4一元积分学的几何应用与重积分计算(1).-精心整理

1、一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容(一)一元积分学的几何应用1、平面图形的面积bX型区域 D =( X, y)|a <x <b, g(x) < y < f (x)的面积为 S = JJdxdy = J f (x) g(x)dx;Db由曲线y = f(X), y =g(x)与直线x=a,x=b:>a所围图型的面积为 S = f(x)-g(x)dx; aY 型区域 D =(x,y) g(y) <x <f (y),c<y <d的面积为 S= fdxdy = f f (y) - g(y)dy; 八°Cd由曲线X = f (y

2、),x =g(y)与直线y =c,y =d ac所围图型的面积为S = f (yg(y)dy;1 p日型区域 D =( P,0)a <0 <P,g(8) < P<f(6)的面积为 S= P dPd0=- f f 2(8)-g2 (8)d8;八2otb 22VxF J f(X)-g (x)dx；2、旋转体体积X型区域 D =(x,y) a<x <b,0 <g(x) <y <f(x)绕x轴旋转一周的y = f(X)>0, y = g(x) >0, x =a,x = b >a所围图形绕x轴旋转一周的Vxf f2(x)-g2(x)

3、 dxaY 型区域 D =(x, y) 0 <g(y) <x< f(y),c<y <d绕 y 轴旋转一周的d 22VyFj f2(y)-g2(y)dy；"-cX = f (y) >0,x =g(y) >0, y =c, y =d >c所围图形绕 y轴旋转一周的 Vy=j f 2(yg2(y) dy;X型区域 D =(x,y)0<a<x<b,g(x) <y <f(x)绕y轴旋转一周的 Vy=2兀 J x f (x) g(x)dx； y = f(X), y =g(x), X =a, X =b >a >

4、;0所围图形绕 y轴旋转一周生成的 Vy=2兀 J x f (x)-g(x) dx;Y型区域 D =(x, y) g(y) <x < f (y),0 <c <y <d绕x轴旋转一周的 Vx=2兀 J y f (y) g(y)dy；X = f (y),X =g(y), y =c, y =d >c>0所围图形绕 x轴旋转一周的 Vx=2叮 y| f (y)g(y)| dy;D =(X, y) a <x <b,k <g(x) <y < f(X)绕y = k旋转一周的 V= f' f (x) k2 g(x) k2dX&qu

5、ot; aaby = f(x) >k,y=g(x) >k,x=a,x=b 3 a 所围图形绕 y = k 旋转一周的 V= J f (x) -k2 g(x) -k2 dx;D =(X, y)|k <a <x <b,g(x) <y < f(X)绕x =k旋转一周的 V=2花 Ja (x k) f (x) g(x)dX 注：利用 平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示X, y3、曲线的弧长L:f (t),g(t),a, b的弧长 Lt = ds =Jf '2(t)+g'2(t)dt;L : P = f (日)，齐a

6、, P的弧长JL ds= f Jf2(日)+ f'2(£)d日;4、旋转体的侧面积L: y = f(X)>0,x<a,b绕x轴旋转一周的侧面积 Sx=2 f (x)ds=2兀 J： f(x)j1 + f '2(x)dx;ym(x)D 4(X, y)|a <x <b,0 <g(x) <y < f(X)绕x轴旋转一周的 Sx=f (x)dg(x)ds=2兀让 f(X)J1 + f '2(X)+ g(x) J1 中 g '2(x) dxa(二)重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：(1 )当积分域D对称于

7、x轴时，令D'是D关于x轴某一侧的部分，则有f(x,y)2 JJ f (x, y) dcT,若f(X, -y) = f (x, y)关于 y为偶JJf(x, y)db = D'D连纽0,若f(X, y) = f(X, y)关于y为奇上述性质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于 x的奇偶性(3)当积分域关于原点对称时，若f(_x,y) = f(x, y)，则有JJ f(x,y)db = 0.D(4)若将x, y互换，积分域 D不变，(D关于y = x对称)1则 JJ f (x, y)db = f (y,x)db = ff f (x, y) + f (y, x)dcr (轮换性

8、)DD2 D2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：(1 )当积分域0对称于xoy面时，令O'是C关于xoy面某一侧的部分，则有f(x,y,z)2 川 f(x,y,z)dv,若f (x, y,-z)= f(x, y,z)关于z为偶 川 f(x,y,z)dv = 0。连续0,若f (x, yz) =-f (x, y, z)关于y为奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性(2)若将x, y,z互换，积分域O不变，则川 f(x,y,z)dv= UJf(x,z,y)dv= UJf(y,z,x)dv = | (轮换性)QQQbh(x)nf(x,y) 可adxjg(x)fd, y)

9、dy Ddh(y)n f (x, y)db = Jc dyjg(y)f (x, y)dxD3、记忆重积分的算法对 X型区域D =(x,y) a <x<b,g(x) <y <h(x)，对Y型区域D =(x,y) g(y) <x<h(y),c<y <d,对日型区域D =( P,日)M <9 <P,g(&)< P<h(T)，P h(EJJf(X, y)d b =JJ f ( Pcos日，Psin 日)Pd= Jd日 Jg(日 f ( Pcos日，Psin日)Pd PDDPr2r2P特别地，f(Pcos£,Psi

10、n£)PdP=f dPf f(Pcos日，Psin日)Pd日9，r1对(疑似)柱体区域O =(x, y, z)|(x, y)亡D,g(x, y) <z <h(x, y)，D为0在xoy面的投影 h(x,y)则 JJJ f (x, y,z)dv = JJdxdy Jf (x, y, z)dz，此为先二后一法QDg(x,y)F(y,z) =0对绕z轴(a<z<b)的旋转体区域0, Dz为0在z处的横截面区域，I X =0b则 JJJ f (x, y,z)dv = J dzJJ f (x, y,z)dxdy，此为先一后二法aDzQ特别地，截面面积为已知的立体体积bb

11、V = J A(x)dx = J dx JJ dydz = JJJdv aaD(x)Q可利用球坐标法计算：,rsi n W sin 日,r cos®)r2 si n Weirded 日对由球面与锥面所围成的区域O ,川 f (x, y, z)dv =川 f (r sin® cos QQ元微积分的几何综合应用典型例题x例1、f (x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点， 则Jof(tdt是(B)aJ0 xf'(xdx =(C)(A)连续奇函数(B)连续偶函数(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数如图，f (X 在 0, a上有连续的导数

12、，则定积分努力曲边梯形ABOD面积 曲边三角形ACC®积(B)梯形ABOD®积(D)三角形ACC®积(A)(C)例3、设D是由曲线，直线X = a (a > 0)及X轴所转成的平面图形， Vx,Vy分别是D绕X轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若1CVx = Vy，则a =7/7 .= 2%J；xf(x)dx = 6；ia"77.a提示：Vx " J0 y2dx =3兀a53/5 , Vy 例4、求曲线y = Jsintdt的全长S.解：2兀< X < 3兀，而 y(x)=Jsi nx1,22兀Jx df(X)=5(1 -

13、e )-兀例6、求曲线r =4(1+cos9)和0 =0,日=二所围图形的面积2冗24(1七OS Q兀22解: S = JJDdb= dO L rdr =8J0 (1 +cos日)d日80t三os日 1S及其绕极轴旋转一周的 Vx.=6 兀 +16Vx " .0y2dx" ；2r2sin2 日drcos日- (1 +t)2(1-t2)(1 +2t)dt =160S = y2 d y= 4例5、设f(X)=冬e土dt,求其所示曲线与直线 X =1及x轴，y轴围成的区域绕y轴旋转 一周生成的旋转体体积 V .1 1 2 2 1 1 解：V =2兀 L xf(x)dx = L f

14、(x)dx =%x f (x)。一兀例7、某曲线以极坐标可表示为P =1/(兀-3日),y = J3x+2/3.(注意仅日T兀/3时，XT处)s(x)是该抛物线上介则其在(卩,8)=(1/兀，0)处的切线的直角坐标方程为兀X 3y-3 = 0.则其斜渐近线的直角坐标方程为例8已知抛物线y=JX上任一点M(x,y)处的曲率半径为 P(x)于点A(1,1)与M之间的弧长，求3P(x)d ¥ _埜逖I2.ds2(x)ds(x)3,2dx解: P(x) =1器,=2(4x+1)2，s(x)=J1 + y'2(x)dx=/计%)=込=3=6低,：=卩'(X)=6，故有原式=9

15、.ds(x) s'(x)ds2(x)s'(x)j4x + 11 e 兀 + 1 例9、求曲线y=esinx,XA0与x轴所围成图形的面积 A 二 一.21n (n书)辽七sin xdx =2 (_1)"esin xdx x = n兀 +t送 e f0e sintdt.n提示A=j0-he xen(n兀、，(n TT n兀例10、设y(x)是(兀，兀)内过点(-兀/J2,兀/J2)的光滑曲线，当-兀cxcO时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0<xvJi时，y(x)满足y"+y + x = O。求y(x)的表达式.22兀 一x提示：当兀 ex cO时，

16、y = x/y，即 ydy =孑dx，得 y2 = x2 +C，有 y = J 当 0<x<兀时，得 y" + y+ x=0 的通解为 y = G cosx + C2 s in x - x 由 y(x 在 x=0处连续且可导，有 G =y(0* =y(0r =；i,C2-1 = y；(0) = y；(0)=0 故 y(x)=M2-X2,T<X<0.:兀 cosx +sin X-x,0 <x <兀例11、设y = f(x)是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x, y)为该曲线上任一点，点 C为M在x轴上的投影，0为坐标原

17、点.若梯形OCMA的面积与曲边CBM的面积之和为(x'+2)/6，求f (x)的表达式.11x2 1提示：x1 + f (x)/2 + f f (t)dt = (x + 2)/6，当 X > 0 时，得 f '(X) f (x)=， xXX则 f(x)=x2 +1+ Cx,因 f(0) =1，由 f (X)的连续性知 f(x)=(x 1)2.例12、设f(x)在0, 1上连续，在(0, 1)内大于零，且xf'(X)= f(X)+3ax72 (a为常数)， 又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围成的图形S的面积值为2,求f (x),并问a为何值时，图形 S绕X轴旋转

18、一周秘得的旋转体的体积最小 .提示：f (x)/x =3a/2，则 f(X)=3ax2/2 + Cx，由 J0 f (x)dx=2，有 C =4-a八1212116因此 f(x) =3ax72 + (4-a)x，体积为 V(a)=兀 J。f 2(x)dx =(a2+ a+)兀,303311 1令 V ©)=(3 +-)兀=0,得a =-5.又V7-5) = <0,故知当a =-5时，体积最小. 15315例13、曲线y = (eX+e")/2与直线x=0, x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该图形绕 X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t

19、),在x=t处的底面积为F(t).(I)求 S(t)/V(t)的值;(n)计算极限 limS(tVF(t).提示：(I) S(t)/V(t) = J；2兀yTdx/兀y2dx=2(n ) tIJmS(t)/F(t) =tim2兀 j0y2dx/兀y2(t) ； tim(-ej】=1 .例14、设y(x )是区间0,址)上具有连续导数的单调增加函数，且y(0) = 1.对任意的" b'Xc)，直线x=0,x=t，曲线y=y(x)以及X轴所围成的曲边梯形绕 X轴旋转一周 生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数y(x )的表达式.提示：由 S(t)/V(

20、t)=学兀yj1 + y2dx/兀 j0y2dx =2 得訂1 + 屮=屮 由题意知 t 忘 0,), y >1, y' >0 ,则有 y' = Jy21，即 Jdy/ Jy2 -1 = J dt 解得 t =ln( y 中 Jy2 -1) +C ,由 y(0 )=1，得 C =0，从而 y =(eX Pe)/?.L'H.例1、解:三、重积分计算典型例题计算 fdxXeS'2dy.原式=e"dy 12 dx = L e/2 (1 y2)dy-y设区域D由曲线y =sinx,x = ±r/2,y=1围成，则 对称奇偶性与二重积分的几

21、何意义.例3、设Dk是D例2、提示:=x, y) |x2 +y2 <1的第k象限的部分,JJD(x5y1)dxdy =-(A)提示:h >0由轮换性知(B) 12 >0(C) Is0记 Ik = U(y-x)dxdy，则(B)Dk(D) I4 >0例4、求二重积分由(x-1)2原式=J, d日4 J提示:h =13 =0,由不等式性质知I2 >0, I4<0 .JJ(x-y)dxdy，其中 D=(x,y)|(x-1)2+(y-1)2 <2,y>xD+ (y -1)2 <2得 r <2(sin 8 +cos8),2(sin 眦osQ28

22、 犁3.0(cosQ -sin9)r2dr =(sin9 + cos日)3d(sin日 + cos日)034=_83注；令 X =x -1,Y = y _1，则原式=d£ J (rcosT -r sin0)rdr =-4例 5、设 D = p <x <1,0 < y <1，计算 I = JJmaxx,y y-x2 dxdy .解：记D2 2D1：0<x<y<1 , D2 :X <y<x<1,： D3: 0 < y < x <1I = Uy(y -X )dxdy + JJx(y-X )dxdy + JJx(x

23、 -y)dxdyD3D1D211 221 X 31X2 3Ldxf (y -yx )dy+ f dxj (xy-x)dy+ fdxf (x -xy)dy例6、提示:3X 一+设 D:0 <r <sec日,0 <0 < U JJr2 sin 日 J1 - r2cos2日drd =4 D13 16可化为直角坐标形式.(注：arcta=0 , arctan=-日)2计算二重积分ff ex xydxdy, 其中D为由曲线y = jx与D【解】：如图，D =(x,y)|0vx<1, jx<y <:1/仮JJeXxydxdy =lim J dxj exxydy0V

24、xD例7、y =于所围区域.2yXXe1LUdx1 1 2処(J。eXjx X exdx )= -lim (e T x2eX2 xT1= -lim (T + exx.10101 1 1 中2 ( xeXdx )= - "m( T + 2 xdex)1 1 -Vdx)-1.0 " 2例8 设f (x)为单调递减的可微函数，且f(1) = 0, g(x)为其反函数，若曲线 y=f(x)1 f(x)与x=1及x, y轴所围区域绕y轴旋转一周的体积为 兀，求g(y)dy 1 1解：由题意知，2兀xf(x)dx=；i，则 J0xf(x)dx = 121 f (x)f (x)11 f

25、(x)1原式= g(y)dydx=x.0g(y)dy0 - J0xdJ。g(y)dy = -J0xg(f(x)f'(x)dx1 2 1 2 2 1 1-J0X2f '(x)dx J0x2df(X) x2f(x)0 +2J0xf(x)dx =1 例 9、连续函数 f (x)的定义域为0,+=c)，且 f(t)= jj(1 +sinx2007)f(x2 +y2)dxdy + 1，其D中 D =( X, y) IX2 + y2 兰 t,八 0,求 f (x).提示：由二重积分奇偶对称性性质知，ffsinx2007 f(x2 + y2)dxdy = 0D兀Jto点o兀兀Xf(t) =

26、Ld91 f(P 2)Pd P+1=Jo f(P2)Pd P+1 有 f-(ty f(t)，得 f(x)=e2t 21 t t21 t y2J0sin(xt) dx例 10、求 lim市 f dx f sin(xy) dy = limf dy f sin(xy) dx = lim-T+P0 " J t_+t 0'0心 .SI nudu2tsi nt41-_Gt6 t哩+ 3&5 -18 .例11、已知函数f (x,y)具有二阶连续偏导数，且fdyr f(x,1)=0 ,，其中 D =(x,y)|0<x<1,0 <y <1，计算 I = JJxy

27、fxy(x,y)dcr 6t5JJf (x,y)db =aDD1 1 1 1解：I = JJxyfxy(x,y)db = J0 xdx J0 yfxy(x, y)dy = J0 xdx J0 ydfx(x, y)D1 1=J0X yfx(x,y)c1 1 1 1 1 1=J0 xyfx(x,y)。 J0 fx(x, y)dydx= J0 xdf(x,1) - J0 dy J0 xfx(x,y)dxfXH 11111=-J0dy J0xdf(X, y) = -J0 xf (x,y)0 - ；0 f (x, y)dxdy1 1/0 4 f(x, y)dxdy = JJ f(x,y)db =a D设

28、f (r)在0, 1上连续，则lim仃(X2丄2 52丄2 h亠n x+<JJ(x2 +y2 y f (Jx2 +y2 dxdy = ,01 1 1 1-4 fx(x, y)dydx= J0xfx(x,1)dx- J0xJ0 fx(x,y)dydx例12、证明:=2Mr2n+f(rW ,f (r p,则0兰JJ (x2+y2)n f(Jx2+y2 )dxdyxMv2<n设 M = maxS< <注意到：lim1 /(n +1) =0，于是由夹逼定理可知要证结论成立.nM2叫1 f弟X2 为2 <0注: lim JJ(X2 +y2 ) f (Jx2+y2 )dxdy

29、 = l(r+n2)n f(/2z2 )=0是错误的. n*x2F例13、【解11JJJ(x2+y2)dv，其中0由锥面x2+y2 = z2与平面z = a(a>0)围成的区域.Q原式【解21原式【解31原式例14、222花aa 2兀 5二 JJ dxdyLR(x2+y2)dz=J0 d 叫 Pd PJpP2dz=-a5. x2新理2¥lUa22a2%z3兀5珂 dz JJ (x+y )dxdy= 0dzJ0 d8 0 PdP= a . xMy2102吓兀a=J(/ dT J04 d W 0cos®(r2 sin2 护 cos2Q +r2sin2 ® sin

30、2 日)r2 sin 申 dr2仃兀a仃=f " dQ f4sin3 Wd® co叫4dr = = a5. 0七七102 2y2 +3z2)dv，其中O是由球面x2 +y2 +z2 =1所围成的闭区域.川(xQ因区域0具有轮换性，则JJJx2dv =川y2dv = fff z2dvQQQ对称故原式 =fff(x2 +y2)dv=2 川(x2 + y2)dv&奇偶0 5!尹亏2 $ 222兀 1戸y 28,(x2+y2)dz=2J0 叽匚勿叮。P2dz=15-12212兀38= 2J0dzJJ (x2+y2)dxdy=2,0dzJ0 d8J0P3dP = -x2 y

31、步152 22兀；1平122皿8=一 1仃(X +y +z )dv = d日 f d® r .r .sin dr =兀.3 囂3 p p15z = 2,z=8以及曲面S围成，其中S是由曲线【解11=2x2【解21【解31例15、解:奇偶U dxdy.0为2 <原式原式计算3JJJ Jx2 +y2dv， Q 由平面Q=2z绕z轴旋转所生成的旋转面.=0原式=I dz JJ Jx2 + y xdy =X2廿全82 兀 尿 21984J2dz0d叫卩宀二石例16、计算I = JJJ jx2匚Q 解：I =川(Jx2 +y2 + z2 1)dxdydz + JJJ(1 Jx2 + y2

32、 +z2) dxdydz Qh3T1=d日 r d® fco(r T)r2sin dr +d日4 d® f (1-r)r2sin dr = (V2t). ，0，0，0，0，0'06例 17、求 O =( x, y,z) | x2 +y2 +z2 兰 1, z 0上的连续函数 f (x, y,z)，2,2y +z-1 dxdydz，其中使 f (x, y, z) = x + y +4z JJJ f (x, y,z)dv-3 . Q提示：令 f仃 f (x,y,z)dv = A，贝y A = 4A 仃zdv4兀 4兀，A =QQ兀-1四、课后练习(一)一元微积分的几何综

33、合应用1、设g(x) < f(X)cm在区间a,b上连续，则曲线 f (x), g(x)夹在a,b之间的平面图形 绕直线y =m旋转而成的旋转体体积为( B)bB f 兀2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dxabD L 兀m - f(X)- g(x) f(X)- g(x)dxbA 兀2m f(X)+g(x)f(X)g(x)dxbC 兀m-f(x) + g(x)f(x)-g(x)dx2、设f(X)连续,曲线y = f(X)与X轴围成三块面积 S1,S2 ,S3,其中S1,S3在X轴的下方,bS2在X轴的上方,若S12S q, S2 中 S3 = p ( p H q)，则，a f (

34、xjdx = ( C)3、1In 3C q-pf(X)= 1 3X dX与X轴、y轴围成图形的面积为 X求证：由平面图形 0<a<x<b，0<y<f(x)，绕y轴旋转形成的旋转体体积b=2" xf(x)dx，并利用该题结论，计算y=(x-1)(x-2)与x轴所围区域绕y轴旋转a周而成的旋转体体积(兀/2 )5、设曲线的极坐标方程为P =e昭(a > 0)，则该曲线上相应于 0从0边到2兀的一段弧与极轴所围成的图形面积为(e4a% -1)/(4a) fx=1COSt 丄c c6、求摆线一拱(0 < t < 2兀)的弧长S = 8 ly =

35、t si nt7、求心形线r=a(1+cos9)的全长，其中a :>0( S=8a )设 xoy 平面上有 D =(x, y)0 <x <1,0 < y 及 I : x + y = t (t > 0)，若 S(t)表示左下方部分的面积， 试求I S(t)dt(x>0)1 3X6-xJ0 <x<1'.2+ x1vx <2 )3X 1X a2X位于直线I10 S(t)dt = -6x'9、C在(0,0)与(3,2)处的切线，其交点12分别是曲线3 C点(3,2)是曲线C的一个拐点，h、 为(2,4)，设函数于(t>0)X

36、=t +110、已知曲线L的方程42=4t t(I)讨论L的凹凸性(凸)；(II)过点(1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程(y = x+1);(川)求此切线与L (对应5部分)及x轴所围的平面图形的面积(I)11、设 f (X )= lF (t x jdt,Ocxcl，求f(x)的极值、单调区间和凹凸区间.5一¥)乎+1为极大值；f(T)一¥+3为极小值),(f(x)的单调增区间是( = ,-畑)；单调减区间是(f,f).(二,0)为凸区间；(0,邑)为凹区间】X12、设D是位于曲线y=JXa 2a (a1,0 < X <下方、x轴上方的

37、无界区域,(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)a2兀(2)；(Ina)(II)当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值(V (e)=兀e2).13、设f (x)在1,址)上连续，若由y = f(x), x = 1,x =t(t A0)与x轴所围图形绕x轴兀2x旋转一周所成的旋转体体积V(t) =t2f(t)-f (1) , f(2)=,则f(x)=3 .14、 设f (x)是正值连续函数，f (0) =1，且对任何X a0，曲线y = f(X)在0, x上的一段弧长总是等于由过 X轴上点X且垂直于X轴的直线及X轴，y轴与这段弧围成的曲边梯形 面积，求这条曲线的方程.(y + Jy2 -1 =ex)15、 设位于第一象限的曲线y = f(x)过点(2,丄)，其上任一点 P (x,y)处的法线与y轴的2 2交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线 y = f(X)的方程(X2 + 2y2 = 1 )；已知曲线yx在0“上的弧长为l，试用l表示y=f(x)的弧长s匹l)