中北大学概率统计习题册第三章完整答案详解

1、X-1-20 12P0.10.20.40. 10.21.设随机变量X的分布列为Jt-1-f-00=匚(1")去9dx + "匚占， p-wo I h!A-f-x -El=J f久df + “J 莎e dx = 注：关于绝对收敛性1 -觇X e 人 ax22IT dx试il算：£(X+2X£(jx|l£(X+2)o 解：£(X+2) =lx0.l+0x0.2 + 2x0.4+3xO.I + 4xO.2 = 2£(|X|)=lx0.1 + 2x0.2+0x0.4+IxO.I + 2xO.2 = l£(X+2)=3x0.

2、1 + 6x0.2+2x0.4+3x0 1 +6x0.2 = 3.82.设随机变虽X的分布列为：Px = k= pqi' ,k = 123，其中 p 为常 数，0< p<l, q = - P 0 求 £(X), D(X)。解：£(X) = W*JIjt-1X-I=弘+1)-£灯A-0A-l兰*11=2> =-爲1 -0 p+00EX*工k、屮X-I=D (k _ 1)"严 + X k寸'k2A-l-H»H-W=D(2)宀 2?(-1心上A-2A-2P+00-HOCI=心+1)/-)/+-*1X-2P£

3、2+丄wp=y切严+丄=丝+丄P 匕P P' P所以，D(X) = £(X-)-£'(X)_2q11 _ q= 7 +=P" p p 73.设随机变SX的概率密度函数为 /(x) = ；exp-l.其中兄 >0 为常 2ZA数，求E(X)。严 1 -冋解：EX=Jjh X ck口<匚卜-“|£-9心+ |“|匸甘e占dv1 HIf=Ch 心+网訂京 心+网 =2+|/1 卜”1匚= £A + 汽 0 =乎）当A>0时_AjyRf + hd/=-J (/lZ + /)e'd/+ J “(2f +“)ed

4、+(加 + )由+(几+)_ £=(2_)+ 儿 一P_2 + 兄e久/W='( “=Ze + / 2 + 2eV上=2/ie / +2“当“<0时J |加 + “|6-"缶=-(加 +“)ed上+ >、(Az + /)e"dz + J "(加 + A)e"dz(“£=2/1" 2“综上所述，我们有也je 儿 dv =1 “ I +Ae "4设随机变量X表示圆的半径，X的概率密=J f(l + x)dx +J：x(l_;v)dADX=J(x-0)V(x)cLv=J (l + x)tk +

5、63;A-(l-x)dr"12 0 一 66.设连续型随机变SX的概率密度函数为: k a<x<b0 其它 且E(X) = 0,D(X) =才试求k“b 解：由于/(X)是X的概率密度，所以有J f (x)d% = J kdx = k(h a) = a<x<bh-a0 其它k =h-a求圆的周长厶和而积S的数学期望。 解：£(L) = £(27rX)匕如字-a = -h<0./> Y=2兀| cU = ( + ")£(S) = E(7tX2)eh v-h- I所以 D(X) = L,-dA=T = 3所以b

6、= l,从而a = -,k = -27.设随机变量X的概率密度函数为5.设连续型随机变量X的概率密度为:-l<x<2 + x f (x) = « 1-x 0-1 </<00 < X < 1其它试求X数学期望和方差。 解：EX=JM(x)dx-I X >00 X =0,1 X <0求 D(r)o解.py = = px<0£(y)= -200x|l-e J + IOOxe *= 300xe $-200a33649.设二维随机变M（x,y）的联合分布律为120r-10121033=£/(x)dv=£ldv=

7、l py=_l = pX>0 = j77(x)dr = ficU = | Py = -l = PX=O = O 所以Y的分布律为12试求 E(X ) E(X 一 y), E(XYl E(X '+y')o2 1 1£(r) = -lx- + 0x0 + lx- ='，333£(r') = (-l)-x- + O'xO + Pxi =8_98.工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）的概率密度为D（r）= £（y-）-（£r）'3)/W=一& °x>00x<0工厂规ik,出售的

8、设备若在售出一年之内 损坏可予以调换。若工厂售岀一台设备赢 利100元，调换一台设备厂方需花费300 元。试求厂方岀售一台设备净赢利的数学 期望。解：设F表示岀售一台设备的净赢利为F元，则 p（y=_2oo）=p（x V1）=f 丄話 dziL J-00 4p(r = ioo)=p(x>i)= l-P(X<l) = e 4解：£（X）= -lX 1V6 412+0x + 112 4 丿E(x-Y) = XE(Xf-yJs= /-I /-I1 乙3 35E(XY)=丈乞兀旳几=-jy/-I >-|1 乙3 31 2£" + 尸)=工+ £

9、)內=H r-l j-1AZ2 -112d1P00,250.250*47025000.25“pp10.设随机变量X与y的联合分布律为试证明：X与Y不柑关，且不柑互独立。 并试着写出X,Y之间的关系来说明X,Y的 不相关性。=rrxJo Jodvdx12dvdx=rJu12血(W)dydx=L2x + y4100. 250. 2500.540. 25000.250.5Pr.0. 250. 250. 250. 25其中 P,=PX=x,.p,.=PY = y.EX =x小=()EY = 1xO5+4xO5 = 25,Exy =为工pw=o,从而r-l 丿Cov（x,y）=£（xy）-&#

10、163;（x）£（y）=o：所 以，X与y不相关：0 =/如HpjpjHO, 所以X打y不相互独立由于显然x?的分布律与y完全相同，所以 有y = x这表明X与y之.间没有线性关 系，即它们不相关。1L设随机变M（x,r）的联合概率密度函数为-(2a-+v) 0<A-<I,0<y<24"0其它求：E(X),D(X),E(X + y),E(Xy)。解：£(*)=匚匚<(兀刃电心，2i+y、4,=£E(0) =匸匚心 a，y)dycUJo Jo(、 -r , ,5+牙 dr =I 2D(X) = EX)-EXy = £

11、(x+y) = J2 匚(x+y)/(3)d.uu，2x+y、4,(2 3 J.、3 2"厂E(灯*匚匚3(")a皿d>dr/（2亠 2U）312.设随机变量（x,y）的联合槪率密度为 '8at 0 < X < y < 1 0 其它试求 C"（X,y）, D（X-Y）. 解：E（X）=匚匚对（x,y）d.vcU=J：f Wyd灿= J：4（K）dx = E（x2） =匚匚*予（3）4皿=JJ= J：4(.F")dY D(X) = £(X2)-(EX)2= E(Y)=匚匸"(儿 y)avck=J；f由于X

12、 t/l(K30,瓦概率密度函数为g(x)=/Gv) = 20010<x <30其它引厂卜匚匚円(3)4皿 =£ J 8q怙ydx = £2(x-?)dx = | D(r)= £(r)-(£r/ = AE(XY) = J匚砂(3)4曲=J Wy'dydx =J:糾陆冷 cov(x,y) = £(xr)-£(x)£(r)4844=X =9 15 5225D(x-r)= D(x)+p(y)-2cov(x,y)11 2 8 1=+=225 75 2252513.设某商品每周的需求量X服从分布 "10,

13、30,而经销商店进货量为区间10.30' 中的某一整数，商店每销售一件商品可获利 500元。若供大于求则削价处理，每处理一件 商品亏损100元：若供不应求，则可从外部调 剂供应，此时每件商品仅获利300元。为使商 店所获利润期望值不少于9280元，试确定最 少进货量。解：设进货y (IO<y<3O)件，则商店获利为 Moox-ioob-x) 10<X<y 500y + 300(X-y) y<X<30 '600X-100>' 10<X<>' 3OOX+2OOy y<X<30所以商店所获利润期望值为E(g(X) =匸 g(x“(x)cU=(600x -100y) cLv1 "o"、+ A£ (300x + 400>)dv= -yr+350>' + 5250>9280解此不等