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1、求曲线方程常用方法例析河北省 杨新兰求动点轨迹方程的基本思想方法的实质是形数对应、形数结合与转化的一个具体的应用根据动点的不同的运动性质和规律，采用不同的解题方法下面举例介绍求曲线方程的几种常用方法一、条件直译法如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，可以把这些关系直接译成含“x，y”的等式此类解法适合较简单的问题例1 如图，已知动点M到定点A(1，0)与定直线：x = 3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程解：设M(x，y)是轨迹上任意一点，作MN于N，则|MA|MN| = 4，即xy13MN= 4|x3|当3x7时，= 7x，即y=12(x4) (3x4)

2、；当1x3时，= x1，即y= 4x (0x3动点M的轨迹方程评析：求曲线轨迹方程知要注意一些隐含条件，当轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x、y的取值范围二、坐标代换法有时动点所满足的几何条件不易求出，但动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x，y)，而Q(x，y)又在某已知曲线上，则可先写出关于x，y的方程，再将x，y换成x，y，就得到原动点的轨迹例2 过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线与，且与x轴交于M点，与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程解：设M(x，0)，N(0，y)，P(x，y)，由题意得 ， (xa)b(yb)a= xy，化简得：2ax2byab=

3、0 代入得：2ax2byab= 0 评析：此解法在求轨迹方程时应用广泛，并多与定比分点坐标分式相结合三、参数法有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，此时若借助中间变量(参数)，使x、y之间建立直接联系，然后再从所求式子中消去参数，这便得动点的轨迹方程例3 已知经过点P(4，0)的直线，经过Q(1，2)的直线，若，求与交点C的轨迹方程解：设动点C的坐标为(x，y)，设、的斜率为、，则= (x4)，=(x1)由，有=1，=1，(x4，x1)整理得：xy3x2y4 = 0，当x = 4或x =1时，方程有解C的轨迹方程为：xy3x2y4 = 0 评析：在利用参数法求轨迹时，要适当地设定参数，即

4、应使动点坐标x、y便于用参数表示，最终结果应尽量将参数方程化为普通方程四、交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标x、y分别表示两条曲线方程，然后联立它们消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法这类问题的解法有一定的技巧性例4 已知直线过定点(0，3)，且是曲线y= 4x的动弦的中垂线，求直线与动弦的交点M的轨迹方程解：设直线：y = kx3 (k0)，则所在直线可设为y =b，并把它代入y= 4x，整理，得xk(2b4k)xbk= 0，= k(2b4k)4bk= 16 k(bk)0 ，且的中点M(k(b2k)，2k)在直线上，因此有2k = k(b2k)3，即b =2k代入式可得k(k2k3)0，即k(k1)( kk3)01

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