X2A，t=0.5s时，x=0。利2用这些信息可以确定W、。解：方法1解析法t=0时，xo 一yA，于是有Xo = Acos = -A2由t=0时刻对应的曲线斜率赛v0 = -sin 申 a0图4-3所以-3兀4为求，先写出质点振动方程/3x=4xio cost-”巧m将t=0.5s，x=0代入上式得 cos（|-3兀）=0，同样结合该点的速度方兀向可以得到 气，所以质点的振动方程是X = 4X10 cosqt

8、 - 方法2:旋转矢量法由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移Xo= J2茶A，质点速度V-0，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知护=。4t=0.5s时，x=0， vaO。此运动状态对应矢量0P,即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了 一, «4rad L = rad s0.52质点的振动方程是X = 4x10工cos§t 一扌兀血2.难点释疑疑难点1旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点0作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率®相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的

9、矢端在Ox轴上的投影点的运动,可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量 A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表 4-1所示。表4-1旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系碇转矢就A简谐振动苻号或表达式模振幅A角速度圆频率f三（）时-八与"r夹角初相Pu旋转周期振动周期T=2卅3i时刻，肉与Ur夹角相位吹+円A在Or上的投影r A CCZ Gi/f + 护丿人端点的連度在dr上的投靈速度2 = n LivAsin+ 飙1)A端点的加速度在上的投席加速度(1 = = Li," Acos Cojf 十旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法， 可以使运动的各个物理量表现得直

10、观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。 但必须 指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振 动。问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为4吗？走过该距离的一半所需的时间是T吗？振子从平衡位置出发经历 T时运动的位移是多少?8 8解析从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是专，所需的振子的速度v = -sAsin(oot+®)不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是TAT。振子从平衡位置运动到 -处(0M位置)时，振幅82矢量转过了 6的角度，即即振子从平衡位置运动到A所用的时间是12，而

11、不是T。振子从-运动到平衡位置所用的时间是At= -036振子从平衡位置出发经历 T时运动的位移是8T 兀兀J2X = Acos(© 一)= Acos(-)=A8 242图4-5疑难点2当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化?解析弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时,振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即t=2応；最大速度的表达式是从，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为1E = -kA2，所以振幅加倍2时振动能量变为原来4倍4.5习题

12、解答4.1两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为ki和k2.串联后与物体相接，则此系统的固有频率为十等于(A) J(ki +k2)/m/(2；i)习题4.1图(B)Jkik2 /( K +k2)m/(2兀)(C)Jm/(ki +k2)/(2；i )(D)解析：正确答案（B） 两弹簧kl和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设kl和k2的形变量分别为 xi和X2, k的形变量为 X,贝9有 x= Axi+AX2,亦即kik2k = ki +k2据此可确定系统的固有频率为V乔k而&2兀）4.2把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 日，然后

13、由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为(A) n(B)n /2(D)(C) 0解析：正确答案（C）由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知,初相相位是0。选（C）4.3用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A,周期为T,初相®一专，则振动曲线为:A-尹A<C)-A(D)解析：正确答案（A） 由已知条件可知：初始时刻振动的位移是 y=ACOS（=）=，速度是32v=-©As in （©t+）=©A，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。4.4已知某简谐振动的振动曲线如图

14、所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为：x =(B)x =(C)x =(D)x =2兀t + -兀)cm32 兀t-一兀)cm3,2、兀t-一兀)cm32兀t + 一兀)cm3解析:正确答案（D）A由振动图像可知，初始时刻质点的位移是-，且向2y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是头振A2动曲线上给出了质点从二到A的时间是伍其对应的相位从孑变化到，22兀-所以它的角速度© = rad s = rad。13.丄2、兀t +-兀）3简谐振动的振动方程为x=4.5质点作简谐振动，已知振动周期为 T，则其振动动能变化的周期是(A)T/4(B)T

15、/2(C)(D) 2解析：正确答案（B）质点作简谐振动的动能表达式是Ek=1 m2A2sin2®t +®），可见其变化的周期是简谐振动周期的1。4.6设某人一条腿的质量为 m长为I，当他以一定频率行走时最舒适，试用一种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为 （A） 士尊（B）（C） A总（D）諸 解析：正确答案（D）它绕端可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为 m长为I的细长杆,点的转动惯量J=1m|2,根据复摆的周期公式厝，这里。故频率2兀4.7图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振

16、动可叠加,则合成的余弦振动的初相为(A)(B)(D)1兀20解析：正确答案（B）由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是一A运动方程分别是Xi -Acost）和X2 = Acos（Bt +兀），它们的振幅不同，对于这样两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是X2=fcos©t+巧04.8质点作谐振动，周期为T,当它由平衡位置向x轴负方向运动时,中处到-A处这段路程所需要的时间为(C)(D) 12解析：正确答案（B）2AX轴负方向运动时在一一处221对应的相位是2兀，位移是-A处对应的相位是沢，所以这段路程的相位差是丄沢33已知条件结合对应的旋转矢

17、量图，它由平衡位置向对应的时间是一天一=4.9弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为(A) 25J(B) 50J(C) 75J(D) 100J解析：正确答案（C）物体做简谐振动时，振子势能的表达式是 Ep周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零,=平2，其动能和势能都随时间做动能达到最大值；位移最大时， 势能达到最大值Ep冷尿，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于 最大位移的一半时其势能为Ep冷吟y2，所以此时的动能是E-kA-kA-kA-J =100咒3 J = 75J。2 82444.10 一质点作简谐振动，速度最大值 Vm = 0

18、.05m L，振幅A=2cm若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,则振动表达式为 解析：y =0.02cos(2.5t)m速度的最大值Vm= 0.05m "S，A=0.02m 所以Vm0.05=2.5rads。A 0.02CO 振动的一般表达式X =Acos（eot +护），现在只有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：W=0,振动表达式为y = 0.02cos（2.5t）m习题4.11图d、e各状态的相解析：0、3233结合旋转矢量图，振动曲线上的a、 b、 c、d、e对应旋转矢量图上的a'、b、c '、d'、e',所以其

19、相位分别是0、有32cm则该简谐振动的初34.12 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长相为，振动方程为解析：X = 0.02cost +=)4振动方程的一般表达式是X = Acos（o）t +旳，是指t=0时对应的相位，也是初相位。由图可知 t=0时的角度 是一，所以该简谐振动的初相为-。角速度是。44t代入振动方程可得x=0.02cos（兀t+7）。4.13 一单摆的悬线长l=1.5m,在顶端固定点的竖直下方习题4.12图0.45m处有一小钉，如图所示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为解析：0.8411左右摆动能量应相同，应有 一m?/A"2 = m22几22

20、2以习题4.13图4.14质点按如下规律沿ox轴作简谐振动:x=0.1cos（8肮 2+二）m，求此振动的周期、振幅、3相、速度最大值和加速度最大值。解析：本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x = A cos t N）作比较，即可求得各特征量，而速度和加速度的计算与质点运动学中由运动方程求解速度和加速度的计算方法相同。将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式X = Acost +护）作比较后可得：周期是0.25s,振幅是0.1m,初相位是，速度最大值Vm =朋=2.51m £二32_2加速度最大值am=

21、63.17m s4.15质点的振动曲线如图所示。试求:(1)振动表达式(2)点P对应的相位到达点P对应位置所需时间。解析：(1)根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可r/s2知，初相% =，从t=0到t=1s时间内相位差3为心专扣罟，所以角频率为3=罟=号5 兀可得振动表达式为y =0.06cos(-兀t -)m6 3(2)P点相对应的相位为0。 到达P点所需时间为At'=-JI0r= 0.4s4.16 沿x轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m 速度的最大值Vm= 0.06m L。若取速度为正的最大值时t=0。试求:(1) 振动频率;(2) 加速度的最大值;(3)振动的表达式。解析：速度的

22、最大值Vm = Ab = 0.06m，A=0.04m尬="006 = 1.5rad s"1，a 0.04Hz 。2 2加速度的最大值a A 0.09m s(3)速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知:JL23y =0.04cos(?t-3)m4.17物体沿x轴作简谐振动，振幅为6.0cm，周期为2.0s，在t=0时物体位于 3.0cm处且向负x方向运动.求：(1)初相位；(2) t = 1.0s时，物体的位置、t=1.0s代入上式，可得:d2xa =dt2=dAcost +半）=dx把已知量代入上式可得：V =9.42X10°-J_2a = 0.296m s速

23、度和加速度 分析：初相位的确定可采用两种方法：旋转矢量法和解析法。解析；（1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为x = Acos®t +护）,现在用旋转矢量法求解初相位。根据初始条件，初始时刻旋转矢量A的矢端应 在图中的M位置，所以申=-3 依题意，A=0.06mT=2.0s，则=冷-=dsTT-质点的运动方程可写为X =0.06cos（；it +二）,3X =0.06cos（兀 +|）m = 0.03m = -3.0cmdx兀V = 一 = 一0.06 花 sin （兀 t +） dt32 1？ ？ V =1.63X10 m s4.18在一平板上放一质量为 m=2kg的物体

24、，平板在竖直方向作简谐振动，其振 动周期为T=0.5s，振幅A=4cm求：（1）物体对平板的压力的表达式；（2）平板 以多大的振幅振动时，物体才能离开平板?解析：（1）设平衡位置为坐标原点，向上为正方向，t=0时刻，振动的相位为零,iN1G« = rad s' Ty =0.04cos（4 兀 t）m物体的运动和平板相同。分析物体受力可知:则平板的运动方程是N mg =ma广I va=_2Acos®日）所以 N = mg +ma2Acos(4;it)根据牛顿第三定律可知物体对平板的压力与平板对物体的支持力是一对作用力与反作用力。所以物体对平板的压力N丨-mg+m)2A

25、cos(4；it)(2)当平板振动的最大加速度大于 g时，物体能离开平板A = 0.062m4.19 一弹簧振子由弹性系数为k的轻弹簧和质量为 M的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m速度为V0的子弹由下而上射入物块，且留在物块中。求子弹留在物块中系统的振幅与周期，并求出系统的总振动能量。'If解析：子弹击中物块后系统的角频率为0=需性，所以周期JM k m。设子弹击中物块后系统获得速率为V，习题4.19图由动量守恒定律可得 V = v0.M +m子弹进入物块后，振子的平衡位置改变了，以新的平衡位置为坐标原点O,竖直向下为X轴正方向。以子弹进入物块的瞬间为计时

26、零点，则t=0时刻，振子的初位移为Xo =-(X2-Xi)，其中Xi为子弹未进入物块时弹簧的伸长量，Mg =kxi； x?为子弹进入物块后弹簧的伸长量，(M +m)g =kx2，因此,M +m M m« =-( -gk kk方法一：根据已知条件可得振子的振幅为:A=Jxo2十右J( m )2Z_mg 1+ 财kkV (m + M)g2M +m系统的总振动能量. .22 1 2 . 2 2 eBT罟（1 +念）中2&+侖）方法2:子弹射入物块后，系统的机械能守恒，所以系统的总振动能量即为初始4 4 1 2 2时刻的振动能量， E =-kx02 +-（m +M ）v2 = m2（

27、 + V0一）222 k m + M4.20 物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k =25 N? m1，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求 振幅;(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度。解析：物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep =*kx2，动能表达式是Ek二丄口/。其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能2为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值 EpJkA2，动能为零, P 2但其总机械能却保持不变为EkA2。1(1) 由于振动过程总机械能却保持不变，0.06+0.02 = x25xA

28、2，A=0.08n。2(2) 动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，Ep，-kx2 二丄咒丄kA2，X =±A = ±0.057mP 22 22(3)通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时1 2 ,0.06 +0.02 = xmv2， v =0.8m.24.21 一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000Hz,振 幅为0.5cm，贝U其振动能量是多少？解析：简谐振动系统的能量E =-mo52A2，把已知量代入上式可得:2E =-m«2A2 =m(2 兀 v)2a2 =986.96J2 24.22 一质点作简谐振动，其振动方程为 X = 6.0咒10化os§t 一7）（51）。求:（1）当X值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少?解析:X =±亚X 6.0x10 讣= ±4.24x10, m2T 6t =丄= 2s = o.75s8 84.23 质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为X1 =5x10'cos（4t+t）（SI）X2 =3<10sin（4t -才）（SI）画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。解析：X3<10sin（4t - 为=3x10, cos（4t