从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点

1、从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极2010年10月17日结朿的2010年全国髙中数学联赛平而几何题目为：如图1,锐角三 角形ABC的外心为O, K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线 上一点，直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证：若OK丄MN,则ABDC四点共圆.本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思S其实这是一系列射影几何中 常见而深刻结论的自然"结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系 统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极线等射影几何的重要槪念及应用， 抽丝剥茧、溯本求源，揭示此

2、类问题的来龙去脉，并在文中给岀上题的一种简洁明了的直接 证明。知识介绍定义1 线束和点列的交比：如图2,共点于0的四条直线被任意直线所截的有向线段比AC.BC祐/丽称为线朿OA、OC. OB. OD或点列ACBD的交比1定理1 线束的交比与所截直线无关。证明：本文用ABC表示ABC而积，则AC f BC _AOC fBOC 7d BD = AOD BODCOsin ZAOC ! COsin ZCOB DO sin ZAOD DOsin 乙BOD sinZAOC/SinZCOB sin ZAOD sin ZBOD从而可知线朿交比与所截直线无关。AC BC定义2调和线束与调和点列：交比为即 乔=一

3、箭 的线束称为调和线束，点列称为 调和点列。显然调和线朿与调和点列是等价的，即调和线朿被任意直线截得的四点均为调和 点列，反之，调和点列对任意一点的线朿为调和线束。定理2调和点列常见形式：(0为CD中点)2 1 1(1 )=HAD AB AC(2) 、OC2=OB*OA(3) 、AC*AD=AB*AO(4) 、AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。定理3 直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行(由立义即得，证略) 定义3完全四边形：如图3,凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形 ABCDEF, AC、BD、EF称为其对角线(一般的四条直线即交成完全四边形)

4、2。定理4完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDk EHFI分别构成调和点列。图3分析：只需证EHFI为调和点列，其余可类似证得，也可由线朿的交比不变性得到。证法一:而积法竺乞HF IEAECBDF AFC BDEAECACDBDFBEF"ACD AFC BEF BDEEC AD DC AF t nrl HE IE= 1,匕= CD AF EC ADHF IFhf if=,即EHFI为调和点列。HF IF定理5完全四边形ABCDEF中，四个三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圆共点，称 为完全四边形的密克（Miquel）点。证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。图4

5、定义4阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两左点A、B距离之比为左值k以0且1）的 点的轨迹为圆，称为Apollonius圆，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决2（注：当 k=l时轨迹为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。BC BD BP证明：如图4由AP=kPB,则在AB直线上有两点C、D满足凹=凹=盤，故PC、PD分别为ZAPB的内外角平分线，则CP丄DP,即P点的轨迹为以CD为直径的圆0（0为 CD中点）。（注：解析法亦可证得）显然图4中ACBD为调和点列。定理6在图4中，当且仅当PB丄AB时，AP为圆O的切线。证明：当PB丄AB时ZAPC=ZBPC=ZCDP故AP为

6、圆O的切线，反之亦然。定理7 Apollonius圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1. PC （或PD）为ZAPB内（外）角平分线2. CP1PD3. ACBD构成调和点列（证略）定义5反演：设A为OO （r）平而上点，B在射线OA上，且满足OAPBr,则称A、 B以OO为基圆互为反演点。定理8 图4中，以Apollonius圆为基圆，AB互为反演点。（由宅理2 （2）即得。）定义6极线与极点：设A、B关于O0 （r）互为反演点，过B做OA的垂线1称为A点 对圆0的极线：A点称为1的极点。3定理9当A点在OO外时，A的极线为A的切点弦。（由泄理6即得。）弋/ /图5定理1

7、0若A的极线为1,过A的圆的割线ACD交1于B点，则ACBD为调和点列。 证明：如图5,设A的切点弦为PQ,则竺=里竺1 =竺 £纟=兰竺=竺即ACBD为调和点列。BD QPD DP DQ AD AQ AD定理11配极定理：如图6,若A点的极线通过另一点D,则D点的极线也通过A。一般 的称A、D互为共轨点。证法一：几何法，作AF丄OD于F,则DFGA共圆，得OF*OD= OG*OA = OZ2,由泄义6知AF即为D的极线。证法二：解析法，设圆O为单位圆，A （西，儿），D （冬,儿），A的极线方程为M +邓=1 , 由D在英上，得x2x, + y2y = 1,则A在xx2 + yy2

8、 =1上，即A在D的极线上。定理12在图6中，若A、D共轨，贝IAD?=A的幕+D的幕（对圆O）证明：AD2=AG2+DG2=（AG2+BG2）+（DG2-BG2）二A的幕+D的幕（对圆O）定义7调和四边形：对边枳相等的圆内接四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此 四点的线朿为调和线束，故以此命名）定理13图5中PDQC为调和四边形。证明：由泄理9的证明过程即得。例题选讲例1如图7,过圆O外一点P作其切线PA、PB, 0P与圆和AB分别交于L M, DE为过M的任意弦。求证：I为APDE内心。（2001年中国西部数学奧林匹克） 分析：其本质显然为Apollonius圆。证明：由立理6知圆O

9、为P、M的Apollonius圆，则DI、EI分别为APDE的内角平分线， 即1为厶PDE内心。例2 如图8, AABC中，AD丄BC, H为AD上任一点，则ZADF=ZADE （1994年加拿大 数学奥林匹克试题）图8证明：对完全四边形AFHEBC,由圧理4知FLEK为调和点列。又AD丄BC,由立理7得ZADF=ZADEo图9例3 如图9,完全四边形ABCDEF中.GJ丄EF与J,则ZBJA=ZDJC （2002年中国国家 集训队选拔考试题）证明：由立理4及左理7有ZBJG=ZDJG且ZAJG二ZCJG,则ZBJA二ZDJC。例4已知：如图10, AABC内角平分线BE、CF交于I,过I做I

10、Q丄EF交BC于P,且 IP=2IQo 求证：ZBAC=60°IQ _ D'l _ DI PI 证明：做AX丄EF交BC于Y,由泄理4知AD'ID为调和点列，故7% =万刁=DA = K4 又IP=2IQ ,则 AX=XY，即 EF 为 AY 中垂线，由正弦泄理,则AFYC共圆，同理AEYB共圆，故ZBYF=ZBAC=CF _ 耐 _ 朋 _ CF sinZFYC sinZA sinZ2 sinZFACZCYE=ZEYF,故ZBAC=60°。例5如图11, P为圆O外一点，PA、PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割线，CF 平行PA且交AB于E。求证：C

11、E=EF （2006国家集训队培训题）证明：由定理10及定理3即得。例6如图12, PAB、PCD为圆O割线，AD交BC于E, AC交BD于F,则EF为P的极 线。（1997年CMO试题等价表述）证法一：作AEB外接圆交PE于则PE*PM=PA*PB=PC*PD故CDME共圆（其实P 为三圆根心且M为PAECBD密克点），从而ZBMD=ZBAE+ZBCD=ZBOD, BOMD共 圆。Z OMT= Z OMB+ Z BMT= Z ODB+ Z BAE=90。故 M 为 ST 中点，PS*PT=PA*PB=PE*PM,由左理2 （3）知E在P极线上，同理F亦然，故EF为P的极线。Al BV TW

12、证法二：如图13,设PS、PT为圆0切线。在ZkABT中，可以得到一一*UB VT WAAS sin ZAST BDsin ABDA TCsinZTCB AS BD TC _ PS PB PCBS sin ZBST DT sin ZTDA AC sin ZACB = BS AC DT PB PC PT 由塞瓦左理逆左理知ST、AD、BC三线共点于E,同理F亦然，故EF为P的极线。至此，点P在圆0外时，我们得到了 P点极线的四种常见的等价定义：1、过P反演点做的OP的垂线。2、过P任意作割线PAB, AB上与PAB构成调和点列的点的轨迹所在的直线。3、P对圆O的切点弦。4、过P任意做两条割线PA

13、B、PCD, AD、BC交点与AC、BD交点的连线。（注：切线为 割线特殊情形，故3、4是统一的）例7 AABC内切圆I分别切BC、AB于D. F, AD. CF分别交I于G、H。求证：DFxGHFGxDH=3（2010年东南数学奥林匹克）证明：如图14,由定理13知GFDE为调和四边形，据托勒密立理有GD*EF=2FG*DE> 同理 HF*DE=2DH*EF相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密圮理 GD*FH=DFxGH =3 FGxDHDH*FG+FD*GH,代入即得例8已知：如图15, AABC内切圆切BC于D, AD交圆于E,作CF=CD, CF交BE于 Go求证：GF

14、=FC （2008年国家队选拔）证明：设対两切点为H、I, HI交BD于J,连JE。由左理10知AEKD为调和点列，由泄 理11知AD的极点在HI上，又AD极点在BD上，故J为AD极点：则JE为切线，BDCJ 为调和点列，由CF=CD且JD二JE矢口 CF/JE,由定理3知GF二FC。（注：例8中BDCJ为一组常见调和点列）例9如图6 圆内接完全四边形ABCDEF中AC交BD于G,则EFGO构成垂心组（即 任意一点是其余三点的垂心）。证明：据例6知EG, FG共轨，由定理12EG2- FG2 = （EtflW + 测幕）-（F 的幕 + 血幕）二聊幕-刊勺瘠加2 -FO2 则OG丄EF,其余垂

15、直同理可证。、图14注：AEFG称为极线三角形。本题结论优美深刻，初版于1929年的4已有介绍，它涉 及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius圆、垂心组等几何中的核心内容。 本文开头提到的2010年联赛题为本题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的 反证法在情理之中：如图1,设D不在圆O上，令AD交圆O于E, CE交AB于P, BE交 AC于Q。由例9得PQ/MN；由圧理4得MN.AD调和分割BC,同理PQ亦然,则PQ/MN/BC, 从而K为BC中点，矛盾！故ABCD共圆。其实本题也可直接证明，如下：如图17,由例3得Z1=Z2：又K不是BC中点，类似 例4证明可得

16、OBJC共圆；ZMJB=ZNJC=1 ZBOC=ZBAC,由泄理5得J为ABDCMN 2密克点，则ZBDM=ZBJM=ZBAN故ABDC共圆。以例9为背景的赛题层岀不穷.再举几例，以飨读者。例10 AADE中，过AD的圆O与AE、DE分别交于B. C, BD交AC于G,直线OG与 AADE外接圆交于P。求证：PBD、APAC共内心（2004年泰国数学奥林匹克） 分析：本题显然为密克点、Apollonius圆、极线及例9等深刻结论的简单组合。证明：如图16,由宦理5及例9知PG互为反演点，据定理8知圆O为PG的Apollonius 圆，由例1知ZiPBD与ZkPAC共内心。例11 AABC中，D

17、在边BC±且使得ZDAC=ZABC,圆O通过BD且分别交AB、AD 于E、F, DE交BF于G, M为AG中点，求证：CM丄AO （2009年国家队选拔）MC图16证明：如图18,设EF交BC于J-.由宦理3得AKGL为调和点列，由宦理2 （4）有 j j k JLK*GM=LG*KA,又ZCAD=ABD=ZJFD 故 EJ/CA,则 =即 JG/CM 而由 JC KA GM例9有JG丄0A,故CM丄AOo例9中OG丄EF对圆外切四边形亦然。例12如图19,设圆O的外切四边形A'B' C'D'对边交于E'F, A'C交BTT交于CF,则

18、 OG'丄EF。（2009年上耳其国家队选拔）证明：设四边切点为ABCD, AC交BD于G, AB交CD于E, AD交BC于F,由例6知 BD、AC极点E'、F在EF上，则G'与G重合，由例9,即得OCT丄EF。图18例13 如图20, ABCD为圆O的外切四边形.OE丄AC于E,则ZBEC=ZDEC（2006年协 作题夏令营测试题）分析：由定理7知垂直证等角必为调和点列。证明：如图20,做出辅助线，由例12知FI、GH. BD共点于且为AC的极点，从而OE也过M,且BLDM构成调和点列，由定理7得ZBEC=ZDEC。最后我们看一道伊朗题及其推广例14 AABC内切圆I切BC于D, AD交I于K。BK、CK交I于E、F,求证：BF、AD、 CE三线共点。（2002年伊朗国家队选拔考试题）分析：本题一般思路为Ceva 理计算，计算量较大。而且有人将其推广为对AD±任意一 点K,都有本结论成立（如图21）。推广题难度极大，网络上有人用软件大疑计算获证，也 有高手通过