北京平谷2020届高考数学二模试题(含答案)

1、2020北京平谷高三二模数学注意事项:1 .本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共 6页，共150分,考试时间为120分钟.2 .试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效3 .考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好第I卷选择题（共40分）选出符合题、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中,目要求的一项.1.已知集合A1,0,12B xx2 1A. 1,1B. 1,0,1C.D.集合A1,0,1x x2 1x|1 x 1所以A故选C.2.若角终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（A. sin(+ 2)B. cos( + )2C. si

2、n(D.cos(利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断【详解】解：角的终边在第二象限，sin + = cos <0, A不符;cos + = sin <0, B不符；2sin = sin <0, C不符；cos = cos >0,所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本 题的关键.3.在下列函数中，值域为 R的偶函数是（）B. f xln xD. f XxcosxA.f X,/xC.f X2X 2 x【答案】B【解析】【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项【详解】对于 A

3、选项，函数f x jx的定义域为 0,故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，f x ln x的定义域为 x|x0,且f x In x f x ,所以f x为偶函数，由于x 0 ,所以f xIn x的值域为R ,符合题意对于C选项，f x2x -1 2J2X -12 ,故 f x2x 12XX X22的值域不为R.对于D选项，f Xxcosx的定义域为R,且f Xxcos x xcosx f X ,所以f x xcosx为奇函数，不符合题意故选：B21 ,则S7的值为（）【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题4 .若等差数列an的前n项和为Sn,且§30 , a3a,

4、A. 21B. 63C. 13D. 84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d , a1，然后结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】解：因为S1303 a421,所以13al 13 6d2a 5d 213, a1 18,1则S77 18 - 7 6 ( 3) 632,【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题.5 .若抛物线y2=2px (p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是()A. p< 1B. p>1C. p< 2D. p>2【分析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到

5、准线的距离取得最小值列不等式求解.【详解】设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x-p-的距离，显然当p为抛物线的顶点时，p到准线的距离取得最小值 卫.2. E> 1 ,即 p>2. 2故选：D.【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.6 .已知 x, y R ,且 x y 0,则()1A.一 xC.B. cosx cosy 0D. In x y 0【答案】C【解析】【分析】 利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项1【详解】取x 2,y 1 ,则1 0,所以A选项错误.2取x 4 ,y 2 ，贝U cos4

6、 cos2 1 1 0 ,所以B选项错误.x1由于y在R上递减，而x2项正确.取 x 2,y 1 ,则 In 2 10 ,所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题7 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【解析】C. 2D.由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形,1且两直角边分别为1和2 ,所以底面面积为 S - 1 2 12高为h 2的三棱锥，所以三棱锥的体积为1Sh 3r r 一 ,8.设a扫是向量，“0”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件将两个条件相互推导,根据能否推导的结果判断充

7、分、必要条件0”故选：B”时，可能a 2,b4,不满足“0”时,0”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题9.溶液酸碱度是通过 pH计算的,pH的计算公式为pH lg表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.510 2摩尔/升,则胃酸的pH是（ ）（参考数据：lg20.3010 )A. 1.398B. 1.204C. 1.602D.2.602根据对数运算以及pH的定义求得此时胃酸的pH值.【详解】依题意pH lg 2.5 10 2 lg2.5100100lg lg 402.5lg 4 10 lg4 lg10 2lg2 1 2 0.3

8、0101 1.602.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题10.如图，点。为坐标原点，点 A（1,1）,若函数yax及y logbX的图象与线段 OA分别交于点M , N ,且M , N恰好是线段OA的两个三等分点，则 a , b满足.A. a b 1 B. b a 1 C. b a 1 D. a b 1【答案】A【解析】【分析】由M,N恰好是线段OA的两个三等分点，求得 M,N的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得a,b的值，即可求解【详解】由题意知 A(1,1),且M, N恰好是线段OA的两个三等分点，所以.1114把M -，一代入函数y a ,即, a3,解得a3

9、 3y3127，一222把N-,-代入函数y 10gb x ,即一333,21ogb3,即得 b3_2 2,所以a b 1.39故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得 a,b的值是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第II卷非选择题(共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是Zl, Z2 ,则一 Zi【答案】1 2i【解析】由题意，根据复数的表示可知Zi i,Z2 2 i12.在 ABC 中， A a2 b2

10、c2 4a .【答案】 (1). 3(2). .6【解析】【分析】, 1由已知利用余弦定理可求cosC 结合2可得a的值.【详解】: a2+b2c2=ab, 222.皿日 C a b c ab 1.可得 cosC 2ab 2ab 2 'ce (0,兀)，c 一 3A , c= 3, 4a由正弦定理-可得：72 sinA sinC2Z一号¥12ice(o,同，可求c的值，进而根据正弦定理3_V3 ,解得：a品.2故答案为一，6Q .3【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据

11、.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出 现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答13 .如图，矩形ABCD中，AB 2,BC 1,0为AB的中点.当点P在BC边上时，Auv uuv(2).P沿着BC , CD与DA边运动时，AV Ouv的最小值为建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则 A (0,0), 0 (1,0), B (2,0),设 P (2, b),(1)

12、UJIu 山uABgDP = (2,0) (1,b) =2；(2)当点P在BC上时,uuu uurABgDP =2；当点P在AD上时，设P (0, b),UUU uuuABgOP =(2, 0) ( 1, b) =- 2;当点P在CD上时，设点P ( a , 1) (0v a v2)1) = 2a -2,uuu uuuABgOP =( 2,0) ( a T,uuu uuu因为 0v a <2,所以，一2<2a -2<2,即 ABgOP ( 2,2)综上可知,uuu uuuABgOP的最小值为一2.故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数

13、的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题 114 .已知函数f X COSX,给出下列结论： Xf x在0),上有最小值，无最大值；设F x f x f x,则Fx为偶函数；f x在0,2上有两个零点 其中正确结论的序号为 .(写出所有正确结论的序号)【答

14、案】【解析】【分析】利用导函数fx进行判断；根据奇偶性的定义进行判断.利用函数图像进行判断1一一一【详解】，由于 x 0,所以f x sin x 0,所以f x在0,上递减,x1一 cosx x所以f x在0, 上有最小值，无最大值，故正确.，依题意F xx ,所以F x不是偶函数，故错误，令f x 0得cosx-在区间0,2上的图像如下图所x示，由图可知y cosx和y1 ,一在区间0,2 上的图像有两个交点，则 f x在0, 2 x上有两个零点，故正确故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 1

15、5 .地铁某换乘站设有编号为 A, B, C, D, E的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全 出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A BB, CC, DD, EA E疏散乘客时间（s ）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 .【答案】D【解析】【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号【详解】同时开放 AE ,需要200秒；同时开放 DE ,需要140秒；所以D疏散比A快.同时开放AE,需要200秒；同时开放 AB ,需要120秒；所以B疏散比E快.同时开放AB ,需要120秒；同时开放 BC ,需要220秒，所以A疏

16、散比C快.同时开放BC,需要220秒；同时开放 CD ,需要160秒，所以D疏散比B快.综上所述，D疏散最快.故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16 .已知函数 f x 2cos xsin x 30 , ,求f x在从若f xif x22, xi x2的最小值为一；f x两条相邻对称轴之间的距离为2一；若f x1f x20, x, x2的最小值为一，这三个条件中任选一个，补充在上面问22题中并作答.【答案】f x在区间上的值域为 0,1 .【解析】【分析】上的值域.【详解】由于f x 2cos xsinx

17、 -3 2cos x321 .一 sin2.3. 3x - cos x 221sin2 x 22 x2sin 2 x 一 31,1 .所以都可以得到f x的半周期为一，则丁 -222所以sin 2x 一 3由于所以0,1，即 f x的值域为0,1 .根据三个条件求得半周期，由此求得【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题.17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与

18、安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题:(I)若从交通得分前 6名的景点中任取2个,求其安全得分都大于 90分的概率;(II)若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于 90分的景点个数为求随机变量的分布列和数学期望;(III)记该市26个景点的交通平均得分为x1,安全平均得分为X2 ,写出为和X2的大小关系?(只写出结果)一 2 ，一一【答案】(I) ; (II)分布列见解析，期望为 1; (III)5XX2(I)根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率(II)利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望(III)根据两种得分的数据离散程

19、度进行判断【详解】(I)由图可知，交通得分前 6名的景点中，安全得分大于 90分的景点有4个，所以 Cf从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于 90分的概率为 fC6W 215 5(II)结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于 90分的景点有2个,所以的可能取值为0,1,2.C2CC；1尸2警所以的分布列为012P153515131所以 E 0-132-1.555（III）由图可知，26个景点中，交通得分全部在 80分以上，主要集中在 85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分一下的景点接近一半，故X1 X2.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考

20、查超几何分布，考查数据分析与处理能力， 属于中档题.18.如图，由直三棱柱 ABC A1BC1和四棱锥D BB1C1C构成的几何体中，BAC 90°,AB 1,BC BB1 2,GD CD 嚣，平面 CgD 平面 ACC1A .AC（I）求证： AC DC1；BP（n）在线段BC上是否存在点P ,使直线DP与平面BBD所成的角为 一？若存在，求 3BC的值，若不存在，说明理由.【答案】（I）见解析；（n）见解析.【解析】试题分析：（1）由条件中 BAC 90°，平面CCD 平面ACC-A ,结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出

21、法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求解析：（I）证明：在直三棱柱/召。'一中，平面ABC,故ACWg ,由平面平面小。GJ1，且平面（广山门平面=（ ,所以AC±平面（-C1D ,又GD ?平面（X：D，所以-4ULQG.（n）证明：在直三棱柱 AUC /I 13（ 中，L!1 _L平面abc,所以 AAIAB，也 UC ,又= 901所以，如图建立空间直角坐标系 A "工"二,根据已知条件可得一HllJL，CHLv%。）, G2,俏0 , 口（。4，1） , 3（2JJ） ,所以 而=（2.0,0> , BO = （L 73,1 一设平面DB

22、U的法向量为1?=讣，）,f,J 7F-Z?ZJi = 0 日 J m工=0由，一“工+ /为+二=口llBD = 0 I y令4=1 ,则 w = -Sk 丁 = 0 ,于是 H = （OJ, -V3）,平面B&D的法向量为凉=Q L /：”.设 BP= XBC，入W口 1,则取血入为,而二一,闻倔_1_入）若直线dp与平面DR小 成角为-,则 JIw1=包粤=卓，EkI谓二十32计算得出x=媪0,1,故不存在这样的点.点睛：方法总结：由面面垂直 n线面垂直n线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知

23、识，计算法向量然后再求解19.已知函数 f(x) xsinx acosx x, a r .(1)当a 1时，求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(2)当a=2时，求f (x)在区间0,-上的最大值和最小值； 2(3)当a 2时，若方程f (x) 3 0在区间0,一上有唯一解，求a 取值范围. 2【答案】(1) y x 1；(2)最大值为f(-)，最小值为f(0) 2； (3) 2 a 3【解析】(1)当 a 1 时，f x xsinx cosx x,所以 f' x 2sinx xcosx 1, f' 01.又因为f 01,所以曲线y f x在点0, f 0处的切

24、线方程为y x 1.(2)当 a 2时，f x xsinx 2cosx x,所以 f' x sinx xcosx 1.当 x 0,时，1 sinx 0, xcosx 0, 2所以f' x 0所以f x在区间0,-上单调递增. 2因此f x在区间0,- 上的最大值为f ,最小值为f 02.22(3)当 a 2 时，f' x 1 a sinx xcosx 1设h x 1 a sinx xcosx 1 , h' x 2 a cosx xsinx,因为 a 2, x0,一，所以 h' x 0.2所以h x在区间 0,- 上单调递减. 2因为 h0 10,h 1a

25、 12a 0, 2所以存在唯一的x00,金，使h %0,即f' x00.所以f x在区间0,x0上单调递增，在区间x。,一 上单调递减.2因为f 0=a, f ,又因为方程f x 3 0在区间0- 上有唯一解,22所以2 a 3.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数 研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程 根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思 想找到解题的思路._3、-x220.已知点P(1,)在椭圆C： -22a“2yr 1(a b 0)上，F (1,0)

26、是椭圆的一个焦点. b(I)求椭圆C的方程;(n )椭圆C上不与P点重合的两点D , E关于原点O对称，直线PD , PE分别交y轴于M ,3N两点.求证：以 MN为直径的圆被直线 y -截得的弦长是定值.222【答案】(I)± y_ 1. (n)见解析.43【解析】【详解】试题分析：(I)依题意，得到 c 1,利用定义得到a 2,即可求解椭圆的标准方程；(n)设D(m,n), E( m, n),根据直线方程，求解 M ,N 坐标，可得GM GN ,利用GMV GUV 0，求得t的值，即可得到弦长为定值.试题解析:(I)依题意，椭圆的另一个焦点为F 1,0 ,且因为2a 224,所以

27、a 2, b22所以椭圆C的方程为L43(n)证明：由题意可知E两点与点P不重合.因为D , E两点关于原点对称,所以设D m,n , E m, n设以MN为直径的圆与直线 y3 -一父于2G t,2 ,Ht,- (t 0)两点, 2所以GM GN .直线PD :y当x 0时，y3 n - _2 m 13 n -2m 1直线PE ：3y 2当x 0时， y3 n -2 x 1 m 13 n -2 m 13,所以N 0, 23 n -2m 13uuuv n 不 uuv 所以 GM t, 2 , GN m 1t,3 n -2 m 1因为GM GN,所以湍vGuv 0,uuuv uuuv24n2 9所以 GM GN t2 0.4 m 122因为比 L 1,即 3m2 4n2 12 , 4n2 9 3 3m2, 43所以t2 3 0,所以t4.J2所以G 9，|，H箕，所以阳岳.所以以MN为直径的圆被直线y3截得的弦长是定值 J3.2点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系，解答此类题目，通常利 用a,b,c的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次